固体物理课后习题解答黄昆版第三章.pdf

? 黄昆 固体物理 习题解答 第三章第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 3.1 已知一维单原子链，其中第3.1 已知一维单原子链，其中第 j 个格波，在第 个格点引起的位移 为， 个格波，在第 个格点引起的位移 为， n sin(_) njjjjj atnaq+= ， j 为任意个相位因子，并已知在较高温 度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。 为任意个相位因子，并已知在较高温 度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。 解解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 sin() nnjjjj jj atnaq j =+ （1） 2*2 nnjnjnjnj jjjjj * nj =+ ? 由于 njnj 数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项 相比是一小量，可以忽略不计。所以 22 nn j j = 由于 nj 是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 t 0 22 0 0 11 sin() 2 T jjjjj atnaqdta T =+ 2 j = （2） 已知较高温度下的每个格波的能量为 KT， nj 的动能时间平均值为 00 2 2 22 000 00 111 sin() 224 LTT njjj njjjjjjj dw a TdxdtLatnaqdtw La TdtT =+ 2 = 其中 L 是原子链的长度，使质量密度，为周期。 0 T 所以 22 11 42 njjj Tw La=KT （3） 因此将此式代入（2）式有 2 2 nj j KT L = 所以每个原子的平均位移为 22 22 1 nnj jjj jj KTKT LL = 3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其 2N 格波 解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应. 3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其 2N 格波 解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应. 解答（初稿）作者 季正华 - 1 - ? 黄昆 固体物理 习题解答 解解：如上图所示，质量为 M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 质量为 m 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 牛顿运动方程： 222121 (2) nnnn m + = 2121222 (2) nnn M n + = 体系为 N 个原胞，则有 2N 个独立的方程 方程解的形式： (2) 2 itna q n Ae = (21) 21 itnaq n Be + + = 将 (2) 2 itna q n Ae = (21) 21 itnaq n Be + + = 代回到运动方程得到 若 A、B 有非零的解，系数行列式满足： 两种不同的格波的色散关系： 第一布里渊区 解答（初稿）作者 季正华 - 2 - ? 黄昆 固体物理 习题解答 第一布里渊区允许 q 的数目 对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为 2N。 当 M=m 时 两种色散关系如图所示 在长波极限(q0，0)情况下：当 q0 与一维单原子晶格格波的色散关系一致。 3.3 考虑一双原子链的晶格振动， 链上最近邻原子间力常数交替为 c 和 10 c令两种原子质量相同，且最近邻间距为 3.3 考虑一双原子链的晶格振动， 链上最近邻原子间力常数交替为 c 和 10 c令两种原子质量相同，且最近邻间距为2 a 求在和求在和0k = k a = 处的处的 ( )k 大略地画出色散关系此问题模拟如这样的双原子分 子晶体。 大略地画出色散关系此问题模拟如这样的双原子分 子晶体。 2 c 10c 2 H 解解 a/ o o o 1s u 1s v s u s v 1s u + 1s v + ()( 2 1 2 10 s ) sss d u s MC VuC Vu dt =+， ()( 2 1 2 10, s ssss d V )MC uVC uV dt + =+ 将 ,. isKai tisKai t ss uueeVVee = 代入上式有 解答（初稿）作者 季正华 - 3 - ? 黄昆 固体物理 习题解答 () () 2 2 1011, 1011, ika ika MuCeVCu MVC euCV =+ =+ 是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为 2 2 11 ,(10) (10),11 iKa iKa MC Ce C eMC + + =0，解出 () 2422 2 2220(1)0 11121 20 1. MMCCconKa C conKa M + = = 当 K=0 时， 当 K= 2 2 22/, 0, C M + = = /a时 2 2 20/, 2/, C M C M + = = 2 与的关系如下图所示这是一个双原子(例如)晶体。 K 2 H 3.4 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用3.4 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用 , l m 记第 l 行，第 m 列 的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为 M，最近邻原子的力 常数为 c。 记第 l 行，第 m 列 的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为 M，最近邻原子的力 常数为 c。 （a）证明运动方程为：（a）证明运动方程为： 2 , 1,1, 2 ,1,1, ()(2 (2) l m lmlml m l ml ml m d Mc dt ) + + =+ + （b）设解的形式为（b）设解的形式为 , (0)exp () l mxy i lk amk at=+ y ，这里 a 是最近邻原 子间距， 证明运动方程是可以满足的， 如果 ，这里 a 是最近邻原 子间距， 证明运动方程是可以满足的， 如果 2 2 2cos()cos() x Mck ak=a 这就是色散关这就是色散关 解答（初稿）作者 季正华 - 4 - ? 黄昆 固体物理 习题解答 系。 系。 （c）证明独立解存在的 k 空间区域是一个边长为（c）证明独立解存在的 k 空间区域是一个边长为 2 a 的正方形，这就 是平方格子的第一布里渊区，构出 的正方形，这就 是平方格子的第一布里渊区，构出 x kk= ，而，而 0 y k = 时，和时，和 xy kk= 时的时的 k 图。 图。 （d）对于，证明（d）对于，证明1ka . . ; ; 解解：= 2 00 0 ( )0,Aqf=时， () 1 1 2 2 2 000 AqqAh 2 1. x exx= + 应用 所以 2 1. q B qqk T BB e k Tk T = + h hh 因此 0 1 1 1 2 qq qBnBn qq BB FUk TUk T k Tk T + + hh hll 0 1 2 q q UU+h 其中 1 2 h 3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为，使用德拜模型求晶体 的零点振动能。 ，使用德拜模型求晶体 的零点振动能。 证明证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的， 与温度无关， 故 T=0K 时振动能就是各振 0 E 动模零点能之和。( ) ( )( ) 000 0 2 1m EEgdE = h将和( ) 2 2 2 s g v 3 3V =代入积 分有 4 0 23 39 168 mm s V EN v =h，由于 0 9 8 mBDB kENk D =h得 一股晶体德拜温度为，可见零点振动能是相当大的，其量可与温升数百度所需热 2 10K值 解答（初稿）作者 季正华 - 8 - ? 黄昆 固体物理 习题解答 能相比拟 3.11 一维复式格子3.11 一维复式格子 24 5 1.67 10,mg = 1 4,1.5 10/ M N m m = （1）光学 （1）光学 min ( 1.51即 4 10/),dyn cm求： 求： max A 波波 0 max, 0 ，声学波，声学波。 。 （2）相应声子能量是多少电子伏。 （2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在 300k 时的平均声子数。 （3）在 300k 时的平均声子数。 （4）与（4）与 0 max 相对应的电磁波波长在相对应的电磁波波长在什么波段。什么波段。 4 13 22 1.5 10/ 3.00 10 dyn cm 1 max 24 , 4 5 1.67 10 A s M = =解解（1） ， ()() 424 131 max 2424 22 1.5 104 551.67 10/ 6.70 10 4 5 1.67 105 1.67 10 o Mmdyn cm s Mm + + = 4 131 max 24 22 1.5 10/ 5.99 10 5 1.67 10 A dyn cm s m = （2） V V V （3） 161312 max 161312 max 161312 min 6.58 105.99 101.97 10 6.58 106