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第四章 数字滤波器及其结构第四章 数字滤波器及其结构 4.1 按照下面所给的系统函数，求出该系统的两种形式的实现方案：直接型 I 和直接型 II。 12 12 20.63 1 50.8 zz H z zz 解解： 直接型 I: 1 z 1 z )(nx 1 z 1 z )(ny 直接型 II: )(nx 1 z 1 z )(ny 4.2 已知某数字系统的系统函数为： 3 2 0.40.60.25 z H z zzz 试分别画出其级联型、并联型结构。 解解： 由于系统有一单实数极点和一对共轭复数极点，故可将 H(z)表示为实系数 1 阶、2 阶子系统 的乘积，即： 112 11 1 0.41 0.60.25 H z zzz 由此可画出系统的级联型结构如下： 1 z 1 z 1 z 将 H(z)表示为实系数 1 阶、2 阶子系统之和，即： 1 112 0.94120.05880.5882 1 0.41 0.60.25 z H z zzz 由此可画出系统的并联型结构，如下图所示： x(n) y(n) 0.9412 0.4 0.0588 0.58820.6 -0.25 1 z 1 z 1 z 4.3 已知 FIR 滤波器的单位脉冲响应为 ( )( )0.3 (1)0.72 (2)0.11 (3)0.12 (4)h nnnnnn （1）试求该滤波器的系统函数。 （2）试分别画出其直接型、级联型结构。 解：解： 题（1） ： 根据 1 0 ( )( ) N n n H zh n z ，得 1234 1212 1 0.30.720.110.12 (1 0.20.3)(1 0.10.4) H zzzzz zzzz 题（2） ： 根据（） ，它的直接型结构为： 1 z 1 z 1 z 1 z 级联型结构为： 1 z 1 z 1 z 1 z 4.4 求下列各图所示各系统的单位脉冲响应。 （1） x(n)1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1-2 4 3-1 1 y(n) （2） x(n) y(n) 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 2 3 1-1 解：解： 题（） ： ( )( )2 (1)4 (2)3 (3)(4)(5)h nnnnnnn 题（） ： ( )2 ( )3 (1)(2)(3)(4)(5)3 (6)2 (7)h nnnnnnnnn 4.5 写出下图所示结构的系统函数及差分方程： 1 z ( )x n( )y n sinr 1 z cosr sinr cosr 1 x 解：根据图中所设节点： 11 11 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 ( )( )( )sin( )cos ( )( )sin ( ) 1cos ( )sincos 1cos ( ) sin 1cos( )( ) sin XzX zrz Y zrz Xz X zrz Y z Xz rz Yrz Xzrz Y rz XzY rz rzX zrz Y z Y rz 得： 而: (z)=(z) (z) 则： (z) 1 12221222 1 122 2 sin 1cos coscossin( )sin sin ( )cos sin(1)cos(1)(2) rz rzr zYrzX zr zY Yrz X zrzr z rx nry nr y n （1-2） (z)(z) (z) H(z)= 1-2 其对应的差分方程为： y(n)=2 4.6 求以下网络的直接型实现方式： 1 z 1 z 解：解： 先写出网络中每个加法器的节点方程，节点标注如下： x(n) y(n) 1 z 1 z b(0) b(2) b(1) a(1) a(2) 节点1节点2 节点3 用 123 ( ),( ),( )w n w n w n表示 3 个节点的输出，则有以下 3 个方程： 1 21 32 ( )(0) ( )(1) ( ) ( )(1) ( )(1)(2) ( ) ( )(2) ( )(1)( ) w nbx nay n w nbx nw nay n w nbx nw ny n 所以有 ( )(2) ( )(1) (1)(0) (2)(1) (2)(2) (1)y nbx nbx nbx nay nay n 故该系统直接型结构如下： 1 z 1 z 4.7 求下面网络的系统函数， 确定要保证系统稳定系数(1), (2), (3), (4)aaaa应满足的条件。 1 z 1 z 解： 该系统是一个反馈网络， 其中 G(z)是一个二阶系统，如下 1 z 1 z( )u n 1 ( ) 1( ) H z G z 下面求( )G z，网络方程如下： 12 2 1 ( )(3) ( )(1)(1) ( ) ( )(4) ( )(2) ( ) ( )(1) u nav nu naw n u nav naw n w nu n 对上述方程作 z 变换，最终得到 1212 ( ) 1(1)(2)(3)(4)( )W zazazazazV z 所以， 12 12 ( )(3)(4) ( ) ( )1(1)(2) W zazaz G z V zazaz ， 12 12 11(1)(2) ( ) 1( )1(1)(3)(2)(4) azaz H z G zaazaaz （2）稳定条件: 要求极点均在单位圆内： 2 12 12 ( )(1)(3)(2)(4) 0 0 (1)0, ( 1)0 (1)(3)1(2)(4) 1 (2)(4)1(1)(3) 11 2 00 1(2)(4)1 0(1)0 ( 1)0 f zzaazaa ff aaaa x x aaaa or x xaa ff 实际上时也有，综合得： (1)(3)1(2)(4) (2)(4)1 aaaa aa 4.8 一个线性时不变系统的单位脉冲响应为 07 ( ) 0 n an h n 其他 （） 画出该系统的直接型 FIR 结构图。 （） 证明该系统的系统函数为 88 1 1 ( ) 1 a z H z az 并由该系统函数画出由 FIR 系统和 IIR 系统级联而成的结构图。 （） 比较（）和（）两种系统实现方法，哪一种需要较多的延迟器？哪一种实现需要较多 的运算次数？ 解：解： 题（） ： 7 1223344556677 0 ( )( )1 n n H zh n zaza za za za za za z 直接型 FIR 结构图如下所示： 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 2 a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 题（） ： 由（