南开大学工程光学基础习题答案.pdf

第 1 页 共 9 页 南开大学工程光学基础习题答案与解析南开大学工程光学基础习题答案与解析 1.证明在入射光线方向不变的情况下，当平面镜绕入射点垂直于入射面的轴转动 角后，反射光线将改变 2 角。 证明：设旋转前入射角为 i，旋转后入射角为 r，则 + 2 + ? + ? 2 + ? = ? ? = ? ? 设反射光线改变 角，则 ? + ? 2 ? = ? + ? 2 ? ? = ? + ? ? = 2? 证毕。 2.水面上浮一层油，水的折射率是 1 n 1.333，油的折射率是 2 n 1.41，若光线 从空气中以 45入射角进入油层上表面，只考虑光线折射，不考虑光的干涉，求 折射光线在油中以及水中的方向，并绘制光路图。 解：由折射定律 ?= sin45? sin? ? ? = sin? sin? ? = arcsin 32 8 = 32? 3.空气中有一块直角棱镜，其折射率是 1.5，光线从一个直角面垂直入射，忽略 棱镜直角面对光的反射，绘制光路图。棱镜四周充满水后，会发生什么变化？重 新绘图说明。 解：1四周是空气，则由入射角 i=45，临界角 12 sinsinsin 3 CiC n ，因此 发生全反射； 2四周是水，取水的折射率为 4 3 ，相对折射率设为 n，则 3 918 2 sin sinsin 4 89 3 nCiC n 故在界面既发生折射，又发生反射，折射角 sin = n?sini = arcsin?92 16 ? = 53? 4.空气中的光线以垂直于光楔（光楔是顶角很小的三棱镜）第一表面的方向入射 到折射率 n=1.5 的光楔上， 该光楔的第二表面镀反射膜， 将光线按反射定律反射， 再从第一表面折射回空气中， 折射回空气中的光线与空气中入射光线之间的夹角 第 2 页 共 9 页 为 1.5， 忽略第一表面对光线的反射， 求光楔的楔角 （与三棱镜顶角定义相同） 。 解：设所求楔角为 ，如图所示，光线进入光楔的入射角和折射角都为 0，在第 二面的入射角和反射角都等于 ，再由第一面折射时，入射角为 2，设折射角为 ，按照折射定律，n2 ，依照题意，=1.5，光楔楔角 =0.5 第 4 题 5.在充满水的透明容器底部平放一平面反射镜，忽略容器壁厚，人在水面上方看 自己眼睛的像，眼睛高出水面 50mm；镜子的反射面朝上，与水面平行，到水面 的距离是 80mm；水的折射率是 1.333。求眼睛经过折射-反射-折射所成的像到 眼睛的距离。 解：分 3 次成像 第一次成像 l1=-50，n1=1，n1=1.333， 111 nll 第二次成像，d=80 l2=l1-d， n2=- n2，l2=n2l2/n2=- l2 第三次成像 按照习惯，把物放在左方，向右成像， l3=-l2-d，n3=1.333，n3=1，代入成像公式 l3=n3l3/n3=-170， 像位于水面下方 170mm，与人眼相距 220mm。 6.点光源 S 与光楔距离为 a，光楔的楔角为 ，折射率为 n，求 S 的成像位置。 解：两次成像，设第一表面与光轴垂直，l1=-a, -1/l+n/l1=0, l1=-na 第二次成像，l2=l1=-na，n2=n, n2=1, l2=n2l2/n2=-a，像比物高出 (n-1)a。 若光源 S 位于坐标原点，x 轴为光轴方向(水平方向)，y 轴向上，则 S 像的坐 标为(x,y)，其中 x=0，y=(n-1)a 7.报纸上放一个平凸透镜，平面向上时，报纸的虚像在平面下方 13.3mm；凸面 向上时，报纸的虚像在凸面顶点下方 14.6mm。透镜中心厚度为 20mm，求透镜 的折射率和凸面的曲率半径。 第 3 页 共 9 页 解：平面向上时，l =-20，n=1，l= -13.3， -n/(-20)+1/(-13.3)=(1-n)/，解出 n=1.5； 平面向下时，l=-20，n=1.5，n=1， l= -14.6，-1.5/(-20)+1/(-14.6)=(1-1.5)/r， 解出 r = -76.84 8.空气中双凹透镜的折射率为 n，两个球面曲率半径的绝对值均为 R，中心厚度 为 d，计算该透镜的像方焦距 f，并化简成一个分式；取 R=100，n=1.5， d=20，求 f的数值，结果取到小数点后 2 位；若透镜中心厚度的误差范围为 5 . 0d，求像方焦距 f的合格范围。 解： 解法一，用光焦度公式 R n 1 21 ， 2121 n d )2)(1( 1 2 dndnRn nR f 解法二，用焦距公式 1 1 1 1 n nR R n nn f 1 1 2 2 n nR R n nn f n R R n f 1 1 1 2 21 ffd 1 2) 1( 11 21 n nRdn n nR n nR dffd )2)(1( 1 2) 1( ) 1 )( 1 ( 2 21 dndnRn nR n nRdn n R n nR ff f 代入所给值，f=-96.77 对于函数),( 21n xxxgy，若自变量存在误差), 2 , 1(nixi，则可用全微 分公式计算 y 的误差 i n i i n x x xxxg y 1 21 ),( 用于本题 第 4 页 共 9 页 08. 0 ) 1(2 2 2 d dnnR nR d d f f 像方焦距的合格范围 08. 077.96f 9.用间隔 40mm 的两个单薄正透镜组成目镜，两个透镜的焦距分别是 60mm 和 30mm，求目镜的焦距、焦点位置、主点位置。 解：焦度 11 12 11 , 6030 mmmm ，于是 = ?+ ? ?= 1 36 ? ? = 36? 主点 ? = ? ? = 24? ?= ? ? = 48? 10.用照相物镜成像，调焦到10000 p，设 1，入瞳直径210a，求：远 景深度)( 1 ，远景平面到入瞳平面的距离)( 1 p，近景深度)( 2 ，近景平 面到入瞳平面的距离)( 2 p，景深)(。 解：rad00029. 0 1 远景深度4080 00029. 01000010 00029. 010000 2 22 1 pa p 远景平面到入瞳平面的距离14080408010000 11 pp 近景深度2250 00029. 01000010 00029. 010000 2 22 2 pa p 近景平面到入瞳平面的距离7750225010000 12 pp 景深633022504080 21 11.已知空气中从左到右两个薄透镜 L1、L2组成照相物镜，L1的像方焦距 f1=- 50mm， 通光口径 D1=20mm； L2的像方焦距 f2=25mm， 通光口径 D2=20mm。 L1与 L2相距 10mm，物位于 L1左侧 200mm，垂直于光轴放置。圆形物的半径 y=20， 物通过该光学系统成像到垂直于光轴放置的圆形感光面上， 感光面恰好与 第 5 页 共 9 页 像的大小相等。求 ）像距 l2； ）感光面的直径； ）孔径光阑、入射光瞳、出射光瞳相对 L1的距离和直径； ）视场光阑、入射窗、出射窗相对 L1的距离和直径； ）物方半视场角 。 要求：列出所用的公式，把已知参数代入公式，计算未知参数；画图，在图中标 出透镜的位置，透镜通光孔径的大小，物、像的位置和大小；孔径光阑、入射光 瞳、出射光瞳的位置和直径；视场光阑、入射窗、出射窗的位置和直径；物方半 视场角 ，用文字说明计算结果；把所求参数填入表 1，单位：mm。 表 1 所求光学系统参数 相对 L1的位置 直径 孔径光阑 入射光瞳 出射光瞳 视场光阑 入射窗 出射窗 解：解： 整个光学系统共有 3 个光阑：L1外框、L2外框、感光面外框。 ）计算像距计算像距 l2 计算物通过 L1成像： 2 . 0 40 50 200 1 11 1 1 1 1 111 l f l fll 过渡公式 l2=l1-d=-40-10=-50 通过 L2成像： 1 50 25 1 11 2 2 2 222 l f fll 像距 l2=50mm ）感光面的直径）感光面的直径 2 . 0) 1(2 . 0 21 像的直径 8402 . 0 1 DD 所以，感光面直径为 8mm ）孔径光阑、入射光瞳、出射光瞳相对）孔径光阑、入射光瞳、出射光瞳相对 L1的距离和直径的距离和直径 L1外框相对轴上物点的张角 第 6 页 共 9 页 05. 0tan 200 2 20 tan 2 tan 11 1 1 1 1 l D L2外框经过 L1向物空间成像(从右向左成像，与推导公式时的方向相反，先将左 右颠倒，计算后再将左右颠倒) 物距10s，用高斯公式 2 1 11 fss 计算像距 s，其中252f，得到 25 1 1 10 1 s ， 解 出33. 8s， 成 像 在L1右 侧 ， 放 大 倍 率 为 833. 0 10 33. 8 2 s s ，L2外框的直径为67.1620833. 0 222 DD，L2外框 在物空间的像相对轴上物点的半张角为 04. 0tan 33. 8200 2 67.16 tan 2 tan 11 1 2 1 2 sl D 感光面外框经过前面光学系统成到物空间的像与物面重合，所以，轴上物相对该 光阑像的半张角为 90 3 。 张角 2 最小，所以，L2外框是孔径光阑，孔径光阑位于 L1右侧 10mm 处，直径 为 20mm；L2外框在物空间的像是入射光瞳，位于 L1右侧 10mm 处，直径为 16.67mm；孔径光阑在像空间的像(即出射光瞳)就是它本身，所以出射光瞳位 于 L1右侧 10mm 处，直径为 20mm。 ）视场光阑、入射窗、出射窗相对）视场光阑、入射窗、出射窗相对 L1的距离和直径的距离和直径 L1外框相对入瞳中心的张角2 . 1tan 2 tan 1 1 1 1 s D ，物的边缘相对入瞳中心的 张角096. 0tan 33. 8200 20 tan tan 11 1 1 2 sl y ，, 12 感光面外框是视 场光阑，视场光阑位于 L1右侧6050102ld处，直径为 8mm； 入射窗与物面重合，位于 L1左侧 200mm 处，直径mm D 40 ； 感光面外框在像空间， 出射窗就是视场光阑， 所以出射窗位于 L1右侧 60mm 处， 直径为 8mm。 ）物方半视场角物方半视场角 物方半视场角48. 5 2 表 1 所求光学系统参数 第 7 页 共 9 页 相对 L1的位置 直径 孔径光阑 L1右侧 10mm 20mm 入射光瞳 L1右侧 8.33mm 16.67mm 出射光瞳 L1右侧 10mm 20mm 视场光阑 L1右侧 60mm 8mm 入射窗 L1左侧 200mm 40mm 出射窗 L1右侧 60mm 8mm 12.单色平行光垂直照射缝宽为 d=0.1mm 的单缝夫琅和费衍射屏，焦距 f =200mm 的透镜将衍射光会聚在观察屏上。第一衍射极小到第二衍射极小的距 离为 1.2mm，求入射光的波长。 解解：由单缝夫琅和费衍射公式可知，第 m 级衍射极小值的衍射角 m满足 dsinm=m，当衍射角很小时，mm/d，第一极小与第二极小之间的距离为 l=f(2-1)=f/d，=dl/ f=0.11.2/200=610-4mm=600nm 13.一束波长为 632.8nm 的单色平行光垂直照射直径为 3mm，焦距为 50mm 的 薄凸透镜，求薄透镜像方焦平面上的爱利斑直径。 解解：爱利斑半角宽为 =1.22/D，其中 为光波波长，D 为透镜直径，则爱 利斑直径为 d2f =2f1.22/D =2501.220.6328/3=25.7m 14.正常视力的人通过望远镜恰好刚能分辨前方 1km 两个相同的点光源。望远物 镜的焦距是 100mm，有效通光口径是 25mm，目镜的焦距是 10mm，有效通光 口径大于人眼瞳孔直径；望远镜的几何像差很小，可以不考虑；光的波长按 =0.5m 计算。若两个点光源的连线与望远镜的光轴垂直，求两个点光源之间的 距离。 解： 望远物镜的分辨本领为mrad D 024. 0 25 5 . 022. 11.22 望， 在 1km 外恰 好能被望远镜分辨的两个物体的横向距离为mL024. 01024. 0 1 。 望远镜和人眼组成整个光学系统，关于人眼分辨本领的考虑 第 8 页 共 9 页 思路 1：正常人眼的分辨本领是0.29mrad1 眼 ，望远镜的角放大倍率是 10 目 物 f f ，人眼通过望远镜能分辨 1km 外两个物体横向最小距离是 mkmL029. 01 2 眼 。 此距离大于望远物镜的分辨本领， 望远镜和人眼组成 整个光学的分辨本领为 0.029m。 思路 2：把物镜框通过目镜成像，比较该像与瞳孔直径的大小，哪个小，哪个 对应的光阑是孔径光阑，入瞳直径决定整个光学系统的分辨本领。经计算， 望远镜的出瞳直径为 2.5mm，若瞳孔直径不小于望远镜出瞳直径，则整个光 学的分辨本领就是望远物镜的分辨本领；按本题的条件，若人眼的分辨本领 是 1，瞳孔直径只有 2.1mm，把瞳孔放在望远镜出瞳位置，经计算，整个光 学系统的入瞳直径为 21mm， 代入望远镜分辨本领公式， 分辨本领为 0.029m； 若考虑在良好照明条件下观看，人眼瞳孔直径为 2.5mm，恰好与望远镜的出 瞳位置、大小都重合，则整个光学系统的分辨本领就是望远物镜的分辨本领 0.024m。 不论按什么思路考虑，此题必须把人眼作为整个光学系统的一部分来考 虑，以上结果都认为是正确的。 15.在杨氏双孔干涉实验中，双孔间距 d=0.6mm，用波长 =600nm 的点光源 照明双孔，观察屏从距离双孔 1m 处匀速向远离