高等电磁场理论习题解答作业.pdf

第一章 基本电磁理论 1-1 利用Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell方程导出其频域形式。 （作1-21-3） 解：付氏变换和付氏逆变换分别为： 麦氏方程： 对第一个方程进行付氏变换： （时谐电磁场） 同理可得： 上面四式即为麦式方程的频域形式。 1-2 设各向异性介质的介电常数为 当外加电场强度为 (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) 求出产生的电通密度。（作1-6） 解： 将E分别代入，得： 1-3 设各向异性介质的介电常数为 试求：(1) 当外加电场强度时，产生的电通密度D； (2) 若要求产生的电通密度，需要的外加电场强度E。（作1-71-8） 解： 即：. 附： 又 所以 1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为 试求该点表面电荷及电流密度。 解：由已知条件，理想导体表面某点： (1-6-1) (1-6-2) 知该点处的法向单位矢量为： (1-6-3) 理想导体表面上的电磁场满足边界条件： (1-6-4) (1-6-5) 将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为： (1-6-6) 将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为： (1-6-7) 1-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为 , 试证无源区中的时谐电 场强度满足下列方程: （作1-9） 证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足 (1-9-1) (1-9-2) 对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得 又 所以 (1-9-3) 又在非均匀各向同性介质中 即 (1-9-4) 将(1-9-4)代入(1-9-3)，得 即 第2章 平面电磁波 2-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动 方程及亥姆霍兹方程。 解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell方程 组为 (2-1-1) (2-1-2) (2-1-3) (2-1-4) 对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得 即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得 所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为 (2-1-5) (2-1-6) 由(2-1-4)式得 即 (2-1-7) 由(2-1-3)式得 即 (2-1-8) 利用矢量关系式，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥姆霍兹 方程为 (2-1-9) (2-1-10) 均匀介质中， 无源区中 2-4 推导式（2-2-8）。 解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦 电磁场满足齐次矢量Helmholtz方程： 其中 ， 设复传播常数，则由得 即 所以由等号两边实部和虚部对应相等得 解以上方程组得 2-6 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化 平面波。 证：任一椭圆极化平面波可写为 令，则上式变为 上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆 极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。 2-7 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为： 上式等价于 磁场强度的瞬时值表达式为： 其中 表示波阻抗。 因此能流密度的瞬时值表达式为： 因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。 2-8 设真空中圆极化平面波的电场强度为 V/m 试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密 度。 解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式 知传播常数，所以 波长： 频率： 因为此圆极化平面波的传播方向为方向，且电场强度分量相位超前分量 相位，因此为左旋圆极化平面波。 磁场强度可写为 能流密度为： 2-9 设真空中平面上分布的表面电流，式中为常数。试求空间电场强 度、磁场强度及能流密度。 解：平面上分布的表面电流将产生向+z和-z方向传播的两个平面 波。设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和，向-z方向传播的 电磁波的电场和磁场分别为和。由电磁场在z=0平面处满足的边界条件 可得： (2-9-1) (2-9-2) 又 ， 所以 即 (2-9-3) 将(2-9-3)代入(2-9-1)得： 得 (2-9-4) 所以 , z0 (2-9-5) ， z0 (2-9-6) 同理 ， z0 , z0） 2-13 当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场 强度振幅为1V/m，入射角为60，介质的电磁参数为，试求对于水平和 垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。 解：在真空中：波阻抗为，传播常数为 介质中的波阻抗为 ，传播常数为 设折射角为，则 所以 ， 即 (1) 对于平行极化波，有 反射系数 透射系数 可见此时平面波发生无反射现象，折射波的电场振幅为； (2) 对于垂直极化波，有 反射系数 透射系数 因此反射波和折射波的电场振幅均为。 2-16 已知电场强度为的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参 数为，中间介质夹层厚度，试求各区域中电场强度及磁场强度。 解答： 由电场强度知，传播常数rad/m，波长m。 在中间介质中的波长为m，传播常数rad/m。 介质三中的波长为m，传播常数rad/m。 三种介质中的波阻抗分别为：， 介质一（z0）中入射波电场和磁场强度为， 令反射电场和磁场强度为， 介质二(0d）中，令入射波的电场强度为 。 则在和处有电场和磁场切向分量连续得： 由以上四式可解得 ,， 则各区域的电场和磁场强度为： ， ， ， ， ， 第三章 辅助函数 3-1.由Lorentz 条件导出电荷守恒定律。 解答： 已知矢量磁位和标量电位分别满足： (3-1-1) (3-1-2) 由(3-1-1)得 (3-1-3) 所以 将Lorentz条件代入上式得： 电荷守恒定律得证。 3-3 已知在圆柱坐标系中，矢量磁位，式中。试求对应的电场强度和 磁场强度。 解： 已知 (3-3-1) (3-3-2) (3-3-3) 将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式，并在圆柱坐标系下展开得 3-4 使用Hertz矢量求解电流元Il和磁流元Iml产生的电磁场。（作3-7 3-12） 解：设电流元和磁流元均沿z轴放置于原点。 电流元产生的电Hertz位和磁流元产生的磁Hertz位分别满足 由以上两式求得(参见戴书p23) 所以电流元产生的电磁场 磁流元产生的电磁场为 3-7 证明式（3-3-4）至式（3-3-7）。 证：无源区域中有 即 由此可得 由（1）（5）两式可得： 式中 同理可证的表达式。（见讲义p8） 3-20试证式（3-8-16）。 证明：设并矢，则 3-21试证式（3-8-19）至式（3-8-21）。 证明： 所以 设 则 所以 第4章 电磁定理和原理 4-1 利用磁场边界条件,证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流 元及磁流元的镜像关系。 证明： (1) 如图4-1(a)所示，在无限大理想导电平面附近放置一垂直电流 元，在镜像位置放置一镜像电流元，根据电流元产生的电磁场的分布 知，在理想导电体表面产生的磁场强度方向均沿导体切向方向，所以 满足理想导电体表面磁场法向分量为零的边界条件，且上半空间的源仍 为。因此引入镜像源前后上半空间的源和边界条件均未改变，根据唯一 性原理知，上半空间的场未改变。 (2) 如图4-1(b)所示（图中有误，垂直磁流源应为负像，H与l平 行），在无限大理想导电平面附近放置一垂直磁流元，在镜像位置放置 一镜像磁流元，则其产生的矢量电位分别为 产生的磁场强度分别为 若满足，则在理想导电体表面上的磁场强度的法向分量为零，与原来的 边界条件相同，且上半空间源未变，因此上半空间的电磁场与原来相 同。 4-3 长度为l，宽度为w 的裂缝天线位于无限大的理想导电平面，如习 题图4-3所示。若缝隙中的电场强度为 利用对偶原理，根据对称天线的结果直接导出其空间辐射场。（作4- 104-14） l w x y z 习题图4-3 解答： 对称天线的辐射场为: 由对偶原理知，将以上两式中换为，换为， 可得裂缝天线的辐射场为： 4-4 利用矢量Green定理，导出积分形式的互易定理。 证明：设区域中的两组同频源，和，产生的电磁场分别满足 (4-4-1) (4-4-2) 及 (4-4-3) (4-4-4) 已知第二矢量Green定理为 (4-4-5) 令，代入上式得 利用(4-4-2)和 (4-4-4)，(4-4-6)式右端化为 (4-4-7) 利用(4-4-1) (4-4-4)，(4-4-6)式左端化为 (4-4-8) 由(4-4-6), (4-4-7), (4-4-8)得 因为，和，在表面内，因此(4-4-9)式中含有，和，项的面积分为零，所 以(4-4-9)式化为 上式即为积分形式的的互易定理。 (另证见书p161,较简单) 4-5 证明位于任意形状理想导电体附近的垂直磁流元的空间辐射场为 零。 证明： 如图4-5所示，在理想导电体附近放置一垂直于理想导电体表面的磁流 源，其在空间某点产生的磁场强度为，在该点放置另一个与方向相同的 同频磁流源。则在理想导电体表面附近产生的磁场强度应平行于理想导 电体表面，即垂直于磁流源。对，应用Carson互易原理 ，得 即 又 ，所以 因为为任意假定的，所以证明任意形状的理想导电体附近的垂直磁流源 的空间辐射场为零。 4-10 若位于的球面上的表面电流和表面磁流分别为 试证区域内的电磁场与电