基地班数理方法考试试卷及参考答案.pdfVIP

华中师范大学华中师范大学 2007 2008 学年第一学期学年第一学期 期末考试试卷（期末考试试卷（B 卷）卷） 课程名称 数学物理方法 课程编号 83810012 任课教师 李高翔 题型 选择题 证明题计算题计算题 总分 分值 20 30 38 12 100 得分 得分 评阅人 一、选择题： （共5题，每小题4分，共20 分） 1关于复数的对数函数，下面公式正确的是（ ）。 (A)(B) 1 212 Ln()Ln( )Ln()z zzz 1 212 ln()ln( )ln()z zzz(C) (D) 2 Ln2Lnzz 2 ln2lnzz 2设C是从到的直线段，则0z 1z 院（系） ： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 - i C zdz ( )。 ( A) i 4 e ( B) 2 1i ( C) i 4 e (D) 1+i 3设C是圆 1 2 i ze ，则 sin () z C z dz ee 。 (A) (B)sin1 sin1 2 i e (C) sin1 2 i e (D)0 4函数)(z在z=0解析，f(z)以z=0为一阶极点，且留数为1，则Res( ) ( )f zz,0=（ ） 。 （A）)0( （B） )0( （C） 2)0( （D）2)0( 5z=1是函数 z z e 1 的（ ） 。 （A）本性奇点 （B）一阶极点 （C）可去奇点 （D）二阶极点 得分 评阅人 二、证明题： （共3题，每小题10分，共30分） 1已知 ， 0 2/1 2 21 l l l txPttx1t，试证明：( 11 21)( )( )( ) lll lP xPxPx 2证明： )( )( xx。 第 1 页(共 3 页) 3证明在下列有界条件下的本征值问题中，本征函数的正交性。 ( ) ( )( )0,( , ) ( )( ) ddy x p xy xx dxdx y ay b 及有界， a b 其中p(x)为非负的连续实函数，且p(a)=p(b)=0。 得分 评阅人 三、计算题： （共2题，第1题18分，第2题20分，共38分） 1试用级数解法求解在 邻域内 0 0 z3 0wzw的解，其初始条件为 。 1)0( , 0)0(ww 第 2 页(共 3 页) 2 半球的球面保持一定温度u0cos， 半球底面保持零度， 试求这个半球的稳定温度分布， 设球半径为 0 R。 得分 评阅人 四、计算题： （共1题，12分） 利用拉普拉斯变换法求解微分积分方程的初值问题： 0 ( )( )() ( )( )2 (0)(0)1 t f tg tf te d ftg t fg 第 3 页(共 3 页) 华中师范大学华中师范大学 2007 2008 学年第一学期学年第一学期 期末考试期末考试 B 卷参考答案卷参考答案 课程名称 数学物理方法 课程编号 83810012 任课教师 李高翔 题型 选择题 证明题计算题计算题 总分 分值 20 30 38 12 100 得分 得分 评阅人 一、选择题： （共5题，每小题4分，共20 分） 1关于复数的对数函数，下面公式正确的是（ A ）。 (A)(B) 1 212 Ln()Ln( )Ln()z zzz 1 212 ln()ln( )ln()z zzz(C) (D) 2 Ln2Lnzz 2 ln2lnzz 2设C是从到的直线段，则0z 1z 院（系） ： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 - i C zdz ( A )。 ( A) i 4 e ( B) 2 1i ( C) i 4 e (D) 1+i 3设C是圆 1 2 i ze ，则 sin (D) z C z dz ee 。 (A) (B)sin1 sin1 2 i e (C) sin1 2 i e (D)0 4函数)(z在z=0解析，f(z)以z=0为一阶极点，且留数为1，则Res( ) ( )f zz,0=（ A ） 。 （A）)0( （B） )0( （C） 2)0( （D）2)0( 5z=1是函数 z z e 1 的（ A ） 。 （A）本性奇点 （B）一阶极点 （C）可去奇点 （D）二阶极点 得分 评阅人 二、证明题： （共3题，每小题10分，共30分） 1 已知 l l txP， 0 2/1 2 21 l ttx1t，试证明：( ) l Px 11 (21)( )( ) ll lP xPx 证：由母函数关系式，得 1 2 2 0 (12)( ) l l l xttp x t （1） 两边对t求导，得 1 2 2 0 ()(12)( ) l l l 1 xtxttlp x t （2） 两边乘以(1 2 2)xtt，再将母函数关系式代入左边，即有 21 00 ()( )(12)( ) ll ll ll xtp x txttlp x t 两边比较的系数，即得 (3) l t(1l ) l l l 11 (1)( )(21)( )( )0 lll lpxlxp xlpx 再将母函数关系式(1)两边对求导 ，再与(2)式联立，可得 两边比较的系数，即有 1 00 ( )()( ) l l ll tlp x txtpx t t xPxxPxlP lll 1 (4) 由（3）式两边对x求导，再与（4）式联立消去含 1 ( ) l px 的项，即得 ( (5) )( )()() 1 1 xxPxPxPl lll 将（4）和（5）加起来即得 ( 11 21)( )( )( ) lll lP xPxPx 2证明： )( )( xx。 证：()x是对宗量x求导的，考虑到( )x是偶函数，所以 ()( ) ()( ) ()( ) dxdx xx dxd x 第 1 页(共 3 页) 3证明在下列有界条件下的本征值问题中，本征函数的正交性。 ( ) ( )( )0,( , ) ( )( ) ddy x p xy xx dxdx y ay b 及有界， a b 其中p(x)为非负的连续实函数，且 ( )( )0.p ap b 证：因为此时 a 和 b 皆为方程的正则奇点，在有界条件下，本征函数在 a、b 两点连续，一阶导数存在。设 对应于本征值 1 和 2 的本征函数分别为 1( ) y x与 2( ) yx。 1( ) y x和 2( ) yx满足方程 1 1 * * 2 2 ( ) ( )( )0 ( ) ( )( )0 dy xd p xy x dxdx dyxd p xyx dxdx 用 * 2 y乘以第一式、用 1 y乘以第二式，然后二者相减并从a到b积分，且注意到p(a)=p(b)=0，则有 * 1212 * * 21 12 ()( )( ) ( )( ) ( )( )( )0 b a b a y x yx dx dyxdy x p xy xyx dxdx 2 因 1 ，所以对于不同本征值的本征函数正交，即 * 12 ( )( )0 b a y x yx dx 得分 评阅人 三、计算题： （共2题，第1题18分，第2题20分，共38分） 1试用级数解法求解在 邻域内 0 0 z3 0wzw的解，其初始条件为 。 1)0( , 0)0(ww 解： （1）解的形式。系数( )0, ( )p zq zz 0 0 在z解析，是方程的常点，所以 0 z 解的形式为：w z 0 ( ) k k k c z （2）系数递推公式。将代入方程，得： ( )w z 21 20 3 (1)0 kk kk kk k kc zc z 22 1 63(2)(1) k kk k ckkccz 1 0 1 22 0, 3(2)(1) k k c cc kk 即 3 3 (1) k k c c k k ， 亦即 33 3 3 3 (31) k k c c kk 。 (a) 用c表示c 03k 3336 3 0 1 3 3 (31)3 3 (31) (33)(34) 1 3 3 (31)(33)(34)6 5 3 2 kk k cc c kkkkkk c kkkk (b) 用c表示 131k c 3235 31 1 1 3 3 (31)3 3 (31) (32)(33) 1 3 (31)3 (32)(33)7 6 4 3 kk k cc c kkkkkk c kkkk 因c，故 2 0 58 0cc （3）方程的通解： 331 01 01 11 ( ) 3 3 (31)6 5 3 23 (31)37 6 4 3 kk kk c zc z w zcc z kkkk ) ) （4）由初始条件定 及解。因 01 ,c c 0(0 1(0 w w ，所以 0 1 0 1 c c 得解： 31 1 ( ) 3 (31)37 6 4 3 k k z w zz kk 第 2 页(共 3 页) 2 半球的球面保持一定温度u0cos， 半球底面保持零度， 试求这个半球的稳定温度分布， 设球半径为 0 R。 解：取坐标原点在球心，极轴为对称轴的球坐标系，温度分布由( , )u R表示。 （1）定解问题 2 0 00 0(, 0 (, )cos(0/2) ( ,/2)0 uRR u Ru u R /2) （2）将( , )u R作奇延拓，将半球问题化为全球问题。 拉普拉斯方程的通解含有勒让得多项式，在确定叠加系数时要将 0 (, )u R展开成广义傅立叶级数，而 (cos ) l P定义在区间-1，1，球坐标在区间0, 取值。因此要把u R( , )中的由区间0,/2延拓 到区间0, 。为保持半球底面温度为零度，就要假定下半球面有一对称的负温度分布 cos(u/2) /2) 。 （3）新的定解问题 2 0 00 0(, 0 (, )cos(0) (0, ) uRR u Ru u 有界 （4）对称性及通解的形式。本问题具有轴对称，通解为 1 0 ( , )() (cos ) ll lll u RARB RP （5）定系数。球内问题，由u(0, )为有限得到0 l B 。将 l B代入上式，得 0 ( , )(cos ) l ll u RAR P 由上式和 00 (, )cosu Ru，并利用(cos )cos l P，即有 001 0 (cos )(cos ) l ll l AR Pu P 由 (cos ) l P的正交性，可得 0 l R A R ，A0 (1) l l。将代入通解得到 l A 010 00 ( , )(cos )cos(0/2) RR u RuPu RR 得分 评阅人 四、计算题： （共1题，12分） 利用拉普拉斯变换法求解微分积分方程的初值问题： 0 ( )( )() ( )( )2 (0)(0)1 t f tg tf te d ftg t fg 解：令 0 ( ) ( )( ) pt f pL f tf t edt 、 0 ( ) ( )( ) pt g pL g tg t edt ，利用卷积定理可得 0 1 ()( 1 t Lf te df p p ) 于是有 1 ( )( )( ) 1 2 ( ) 1( ) 1 f pg pf p p pf ppg p p 解