清华出版社工程力学答案第7章圆轴扭转时的强度与刚度计算.pdf

1 eBook eBook 工程力学习题详细解答 教师用书 教师用书 (第(第 7 章)章) 2011-10-1 范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室 FAN Qin-Shan FAN Qin-Shan , ,s Education & Teaching Studios Education & Teaching Studio 2 习题习题 71 习题习题 72 习题习题 73 习题习题 74 习题习题 75 习题习题 76 习题习题 77 习题习题 78 习题习题 79 习题习题 710 习题习题 711 习题习题 712 3 工程力学习题详细解答之七 工程力学习题详细解答之七 第 7 章 圆轴扭转时的应力变形分析 以及强度和刚度设计 第 7 章 圆轴扭转时的应力变形分析 以及强度和刚度设计 71 扭转剪应力公式 p /)(IMx=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。 （A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴； （C）等截面圆轴与椭圆轴； （D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 解：解： p )(IMx=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时 推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。所以正确答案是 A 。 72 两根长度相等、 直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后， 轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 max1 和 max2 ，剪切弹 性模量分别为 G1和 G2。试判断下列结论的正确性。 （A） max1 max2 ； （B） max1 max2 ； （C）若 G1G2，则有 max1 max2 ； （D）若 G1G2，则有 max1 max2 。 解：解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即= 21 由剪切 胡克定律G=知 21 GG 时， max2max1 。因此，正确答案是 C 。 73 承受相同扭矩且长度相等的直径为 d1的实心圆轴与内、外径分别为 d2、 )/( 222 DdD=的空心圆轴，二者横截面上的最大剪应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有 如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A） 234) 1 (； （B）)1 ()1 ( 2234 ； （C）)1)(1 ( 24 ； （D）)1/()1 ( 2324 。 解：解：由 max2max1 =得 )1 ( 16 16 43 2 3 1 = D M d M xx 即 3 1 4 2 1 )1 (= D d （a） 二者重量之比 )1 ( 22 2 2 1 2 1 2 1 = D d A A W W （b） （a）代入（b） ，得 4 2 3 2 4 2 1 1 )1 ( = W W 所以，正确答案是 D 。 74 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为 mm。若已知 Me11765 Nm，Me2 1171 Nm，材料的切变模量 G80.4 GPa，求： 1轴内最大剪应力，并指出其作用位置； 2轴内最大相对扭转角 max 。 解：解：1. 确定最大剪应力 AB 段： () () e1e2 max33 -3 1P 1765 11712936 N m 2936 43 6 MPa 70 10 16 16 . xAB xABxAB AB MMM MM AB dW =+=+= = BC 段： () () e1 max33 3 2P2 1171N m 1171 47 7 MPa 50 10 16 16 xBC xBCxBC MM MM BC dW = = 2. 确定轴内最大相对扭转角 max ()() max 21 P1P2 33 44 9-39-3 222 2936 700 10321171 500 1032 80 4 1070 1080 4 1050 10 1 084 101 187 102 271 10 rad . ABBC xABxBC MlMl GIGI =+ =+ =+ =+= 75 图示实心圆轴承受外加扭转力偶，其力偶矩 Me=3 kNm。 试求： 1轴横截面上的最大剪应力； 2轴横截面上半径 r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 700 500 B A A C Me2 Me1 7070 5050 固定 固定 习题 74 图 5 60 30 l Me 固定 固定 习题 75 图 习题 76 图 3去掉 r = 15mm 以内部分，横截面上的最大剪应力增加的百分比。 解：解：1 7 .70 06. 0 16103 16 3 3 3 PP max1 = = d M W M W M eex MPa 2 4 2 d2d 4 pp 01 r I M I M AM xx r A r = %25. 6 16 1 ) 60 15 (16 16 32 4 2 4 2 4 4 4 4 4 p 4 = = d r d r I r M M x r 3 = 4 3 p max2 ) 2 1 (1 16 d T W Mx =75.4MPa %67. 6 15 1 ) 2 1 (1 ) 2 1 ( 14 4 4 4 max1 max1max2 = = = = 76 同轴线的芯轴 AB 与轴套 CD，在 D 处二者无接触，而在 C 处焊成一体。轴的 A 端承受扭转力偶作用， 如图所示。 已知轴直径 d66 mm， 轴套外直径 D80 mm， 厚度 6 mm；材料的许用剪应力 60 MPa。求：结构所能承受的最大外力偶矩。 6 解解： 6 3 1 1p max 1060 16 = d T W Mx 轴 338710 16 66 1060 9 3 6 1 = T Nm 6 4 3 2 2p max 1060 ) 80 68 (1 16 = d T W Mx 套 2883) 20 17 (110 16 80 1060 49 3 6 2 = T Nm 2883 2max =TT Nm 3 1088. 2=Nm 77 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为 R0，空心圆轴的内、外半径分别为 R1 和 R2，且 R1/R2 =n；二者所承受的外加扭转力偶矩 分别为 Mes和 Meh。若二者横截面上的最大剪应力相等，试证明： 2 2 eh es 1 1 n n M M + = 解：解：因为长度和质量相等，所以面积也相等。于是有 )( 2 1 2 2 2 0 RRR= （a） 2 16 3 0 es 3 es max R M d M = （b） )1 ( 16 )2( 4 3 2 eh max n R M = （c） 由（b） 、 （c）二式，得 )1 ( 43 2 3 0 eh es nR R M M = （d） 由（a）式有 2 1 2 2 2 0 RRR= 将其代入（d）式，最后得到所要证明的结论： 2 2 22 2 3 2 4 2 3 2 43 2 2 3 2 1 2 2 eh es 1 1 )1)(1 ( )1 ( 1 )1 ( )1 ( )( n n nn n n n nR RR M M + = + = = = 78 图示圆轴的直径 d=50mm， 外力偶矩 Me=1kNm， 材料的 G=82GPa。 试求： 1. 横 截面上 A 点处（A=d/4）的剪应力和相应的剪应变；2. 最大剪应力和单位长度相对扭转角。 7 解：解：1. A 点的剪应力 P I Mx A = 式中， 3 1kN m1 10 N m xe MM= 32 50 32 44 P = d I 代入上式求得= A MPa4 .20 4 50 32 50 101 4 6 = 剪应变 3 3 10248. 0 1082 4 .20 = = G A A 2. 最大剪应力 P max W M x = 16 3 P d W = = max MPa7 .40 16 50 101 3 6 = 单位长度相对扭转角： = xd d = P GI M x m/14. 1rad/m01987. 0 5082 32101 4 6 ? = 79 已知圆轴的转速 n=300 rmin，传递功率 450 马力，材料的 =60 MPa， G=82GPa。要求在 2m 长度内的相对扭转角不超过 1，试求该轴的直径。 解：解：1. 求外力偶矩 mkN53.10 300 450 02. 702. 7= n P Mx 2. 按强度条件求轴的直径 MeMe A A MeMe C MeMe A A MeMe C 习题 78 图 8 P W M x 16 3 D M x ， ex MM= 所以 mm3 .96m0963. 0 1060 1053.1016 16 3 6 3 3= = x M D 3. 按刚度条件设计轴的直径 = P GI M x rad/mm 102180 m2/1 3 = ? mm6 .110 1082 1053.1032 32 4 3 6 4= = G M D x 取直径为 111mm。 710 钢制实心轴和铝制空心轴(内外径比值=0.6)的横截面面积相等。80= 钢 MPa， 50= 铝 MPa。若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩? 解：解：设钢质轴截面积为 A，直径为 d；铝质轴截面积为 A，外径为 D； 根据题意有 AA，即 4 )1 ( 4 222 = Dd 得到 2 1 = d D 钢质轴承受之扭矩为：80 16 3 x = d M 铝质轴承受之扭矩为：50 16 )1 ( 43 x = D M 两者之比为： 941. 0 50)1 ( 80)1 ( 4 2/32 x x = = M M 所以，铝质空心轴承受较大扭矩。 711 化工反应器的搅拌轴由功率 P=6kW 的电动机带动，转速 n=30r/min，轴由外直 径 D=89mm、壁厚 t=10mm 的钢管制成，材料的许用切应力50=Mpa。试校核轴的扭转强 度。 解：解：1. 求外力偶矩 mkN91. 1 30 6 55. 955. 9= n P Me 2. 按强度条件设计轴的直径 ex MM= ， 775. 0 89 69 = P max W M x =MPa6 .21 )775. 01 (89 1091. 116 43 6 = = 该轴的扭转强度是安全的。 9 712 功率为150kW、转速为15.4r/s(转/秒)的电机轴如图所示。其中d1=135mm， d2=75mm，d3=90mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带