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1 第六章刚体的平面运动习题解答第六章刚体的平面运动习题解答 6-1椭圆规尺AB由曲柄OC带动， 曲柄以角速度 O 绕O轴匀速转动，如图所示。如rACBCOC=， 并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。 解解：AB杆作平面运动，设0=t时，0= = = =，则t 0 =。 选AB杆上的C点位基点，建立平移坐标系yxC，在 图示坐标系中，AB杆在固定坐标系xyO的位置由坐标 ),( CC yx确定，所以AB杆的平面运动方程为： trxC 0 cos=， tryC 0 sin=， t 0 =. 6-2杆AB的A端沿水平线以等速v v v v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为 R，如图所示。如杆与水平线的夹角为，试以角 表示杆的角速度。 解解： 解法一：杆AB作平面运动。选取A为基点， 由速度基点法 CAAC v v v vv v v vv v v v+=， 作图示几何关系，图中vvA=，解得 sinsinvvv ACA =， AB 杆的角速度为 cos sin2 R v AC vCA =（逆时针） . 解法二：在直角三角形ACO 中， x R =sin 上式对时间求导，得 x x R 2 cos= 其中，sin,Rxvx=，解得AB 杆的角速度为 R v cos sin2 = ， （负号表示角速度转向与角增大的方向相反，即逆时针） 6-3半径为r的齿轮由曲柄OA带动， 沿半径为R的固定 齿轮转动， 如图所示。 如曲柄OA以等角加速度绕O轴转动， 当运动开始时，角速度0= O ，转角0=。求动齿轮以中心 A为基点的平面运动方程。 解解：动齿轮作平面运动。建立与曲柄OA固结的转动坐标系 题 6-1 图 题6-2 图 题 6-3 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2 O，和在动齿轮的A点建立平移坐标系yxA，如图所示，从图中可见，因动齿轮和固 定齿轮间没有滑动，所以存在关系 rR= 小轮半径AM相对平移坐标系yxA，也即固定坐标系得转角为 )1 ( r R A +=+=, 而 2 2 1 t t t t= = = =， 可得小轮平面运动方程为 ) 2 1 cos()( 2 trRxA+=，) 2 1 sin()( 2 trRyA+=. 6-4图 示 机 构 中 ， 已 知10.OA=m ， 10.BD=m，10.DE=m，310.EF=m； 4= OA rad/s。在图示位置时，曲柄OA与水平线 OB垂直；且B、D和F在同一铅直线上，又 EFDE。求EF的角速度和点F的速度。 解解：如图所示，对各构件进行速度分析. 1）AB杆作平面运动. 因 BA vv/， 所以AB杆为 瞬时平移，得 smOAvv OAAB /4 . 0=. 2）BC杆作平面运动. 由 BC v v v vv v v v,找得BC杆的速度 瞬心为 D 点，所以，BC杆上的速度分布好像与 三角板DEC一起绕D作定轴转动一样，得 m/s4 . 0= B BC E v BD v DE DC v DEv，方向如图示. 3）EF杆作平面运动. 由 FE v v v vv v v v,找得EF杆的速度瞬心为 EF C，故有 rad/s333 . 1 = EF E EF EC v ， （顺时针） ； m/s462 . 0 = EF EF F FCv， （方向向上） 。 6-5图示四连杆机构中，连杆由一块三角板ABD 构成。 已知曲柄的角速度2 1 = AO rad/s，100 1 =AOmm， 50 21 =OOmm，50=ADmm。当AO1mm 铅直时，AB 平行于 21O O，且 1 O、A、D在同一直线上，角 30=。 求三角板ABD的角速度和点D的速度。 解解： 1 AO杆和 2 BO杆作定轴转动，三角板ABD做平面 运动， 由 BA v v v vv v v v,找得三角板ABD的速度瞬心为 ABD C 点，如图所示. 故 m/s2 . 0 1 1 = AOA AOv， 三角板ABD的角速度： rad/s07 . 1 = AC v ABD A ABD ， （逆时针）. D点的速度： 题6-4 图 题 6-5 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 3 rad/s254 . 0 = ABDABDD DCv. 6-6图示双曲柄连杆机构中，滑块B和E用杆BE连接，主动曲柄OA和从动曲柄OD都 绕O轴转动。OA以匀角速度12 0 =rad/s 转动。已知100=OAmm，120=ODmm， 260=ABmm，120=BEmm，3120=DEmm。 求当曲柄OA垂直于滑块的导轨方向时，曲柄OD 和连杆DE的角速度。 解解：如图机构中，主动曲柄OA作定轴转动， m/s2 . 1=OAvA， AB杆作平面运动，在图示瞬时，由 BA v v v v , , , ,v v v v知，AB 杆作瞬时平移，有 m/s2 . 1= AB vv. BE作平移， BE vv=. 有 ED v v v v , , , ,v v v v找得ED杆速度瞬 心为D点.在图示位置上可得 ODEBOAABOE= 22 ， 由此可知 30=OEDODE，ED杆角速度为 rad/s77 . 5 3 3 10 = CE vE DE ， D点的速度为 m/s08 . 2 3 6 . 3 = DED CDv， 曲柄OD的角速度为 rad/s32.17310= OD vD DO ， （逆时针）. 6-7使砂轮高速转动的装置如图所示。杆 21O O绕 1 O 轴转动，转速为900 4 =nr/min， 2 O处用铰链连接一半径为 2 r的动齿轮 2，杆 21O O转动时，轮 2 在半径为 3 r的固定内 齿轮 3 上滚动，并使半径11 21 /rr=的轮 1 绕 1 O轴转动。轮 1 上装有砂轮，随同轮 1 高速转动。求砂轮的转速。 解解：如图所示: 设轮 1 和杆 21O O的角速度分别为 1 和 4 ， 杆 21O O作定轴转动，故 4212 )(rrvO+= 轮 1 和轮 2 啮合点 M 的速度 2 2 OM vv=，注意 213 2rrr+=，可得轮 1 的角速度 44 1 21 1 1 12= + = r rr r vM ， （顺时针） 轮 1 的转速为 minr/1080012 41 =nn， （顺时针）. 题6-6 图 题 6-7 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 4 6-8图示瓦特行星传动机构中，平衡杆AO1绕 1 O轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB；而 曲柄OB活动地装在O轴上；在O轴上装有齿轮 1，齿轮 2 的轴安装在连杆AB的另一端。已 知：3300 21 =rrmm，mm750 1 =AO，mm1500=AB； 又平衡杆的角速度6 1 = O rad/s。 求当 60=和 90=时， 曲柄OB和齿轮1的角速度。 解解：由图所示可知：点 C 是 AB 杆和轮 II 的速度瞬心， 故 1 1 4 1 2 1 O O A AB AB AO CA v = =， （逆时针）. 1 3375 OABB CBv=， 杆OB的角速度为 rad/s75 . 3 21 = + = rr vB OB ， （逆时针）. 两齿轮啮合点M的速度为 ABM CMv=, 则轮 1 的角 速度为 rad/s6 1 = r vM I ， （逆时针）. 6-9如图所示，轮O在水平面上匀速滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块B，此滑块 在摇杆AO1的槽内滑动，并带动摇杆绕 1 O轴转动。已知轮的半径50.R=m，在图示位置时， 1 AO是轮的切线，轮心的速度20. . . .= O vm/s，摇杆与水平面的夹角为 60。求摇杆的角速度和 角加速度。 解解：轮O作匀速纯滚动， r vO O =，且0= OO ，点B作合成运动。 选销钉 B 为动点，摇杆为动系。 1） 速度分析： OO vCBv3 a = 根据速度合成定理 rea v v v vv v v vv v v v+=作速度平行四边形，如图 (a)所示，求得 O vvv 2 3 30cos ar = , O vvv 2 3 30sin ae = . 题6-8 图 题 6-9 图 题 6-9 速度和加速度分析图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 5 摇杆的角速度为rad/s2 . 0 1 e 1 = BO v O ， （逆时针）. 2) 加速度分析： ）选轮心 O 为基点，则销子 B 的加速度如图（b）所示，有 ntn BOBOBOOB a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a=+=（d） 再选定销钉B为动点，摇杆为动系，如图（c） ，有 cr t e n e a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a+= B (e) 由式（d）,(e)得 n BO a a a a= n e a a a a+ t e a a a a+ r a a a a+ c a a a a 大小： 2 O R 1 2 1 OBO 1 1O BO？ r 1 2v O 方向：如图（b） ， （c）所示 向BO轴上投影 c t e n aaaBO+=， 解出 c n e aaa BO =，于是摇杆的角加速度为 2 1 t e rad/s0462. 0 1 = BO a AO ， （逆时针）. 6-10在 图 示 机 构 中 ， 已 知 ： 滑 块A的 速 度 200= A vmm/s，400=ABmm。求当CBAC=， 30= 时杆CD的速度。 解解：选套筒上的销钉 C 为动点，AB 杆为动系，动系作平面 运动. 1）速度分析. 由 BA v v v vv v v v,找得 AB 杆的速度瞬心 AB C，故 AB 杆的角速度为rad/s1= AC v AB A AB ，而 C 点的牵连速度为 mm/s200 e = ABABC Cv， 由速度合成定理 rea v v v vv v v vv v v v+=，解得 m/s115 . 0 mm/s3 3 200 30cos2 e ra = v vvvCD 2）加速度分析.AB 杆作平面运动，以 A 为基点，有 B a a a a= A a a a a+ t BA a a a a+ n BA a a a a 大小：？0 AB AB 2 AB AB 方向: 向水平轴投影，列出 030cos30sin nt = BABA aa， 解得 2nt 330cot ABBABA ABaa= ， 于是求得AB杆的角加速度为 rad/s3 t = AB aBA AB ， （顺时针）. 再对套筒上的销钉 C 作加速度分析，仍以此销钉 C 为动点，AB 杆为动系，加速度合成定理为 题 6-10 图 题 6-10 速度分析图 题 6-10 加速度分析图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 6 crea a a a aa a a aa a a aa a a a+=， 其中Ac A += n Ac t Ce a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a，这里C是AB杆上与C C C C重合的点，所以 a a a a a= A a a a a+Ac t a a a a+Ac n a a a a+ r a a a a+ c a a a a 大小:？0 AB AC 2 AB AC ？ r 2v AB 方向: 向轴投影，列出 c t ea 30cosaaa+= ， 解出m/s667 . 0 3 10 3 3 233 3 2 a = +=AC AC ACa. 即m/s667. 0 a =aaCD， （向下）. 6-11直径为d的圆轮沿直线轨道滚动而不滑动，长为l的杆AB在A端与轮缘铰接，在B 端与沿倾角为 60的滑道而运动的滑块铰接。 已知轮心O点以速度 0 v v v v匀速运动。 当 30=时， 杆AB处于水平。求此时滑块B的速度和加速度。 解解：1）速度分析. 圆轮作纯滚动，与地面接触点 0 C位速度瞬心， 圆 轮的角速度为 d vO O 2 = 从而有 OOA vdv3cos=. AB 杆作平面运动， BA vv,找得 AB 杆的速度瞬心 AB C，于是 AB 杆的角速度为 AC v AB A AB =， 滑块 B 的速度为 OA AB AB ABABB vv AC BC BCv3=， 方向如图示. 2） 加速度分析. 圆轮作匀角速纯滚动，轮心 O 的加速度为零，以此为基点，容易求得轮缘上 A 点的加速度 为 d vd a O OA 2 2 2 2 =，指向轮心. AB 杆作平面运动，以 A 为基点，计算 B 点的加速度，有 nt BABAAB a a a aa a a aa a a aa a a a+=， 其中 2n ABBA ABa=，向x轴投影，列出 n 30cos60cos BAAB aaa+= ， 解得： 题 6-11 图 题 6-11AB 杆的加速度分析图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 7 2 123 2 OB v ld a +=，方向如图示. 6-12图示配汽机构中，曲柄OA长为r，绕O轴以等角速度 0 转动，rAB6=，rBC33=。求机构在图示位置时，滑 块C的速度和加速度。 解解：1）速度分析. 曲柄 OA 作定轴转动， 0 rvA=. AB 杆作平面运动，由 BA v v v vv v v v,找得 AB 杆的速度瞬心 AB C，由此 得 AB 杆的角速度 33 0 = r vA AB . B 点速度为 0 3rBCv BAABB =. BC 杆作平面运动，由 CB v v v vv v v v,找得 BC 杆的速度瞬心 BC C，由此得 BC 杆的角速度 6 0 = CC v BC B BC . 滑块 C 的速度为 0 2 3 rCCv BCBCC =，向下. 注意到，如果题目只要求 B 和 C 点的速度，而 不需要求杆的角速度， 则用速度投影法求解更方便简 捷。 2）加速度分析. 对 AB 杆，选 A 为基点，则 B 点加速度为 B a a a a= n A a a a a+ t BA a a a a+ n BA a a a a 大小：？ 2 O r AB AB ？ 2 AB AB 方向：方向都已知，如图所示. 向 AB 轴投影，得 nn 30sin30sin BAAB aaa= 解得 2 3 1 OB ra=. 对 BC 杆，选 B 为基点，C 点加速度为 C a a a a= B a a a a+ t CB a a a a+ n CB a a a a 大小： ？ 2 3 1 O r？ 2 BC BC 方向：方向都已知，如图所示 题 6-12 图 题 6-12 速度分析图 题 6-12 加速度分析图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 8 向 BC 轴投影，得 2n 12 3 30cos OCBBC raaa= ，方向向上. 6-13图示轻型杆式推钢机中，曲柄OA借连杆AB带动摇 杆BO1绕 1 O轴摆动，杆EC以铰链与滑块C相连，滑块C可沿 杆BO1滑动。摇杆摆动时带动杆EC推动钢材。已知 rOA=，rAB3=，3/2 1 bBO=， 在 图 示 位 置 时 ， 3/4bBC=，5 . 0 OA =rad/s，2 . 0=rm，1=bm. 求滑块C 的绝对速度和绝对加速度，滑块C相对于摇杆BO1的速度和加 速度。 解解：1）速度分析 该机构速度分析如图（a）. AB 杆作平面运动，以 A 为基点， OAA rv=，有 BAAB v v v vv v v vv v v v+= 解出 m/s115 . 0 30cos = A B v v， m/s0577 . 0 30tan= ABA vv， 于是，杆BO1的角速度为 rad/s1732 . 0 1 1 = BO vB ， （逆时针） ； 杆BA的角速度为 rad/s1667 . 0 = AB vBA BA ， （顺时针）. 选取滑块上的销钉 C 为动点，摇杆BO1为动系，则 m/s346 . 0 11e =COv. 由速度合成定理 rea v v v vv v v vv v v v+=， 解出滑块C相对于摇杆BO1的速度： m/s2 . 030tan er = vv, 滑块C的绝对速度： m/s4 . 0 30cos e a = v vvCE， （向左）. （2）加速度分析. 该机构加速度分析如图（b） ，对 AB 杆，以 A 为基 点，有 t B a a a a+ n B a a a a= A a a a a+ t BA a a a a+ n BA a a a a 大小：？ 2 11 BO 2 O r？ 2 BA AB 方向：方向都已知 ，如图（2）所示 向水平轴投影，列出 nnt 30sin30cos BABB aaa=+ ， 题 6-13 图 (a) 题 6-13 速度分析图 (b) 题 6-13 加速度分析图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 9 解出() 2 m/s0227 . 0 2 3 1 =+= n BA n BB aaa，于是，杆BO1的角加速度为 2 1 t 1 rad/s0340 . 0 = BO aB ， （逆时针）. 仍取滑块上的销钉 C 为动点，摇杆BO1为动系，则由 a a a a a= t e a a a a+ n e a a a a+ r a a a a+ c a a a a 大小：？ 11 CO 2 11 CO？ r1 2v 方向：方向都已知，如图（b）所示 向轴和CO1轴投影 c t ea 30cosaaa= ， r n ea 30sinaaa= ， 解出滑块 C 的绝对加速度和相对于摇杆的加速度为 () 2 c t ea m/s158 . 0 30cos 1 =aaa ， 2 a n er m/s139. 030sin= aaa. 6-14图示行星齿轮传动机构中，曲柄OA以角速 度 0 绕O轴转动， 使与齿轮A固结在一起的杆BD运动， 并借铰链B带动BE杆运动。如定齿轮的半径为 2r，动 齿轮半径为r，且rAB5=，图示瞬时，OA在铅直位 置，BD在水平位置，杆BE与水平线间成角。求杆 BE上的点C的速度和加速度。 解解：1）速度分析. 动齿轮A在定齿轮O上作纯滚动，所以，动齿轮A 上与定齿轮O接触的这点 AB C就是动齿轮的A的速度瞬 心，于是有 0 3rvA=， 0 3= r vA AB ， （逆时针）. 0 63rBCv ABABB =. 选BE杆上的B点为动点， 套筒C为动系， 如图 （a）。 由速度合成定理 rea v v v vv v v vv v v vv v v v+= B ， 得 () 0ar 865 . 6 90cosrvv= ， () 0ae 622 . 2 90sinrvv= . 式中() 1 . 2451arctan=. 从而杆BE的角速度为 0 e e 618 . 0 = BC v ， （顺时针）. 当选BE杆上的C为动点时，牵连速度为零，又因 为杆相对于套筒是作平移，从而杆BE上的C点的速度 为 0r 865. 6rvvC= . 题 6-14 图 题 6-14 速度分析图 题 6-14 加速度分析图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 10 3） 加速度分析，如图（b） ，小齿轮作平面运动，选 A 为基点，则 B 点加速度为 tn BABAAB a a a aa a a aa a a aa a a a+=, 式中因0= AB 得0 t = BA a a a a.另一方面，选杆上的 B 点为动点，套筒为动系，则有 cr n e e a a a aa a a aa a a aa a a aa a a a+= B ， 由此两式得 A a a a a+ n BA a a a a= t e a a a a+ n e a a a a+ r a a a a+ c a a a a， 大小： 2 0 3r 2 5 AB r？BC 2 e ？ re 2v 方向：如图（b）所示 向 CB 轴投影， n er n 45cos45cosaaaa BAA += 解出 2 0r 73.13ra=. 再选杆上C为动点，套筒为动系，有 aC a a a a= eC a a a a+ rC a a a a+ cC a a a a 大小:？0 r a a a a r 2v e 方向:见图（2）C 处 得杆上C点加速度为 2 0 c 22 r 14.16raaaC C =+= . 6-15曲柄OA以恒定的角速度2rad/s=绕轴O转动， 并借助连杆AB驱动半径为r的轮子在半径为R的圆弧槽中作 无滑动的滚动。设1m2=rRABOA，求图示瞬时点B 和点C的速度和加速度。 解解：1） 速度分析. 如图（a） ，点P为轮子速度瞬心，AB 杆作 瞬时平移，有m/s2=Rvv AB ,0= AB .轮 B 的角速度 为 rad/s42= r vB B , m/s828 . 2 22=rPCv BC . 2）加速度分析. AB 杆作平面运动，取 A 为基点，对 B 作加速度分析，如 图（a） ，有 t B a a a a+ n B a a a a= A a a a a+ t BA a a a a+ n BA a a a a 大小:？ r vB 2 2 R？0 2 =R BA 方向:如图（a）所示 分别向 AB 轴和 BP 轴投影，得 0 nt = BAB aa,0 tn = BAB aa 故 B 点加速度为m/s8 2 n = r v aa B BB ，m/s8 nt = BBA aa.AB 杆的角加速度为 题6-15 图 题 6-15（a）图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 11 2 t m/s8= AB aBA AB . 轮 B 的角加速度为 2 t m/s0= AB aB B . 轮作纯滚动，取 B 为基点，作 C 点的加速度分析，如图（b） 所示，即 C a a a a= B a a a a+ n CB a a a a+ t CB a a a a 大小：？ n B ar B 2 0=r B 方向：如图（b）所示 故点 C 加速度 222 m/s31.11=+= CBBC aaa. 6-16 图示机构中， 曲柄OA以等角速度 0 作定轴转动， 并带动连杆ABD及 DF 运动，E处为一有固定支承德套筒， 它 可 绕E点 摆 动 。 已 知 机 构 尺 寸 为rOA=， rBDAB2=，且在图示位置时，rDE5=，试求此 瞬时杆DF的角速度及角加速度。 解解：1）速度分析. AD 杆作平面运动，由 BA v v v vv v v v,找得 AD 杆的速度瞬心 AD C，于是有 0 rvA=， 4 0 = AC v AD A AD ， 0 2rDCv ADADD =， 其中rDCAD24=. DF杆作平面运动，由 ED v v v vv v v v,找得DF杆的速度瞬心 DF C，于是有 0 5 3 = DC v DF D DF ， （顺时针方向）. 其中rDCDF 3 25 =. 若以D为动点， 套筒E为动系， 则由速度合成定理求 得 0r 5 5 24 5 4 rvv D =. 2）加速度分析. AD杆作平面运动，以 A 为基点，B 点加速度为 B a a a a= A a a a a+ t BA a a a a+ n BA a a a a 大小： ？ 2 0 r AD r2？ 2 2 AD r 方向：如图（b）所示 题 6-16 图 题 6-16 (a) 图 题 6-15（b）图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 12 向铅锤轴列投影式： ()0sincos nt =+ BABAA aaa 解得 2 0 t 16 15 raBA=, 2 0 t 32 15 = AB aBA AD ， （逆时针）. 仍以A为基点，D点加速度分析如图 （b）所示，有 nt DADAAD a a a aa a a aa a a aa a a a+=， 式中有 3 个未知量，故再选D为动点， 套筒E为动系，有 cr n e t ea a a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a a+= D 由上两式相等得 A a a a a+ t DA a a a a+ n DA a a a a= t e a a a a+ n e a a a a+ r a a a a+ c a a a a 大小： 2 0 r AD AD 2 AD AD ？ 2 DF ED ？ r 2v DF 方向：如图（b）所示 上式向水平轴投影， () c t e nt cossinaaaaa DADAA +=+ 解出 2 0 t e 5 200 63 ra=,DF杆的角加速度为 2 0 2 0 t e 315 . 0 200 63 =r DE a DF ， （逆时针）. 6-17图中滑块A、B、C以连杆AB、AC相铰接。 滑块B、C在水平槽中相对运动的速度恒为m/s1.6=s。 求当50mm=x时滑块B的速度和加速度。 解：1）速度分析. 滑块A、B、C都作直线运动，设 CBA v v v vv v v vv v v v,方向如图 所示，由题意可知存在关系 svv CB =+，（a） 0=+ CB aa.(b) 又，杆AB和AC都作平面运动，由速度投影法得 sincos AC vv=，（c） sincos AB vv=