《现代控制理论》课后习题答案.pdf

现代控制理论第一章习题解答现代控制理论第一章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：答：线性系统的状态空间模型为： xAxBu yCxDu =+ =+ ? 线性定常系统和线性时变系统的区别在于： 对于线性定常系统， 上述状态空间模型中的系数 矩阵A，B，C和中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵DA，B，C和 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 D 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 传递函数模型（经典控制理论）传递函数模型（经典控制理论） 状态空间模型（现代控制理论）状态空间模型（现代控制理论） 仅适用于线性定常系统 适用于线性、非线性和时变系统 用于系统的外部描述 用于系统的内部描述 基于频域分析 基于时域分析 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于 阶传递函数 n 12 1210 1 110 ( ) nn nn nn n bsbsbsb G sd sasa sa + =+ + ? ? ， 分别有 0121 0121 01000 00100 00010 1 n nn xxu aaaa ybbbbxdu =+ =+ ? ? ? ? ? ? 能控标准型： 00 11 2 2 11 000 100 010 001 0001 n nn ba ba xaxu b ab yxdu =+ =+ ? ? ? ? ? ? ? 能观标准型： 1 1 2 12 001 001 001 n n p p xxu p ycccxdu =+ =+ ? ? ? ? ? ? 对角线标准型： 式中的和可由下式给出， 12 , n ppp? 12 , n c cc? 12 121012 1 11012 ( ) nn nnn nn nn bsbsbsbccc G sdd sasa saspspsp + =+=+ + ? ? ? + 能控标准型的特点： 状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定， 其余部分具有 特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是 1 外， 其余全为 0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空 间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项不等 于零，其参数如何确定？ 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项不等 于零，其参数如何确定？ D 答答: 当传递函数G的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项不等 于零。 D)(s 转移项的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 D 01 1 1 01 1 1 )( asasas bsbsbsb sG n n n n n n n + + = ? ? 可得： d asasas cscsc sG n n n n n + + + = 01 1 1 01 1 1 )( ? ? D 。 由此得到的就是状态空间实现中的直接转移项d 1.6 在例在例 1.2.2 处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图 1.12 的串联分解， 试问：若将图 的串联分解， 试问：若将图 1.12 中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？ 答答: 将图 1.12 中的两个环节调换后的系统方块图为： ( )bs 1 ( )a s m y u 图中， 32 21 11 ( )a ssa sa sa = + 0 0 2 21 ( )b sb sb sb=+ ，。 2 1 ( ) y ma s =由于相当于对作 3 次积分，故 3 s y y可用如下的状态变量图表示： 0 a 2 a 1 a m y ( ) m b s u =因为相当于对作 2 次微分，故b 2 s b可用如下的状态变量图表示: d dt d dt d dt 0 b 2 b 1 b m u 因此，两个环节调换后的系统状态变量图为 d dt d dt d dt 0 b 2 b 1 b m u 0 a 2 a 1 a y 进一步简化，可得系统状态变量图为 u 0 b 1 b 2 b 0 a 2 a 1 a y 1 x 2 x 3 x 3 3 yx= 2 yx=? 1 yx=?，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为 取， 00 11 22 00 10 01 001 ab xaxbu ab yx =+ = ? 两个环节调换前的状态空间模型是： 012 012 0100 0010 1 xxu aaa ybbb x =+ = ? 显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。 1.7 已知系统的传递函数已知系统的传递函数 2 ( )6 ( )56 Y ss U sss + = + 试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。 答：答： 系统的能控标准形为: 010 651 61 xxu yx =+ = ? 系统的能观标准形为: 066 151 01 xxu yx =+ = ? ? ? 1.8 考虑由下图描述的二阶水槽装置，考虑由下图描述的二阶水槽装置， u1 u2 x2 x1 图图 1.18 二阶水槽装置图二阶水槽装置图 该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是：该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是： 4 2 2 as b + 1 1 as b + u2x2 u1 x1 图图 1.19 二阶水槽系统的方块图二阶水槽系统的方块图 试确定其状态空间模型。试确定其状态空间模型。 答：答：图 1.19 中两个环节的状态空间模型分别为: = += 22 22222 xy ubxa x ? 和 = += 1 1111 xy ubxa x ? 又因为，所以 21 xuu+= 1121111 ubxbxax+=? 22222 ubxax+=? 1 xy = 进一步将其写成向量矩阵的形式，可得： + = 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 0 0 0u u b b x x a ba x x ? ? = 2 1 01 x x y 1.9 考虑以下单输入单输出系统考虑以下单输入单输出系统: 61166+=?yyyyu 试求该系统状态空间模型的对角线标准形。试求该系统状态空间模型的对角线标准形。 答：答： 由微分方程可得: 321)3)(2)(1( 6 6116 6 )( 321 23 + + + + + = + = + = s c s c s c ssssss sG 其中， 3 )3)(2( 6 lim 1 1 = + = ss c s 6 )3)(1( 6 lim 2 2 = + = ss c s 3 )2)(1( 6 lim 3 3 = + = ss c s 故该系统状态空间模型的对角线标准形为: u x x x x x x + = 1 1 1 300 020 001 3 2 1 3 2 1 ? ? ? = 3 2 1 363 x x x y 5 1.10 已知单输入单输出时不变系统的微分方程为已知单输入单输出时不变系统的微分方程为: ( )4 ( )3 ( )( )6 ( )8 ( )+=+?y ty ty tu tu tu t 试求试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；）建立此系统状态空间模型的对角线标准形； （2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。 答答: （1）由微分方程可得: 34 52 1 34 86 )( 22 2 + + += + + = ss s ss ss sG 记 12 1 2 2525 ( ) (1)(3)1343 ccss Gs ssssss + =+ + ， 其中， 2 3 3 52 lim 1 1 = + + = s s c s 2 1 1 52 lim 3 2 = + + = s s c s 。 ， 1=d，由此可得: 从输入通道直接到输出通道上的放大系数 u x x x x + = 1 1 30 01 2 1 2 1 ? ? u x x y+ = 2 1 2 1 2 3 （2） 由于， = 1 1 B = 30 01 A = 2 1 2 3 C1=D，因此 ， 1 ( )() 301131 1 011(1)(2) 22 1.50.5 1 13 G sC sIABD s sss ss =+ + =+ + =+ + 1.11 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 25 ( ) (3)(5) + = + s G s ss （1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答答:（1）将重新写成下述形式： ( )G s 125 ( ) 35 s G s ss + = + 每一个环节的状态空间模型分别为： = += 11 11 3 xy ux x ? 和 += += 12 122 25 5 uxy ux x ? 11 yu=， 所以 又因为 = += 212 11 5 3 xxx uxx ? ? 21 52xxy= 6 因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为： u x x x x + = 0 1 51 03 2 1 2 1 ? ? = 2 1 52 x x y 对应的状态变量图为： 5 5 2 2 x ? 2 xy 1 xu 3 1 x ? （2）将重新写成下述形式： ( )G s 0.52.5 ( ) 35 SG ss =+ + 每一个环节的状态空间模型分别为： 11 11 30.5xxu yx = = ? = += 22 22 5 . 25 xy ux x ? 又由于 += = uxx uxx 5 . 25 5 . 03 22 11 ? ? 1212 yyyxx=+=+ 因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为： u x x x x + = 5 . 2 5 . 0 50 03 2 1 2 1 ? ? = 2 1 11 x x y 对应的状态变量图为： 0.5 3 5 u y 2.5 1 x ? 1 x 2 x ? 2 x 7 ,xAxBuyCx=+=?1.12 已知系统的状态空间模型为已知系统的状态空间模型为，写出该系统的特征多项式和传递 函数矩阵。 ，写出该系统的特征多项式和传递 函数矩阵。 det()sIA答答: 系统的特征多项式为， 传递函数为。 1 ( )()G sC sIAB = 1.13 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟 一？ 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟 一？ 答答: 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。 CxyBuAxx=+=,?，写出其对偶状态空间模型。，写出其对偶状态空间模型。 1.14 已知系统的状态空间模型为已知系统的状态空间模型为 答答: 其对偶状态空间模型为: = += xBy uCxAx T TT ? 1.15 两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？ = += xBy uCxAx T TT ? 答答: 对于互为对偶的 与 = += Cxy BuAx x ? ，它们对应的特征多项式分别为 det() T sIAdet()sIA和。 由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的， 故互为对偶的两 个状态空间模型具有相同的特征多项式。 它们对应的传递函数分别为 1 1 () ( )() det() C sIA B G sC sIAB sIA = 1 2 () ( )() det() TT TTT T T BsIAC G sBsIAC sIA = () ()() T TT C sIA BBsIAC = T 由于，det()det() T sIAsIA=，故对偶状态空间模 型之间的传递函数关系为，即互为转置。 12 ( )( )TG sG s= 1.16 考虑由以下状态空间模型描述的系统考虑由以下状态空间模型描述的系统: 010 651 11 xxu yx =+ =+ = ? = ? 试求其传递函数。试求其传递函数。 答答: 由于 11 ( )()()G sC sIABDC sIAB =+= + + = s s ss AsI 6 15 6)5( 1 )( 1 故 8 65 1 ) 1( 65 1 1 0 6 15 11 6)5( 1 )( 22 + + =+ + = + + = ss s s sss s ss sG 1.17 给定系统的状态空间模型给定系统的状态空间模型: 01000 04310 11201 100 001 xx yu =+ = ? =+ = ?u 求系统的传递函数矩阵。 求系统的传递函数矩阵。 答: 答: 系统的传递函数为。由于 1 ( )()G sC sIAB = + + + + = + + = ssss sss sss sss s s s AsI 414 323 32116 3116 1 211 340 01 )( 2 2 2 23 1 1 因此， BAsICsG 1 )()( = + + + + = 10 01 00 414 323 32116 100 001 3116 1 2 2 2 23 ssss sss sss sss + + + = sss s sss41 32 3116 1 223 1.18 试用试用 MATLAB 软件求出下列传递函数的状态空间实现软件求出下列传递函数的状态空间实现: 2 32 1047160 ( ) 1456160 ss G s sss + = + + = + 答答: 执行以下的 m-文件： num=0 10 47 160; den=1 14 56 160; A,B,C,D=tf2ss(num,den) 得到： = 010 001 1605614 A， ， = 0 0 1 B1604710=C， 0=D 由此可知： u x x x x x x + = 0 0 1 010 001 1605614 3 2 1 3 2 1 ? ? ? 9 = 3 2 1 1604710 x x x y 1.19 试用试用 MATLAB 软件求以下系统的传递函数软件求以下系统的传递函数: 11 22 33 1 2 3 0100 1101 1000 100 xx xxu xx x yx x = + = + = ? ? ? = ? ? ? 答答: 执行以下 m-文件： A=0 1 0;-1 -1 0;1 0 0; B=0;1;0; C=1 0 0; D=0; num,den=ss2tf(A,B,C,D) 可得： num = 0 0 1.0000 0 den = 1.0000 1.0000 1.0000 0 因此，系统的传递函数为 sss s sG + = 23 )( 1.20 试用试用 MATLAB 软件求以下系统的传递函数软件求以下系统的传递函数: 11 1 22 2 33 1 2 3 21001 02010 01301 001 xx u xx u xx x yx x =+ =+ = ? ? ? = ? ? ? 答答: 执行以下的 m-文件： A=2 1 0;0 2 0;0 1 3; B=0 1;1 0;0 1; C=0 0 1; D=0 0; num,den=ss2tf(A,B,C,D,1) num,den=ss2tf(A,B,C,D,2) 可得要求的两个传递函数是 10 32 1 ( )2 ( )71612 Y ss U ssss = + 2 32 2 ( )44 ( )71612 Y sss Ussss + = + xPx= =,xAxBuyCx= =+=?+=?P1.21 已知系统的状态空间模型为已知系统的状态空间模型为， 取线性变换阵为， 取线性变换阵为， 且， 且， 写出线性变换后的状态空间模型。 ， 写出线性变换后的状态空间模型。 xPx=,xAxBuyCx=+=?答答: 把，得 代入 PxAPxBu yCPx =+ = ? 因此，线性变换后的等价状态空间模型为： 11 xP APxP Bu yCPx =+ = ? 1.22 线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？简单证明之。线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？简单证明之。 答答: 假设系统的状态空间模型为 DuCxy BuAxx += +=? Txx =后，系统的状态模型变为： 经过线性变换 uDxCy uBxAx += += ? 其中， 1 =TATATBB=DD= 1 = CTC ， 由于 11 1 det()det()det() det( )det()det() det() sIAsITATsTTTAT TsIAT sIA = = = 1 u 故线性变换不会改变系统的特征多项式和极点。 1.23 已知以下微分方程描述了系统的动态特性已知以下微分方程描述了系统的动态特性: 32yyy+ +=? ? + =? 12 ,xyxy= = ? = = ? （1） 选择状态变量） 选择状态变量，写出系统的状态方程；，写出系统的状态方程； （2） 根据（） 根据（1）的结果，由以下的状态变换）的结果，由以下的状态变换: 112 21 2 xxx xx 2 x = =+ = + = 1, xx 12 ,xx的状态空间模型。的状态空间模型。 确定新的状态变量确定新的状态变量 2，试写出关于新状态变量 ，试写出关于新状态变量 答答: (1) 由 12 ,xy xy=?可得 11 = += = 1 122 21 23 xy uxxx xx ? ? 写成矩阵向量形式，可得 = + = 2 1 2 1 2 1 01 1 0 32 10 x x y u x x x x ? ? (2) 由于 11221 ,2 2 xxxxxx=+= ，即 11 22 11 12 xx xx = 容易验证这是一个等价线性变换，故可得 = + = 2 1 2 1 2 1 11 1 1 20 01 x x y u x x x x ? ? 1.24 给定系统给定系统 010 100 xxu abd yx =+ =+