数字信号处理课后习题答案.pdf

2008-12-22 （简略版，仅供参考，如有错误敬请见谅） 由于 DSP2 第一次作业比较简单，因此这里没有给出答案。 DSP2 第二次作业 1. A sinusoidal signal )2/sin()(nnx=is applied to a second-order linear predictor as in Fig.1 . Calculate the theoretical ACF(Auto-Correlation Function) of the signal and the prediction coefficients. Verify that the zeros of the FIR prediction filter are on the unit circle at the right frequency. Using the LMS algorithm with 1 . 0=, show the evolution of the coefficients from time 0=n to . How is that evolution modified if the sign algorithm is used instead. 10=n 1 z 1 z + )(nx )(ne )( 1 na )( 2 na Fig.1. Second-order prediction filter 解： a) 计算预测系数理论值(滤波器系数的维纳最优解)，由 2 cos 2 1 2 )( sin 2 sin 2 1 2 )( sin 2 sin)()()( 1 0 kkiiknn EknxnxEkr i xx = = = = = = 2/10 02/1 )0() 1 ( ) 1 ()0( rr rr Rx， = = 2/1 0 )2( ) 1 ( )()( r r nxnyEryx 11 2 0 1 optxyx a HR r a = 输出最小均方误差理论值可由下式计算: 2 min 00 ( )0.50 11/2 T T opt yx JE ynHr = = 其中 5 . 0)0()()( 22 =rnxEnyE b) FIR滤波器零点： jzzzazH i i i =+= = 2 2 1 11)(,即零点在正弦信号x(n)频率的 2 1 , 0 =对应的z平面位置. c) 用LMS算法，n010时系数的近似值 LMS： 2008-12-22 +=+ +=+ ) 1()() 1() 1( ) 1() 1()() 1( nXnHnyne nenXnHnH T 在线性预测误差滤波的LMS算法中： ) 1() 1( )1(),()() 1( )(),()()( 21 + =+ = nxny nxnxnXnX nananAnH T T +=+ +=+ )()() 1() 1( ) 1()()() 1( nXnAnxne nenXnAnA T () = = T A nnx n nx 0 , 0)0( 0, 0)(), 2 sin()( 所以, LMS算法下的预测误差滤波器 + = + + +=+ ) 1( )( ) 1( )( )( ) 1( ) 1( ) 1( )( )()() 1() 1( 2 1 2 1 21 nx nx ne na na na na nx nx nananxne 344 . 0 00 344 . 0 0729 . 0 27. 000 27. 0081 . 0 19. 000 19. 009 . 0 1 . 000 1 . 001 0)2(0)2(0)2()2(2 0) 1 (0) 1 (1) 1 () 1 (1 0)0(0)0(0 21 21 21 = = = ? aaxen aaxen aan d) 符号算法 + = + + +=+ ) 1( )( )1( )( )( ) 1( ) 1( ) 1( )( )()() 1() 1( 2 1 2 1 21 nx nx signnesign na na na na nx nx nananxne )()( 0 , 1)( nxnxsign nx = = 2008-12-22 4 . 000 4 . 007 . 0 3 . 000 3 . 008 . 0 2 . 000 2 . 009 . 0 1 . 000 1 . 001 0)2(0)2(0)2()2(2 0) 1 (0) 1 (1) 1 () 1 (1 0)0(0)0(0 21 21 21 = = = ? aaxen aaxen aan 2 A second-order adaptive FIR filter has the input as )2/sin()(nnx= and )2(5 . 0) 1()()(+=nxnxnxny as reference signal. Calculate the coefficients, starting from zero initial values, from time n=0 to n = 10 . Calculate the theoretical residual error and the time constant and compare with the experimental results.() 1 . 0= 解：取1 . 0= a) 计算n010的系数 +=+ +=+ += )3() 1() 1()() 1( )2() 1()() 1() 1( ) 1 ()2(5 . 0) 1()()( nenXnHnH nXnHnyne nxnxnxny T 2 cos 2 1 )( k krxx= = = 2/10 02/1 )0() 1 ( ) 1 ()0( rr rr Rx， = + + = 2/1 4/1 ) 1 (5 . 0)0() 1 ( )2(5 . 0) 1 ()0( rrr rrr ryx = 1 2/1 1 yxxopt rRH 2 min ( ) T opt yx JE ynHr= + += 2/1 4/1 1 2/1 )2()()2() 1() 1()(2 )2(25. 0) 1()( 222 T nxnxnxnxnxnx nxnxnxE 08/5)2() 1 (3)0(25. 2=+=rrr 2008-12-22 Theoretical residual error: 0) 2 1 ()( 2 min =+ NJJ Theoretical time constant： 2 2 1 11111 20 (,) (0)0.1 0.5 N ekxkx k x R rN = = 是特征值 注意: 由于均方收敛的时间常数比均值收敛的时间常数小, 所以实际应用中采用较保守的理论估计值, 即采用均值收敛的时间常数作为算法收敛的时间常数的理论估计值. 利用（2） （3）作迭代：)0(0)(=nnx，0)0()0( 21 = hh + + = + + + +=+ )( ) 1( ) 1( )( )( ) 1( ) 1( )( ) 1( )()() 1() 1( 2 1 2 1 21 nx nx ne nh nh nh nh nx nx nhnhnyne ) 1(5 . 0)() 1() 1(+=+nxnxnxny 5 . 0111 2624. 00 , 14095. 0 ,2376. 01010 4095. 0 ,2376. 006561. 0 , 06561. 0 1 , 03439. 0 ,2376. 05 . 019 3429. 0 ,2376. 00 ,02916. 02916. 00 , 1 3439. 0 ,2084. 0108 3439. 0 ,2084. 00729. 0 , 0729. 0 1, 0271. 0 ,2084. 05 . 017 271. 0 ,2084. 00 ,0324. 0324. 00 , 1271. 0 ,176. 0106 271. 0 ,176. 0081. 0 , 081. 0 1 , 019. 0 ,176. 05 . 015 19. 0 ,176. 00 ,036. 036. 00 , 1 19. 0 ,14. 0104 19. 0 ,14. 009. 0 , 09 . 0 1, 0 1 . 0 ,14. 05 . 013 1 . 0 ,14. 00 ,04. 04 . 00 , 1 1 . 0 , 1 . 0102 1 . 0 , 1 . 0 1 . 0 , 01 1 , 00 , 1 . 0111 .0 ,010 , 1 . 010 , 1 0 , 0000 ) 1() 1() 1() 1() 1()()()( + TT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT TTTT nHnXnenenXnHnynxn b) 根据实验结果计算残差和时间常数 残差 = 0698. 0)11( 2 =e 时间常数: 通过观察见,在n为偶数时, 误差变化波动大, 因此应选择在n为奇数时的误差值确定时间常数较合 理. 2916. 0)9()8()9()9(=XHye T 26424. 0)11()10()11()11(=XHye T )0)(, 0)()( 2994.20)()11()()9( 22 22 )911(2 22 = = eJeE eeeee 所以在计算时可假设由于 2008-12-22 所以实验结果和理论值是符合的. 3 Adaptive line enhancer. Consider an adaptive third-order FIR predictor. The input signal is )()sin()( 0 nbnnx+= where is a white noise with power .Calculate the optimal coefficients . Give the noise power in the sequence )(nb 2 b 31 , , ia opti = = 3 1 , )()( i opti inxans as well as the signal power. Calculate the SNR enhancement. 解： a) 计算31 , , ia opti + + + = 2 00 0 2 0 00 2 2 1 cos 2 1 2cos 2 1 cos 2 1 2 1 cos 2 1 2cos 2 1 cos 2 1 2 1 b b b x R ，) 1()(+=nxny 由于窄带信号为白噪声，时延参数D选择1。 = 0 0 0 3cos 2 1 2cos 2 1 cos 2 1 yx r = opt opt opt yxxopt a a a rRA 3 2 1 1 b) 原 2 0 2 1 b SNR = 而 = = 3 1 22 )()( i iopt inxaEnSE )2(2) 1 ()(2)0()( 313221 2 3 2 2 2 1 raaraaaaraaa+= 03103221 2 3 2 2 2 1 2coscos)( 2 1 )(aaaaaaaaa+= （信号） 22 3 2 2 2 1 )( b aaa+ （噪声） 2008-12-22 所以此时 )( 2coscos)( 1 2 1 22 3 2 2 2 1 03103221 2 bb aaa aaaaaa SNR + + += ) )( 2coscos)( 21 ( 2 3 2 2 2 1 03103221 0 aaa aaaaaa SNR + + += ) )( 2coscos)( 21 (0/tenhancemen 2 3 2 2 2 1 03103221 aaa aaaaaa SNRSNRSNR + + += DSPII 第三次作业答案 一、The definition of the discrete STFT of a digital signal x n n Z ( ) is as following: += = = m m Nkmj emnwmxknX /2 )()(),( ，(-window function,-length of )。Please explain the above discrete STFT from filtering point and demonstrate the OLA method of the inverse discrete STFT(即证明离散 STFT 反变换的 OLA 法,有时又称着 OLA 综合方法)。 )(nw w N)(nw 答：1、从滤波器的角度解释 STFT 分成从低通和带通两部分，具体见课件第四章第 17、 19 页。 需要公式和框图说明。 2、 2 1 ( )(, ) (0) kn j N p L y nX pL k e WN + = = ， 由 STFT 的定义有： 2 (, ) ( ) () kn j N m X pL kx n w pLn e + = = ，讲 p 看做常数时，y(n)表达式 中中括号部分是对 X(pL, k)做 IDFT 变换，即为：yp(n) = x(n)w(pL-n)。所以： ( )( ) ()( )() (0)(0) pp LL y nx n w pLnx nw pLn WW + = = ，当存在n，使得 0 w (0)2 ()1,()()|( (0)L n j L w pp LWn w pLnw pLnW weW WL + = = = 即时域上：，频域上：0) 时， 2 1 0 1 ( )( )(, ) (0) kn N j N pk L y nx nX pL k e WN + = = 这只是简略版的证明。 二、(a) 简述最大熵谱估计与参数模型法谱估计的原理；从传统谱估计法存在的缺点及其原因出发讨论最大 熵谱估计与参数模型法谱估计的优点。 答：略 (b) 讨论AR模型谱估计与线性预测误差滤波之间的关系；根据此关系，进一步讨论Burg法AR模型 参数估计方法的依据与原理。 2008-12-22 答：AR 模型谱估计与线性预测误差滤波之间的关系见课件第五章，第二部分，5.7 谱估计 的参数模型法部分第 13、14、17、18 页。 Burg 法 AR 模型参数估计方法的依据与原理见课件 5.8 节第 8、3 页。 三、P.162-4.17,4.18,4.19,4.20;P.1634.5(现代数字信号处理) 答：4.17 略 4.18 根据自相关矩阵的性质 5，有 2*2* 11 () MN TT xsiiiii ii M =+ =+ Ru uu u，如果忽略噪声的 影响，只保留信号子空间中的特征矢量的信息，这样可以提高信噪比。 4.19：见课件第五章，最后一部分之“根据问题特性寻找新的方法”该节中第 35、36、37、 38、39 几页。 4.20：Pisakenko 法考察 N=M+1 的特殊情况，采样样本长度比正弦波的数目多 1，把频率 换成单位园上零点的角度。 Music 中采样样本长度为 N，复正弦波的数目为 M，利用最大的 M 个峰所对应的 频率估计正弦波频率。 4.5 1、 4 2 0 1 ( )( ) ( ) (), (0)( )11, (18, (2)52 5 xx i r krkE x n x nkrx irr = =+= ）， 初始化（j=0） 0 (0)11Er= j=1： 112 111 (1)/ (0)0.7213,(1) (0)5.1818akrrEkr= j=2 时，递推得到： 12211221 212211212 1 1 (2)(2 1)0.1193,0.8140,(1)5.1081kra rak aak aEkE E = = 所以：2 阶时的解为： 2 22 11222 1 0.8140,0.1193,0.1193, ( )(), (0)1.2701, (4)2.8981 i i aaaaax na x ni xx = = = = ? 图略。 2、已知：x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3,x(3)=4,x(4)=5 初始化：。 002 0 ( )( ),( )( ),(0)11 ab e nx n e nx nr= j=1 时： 4 00 100 1 1144 0202 11 2( )( ) 2022 23 24 25 0.92524,( )( )(1)1, 2121 21 21 21 ( )(1) ab BBT n aab ab nn e n e n Ke ne nK e n e ne n = = = + 2008-12-22 10022 11 2019181716 ( )( )( ), ,(1)1.0027 2121212121 BT bba e nenK enK= = 10 B j=2 时： 4 11 222 1 222144 1212 11 2( )( ) 647 0.9571,(1() )0.0859 676 ( )(1) ab BB n ab nn en e n KK ene n = = = = = + = 12112 11112122 2222 1212 0.9524,1.8639,0.9571, (0)(1)(2)0.8567, (4)(3)(2)4.5841 BBB aKaaK aaK xa xa xxa xa x = =+=+=