线性代数高等教育出版社第二版卢刚主编课后习题答案.pdf

第五章第五章 二二 次次 型型 习习 题题 五五 （B） 1、设、设 A 为为 n 阶实对称矩阵，如果对任一阶实对称矩阵，如果对任一 n 维列向量维列向量 n XR，都有，试 证： ，都有，试 证：A=O。 0 T AXX 证明：证明：因为矩阵 A 为实对称矩阵，设为 A=，其中 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 jiij aa (i,j=1,2,n). 令 X= T 21 ),( n xxx n R, 由已知得，二次型 =),( 21n xxxfAXX T =+=0。 n i iiix a 1 2 nji jiij xxa 1 2 首先取，(i=1,2,n) T )0 , 0 , 1 , 0 , 0( i X 则 ，(i=1,2,n) 0 T iiii aA 即主对角线上的元素都为零。 其次，取， 又，有 T )0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0(X0 T AXX 0 jiijjjii aaaa， 因，A为对称矩阵，所以 0 jjii aa (i=1,2,n；j=1,2,n) 02 ij a 因此 A=O。 2、试证：二次型、试证：二次型 =+ ),( 21n xxxf n i i x 1 2 2 nji jix x 1 2 为正定二次型。为正定二次型。 证明：证明：此二次型的矩阵为 A=， 2111 1211 1121 1112 显然A1=20,A2= 21 12 =30, An= 2111 1211 1121 1112 = 2111 1211 1121 1111 ) 1( n= 1000 0100 0010 1111 ) 1( n=n+10， 因此，此二次型为正定二次型。 3、设、设 n 元二次型元二次型 =+ ),( 21n xxxf 2 211 )(xax 2 322 )(xax 2 11 )( nnn xax + 2 1) (xax nn 其中其中(i=1,2,n n)为实数。试问：当)为实数。试问：当(i=1,2,n n)满足何种条件时，二次型 为正定二次型。 )满足何种条件时，二次型 为正定二次型。 i a , 21 x i a ),( n xxf 解：解：由题设条件知，对于任意的，有。其中等号成 立当且仅当 n xxx, 21 0),( 21 n xxxf 0 0 0 0 1 11 322 211 xax xax xax xax nn nnn 此方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 100 100 0010 001 1 1 n n a a a =1， 0) 1( 21 1 n n aaa 所以当时，为正定二次型。 1, 21 n aaa),( 21n xxxf 4、已知、已知 A 为反对称矩阵，试证：为反对称矩阵，试证： 2 AE为正定矩阵。 为正定矩阵。 证明：证明：因为 A 为反对称矩阵，所以AA T ， 因此 2 AE=。 =。 )(AEAE)( T AEAE)()( T AEAE 所以 2 AE 为正定矩阵。 5、设5、设A A是一个实对称矩阵，试证：对于实数是一个实对称矩阵，试证：对于实数t t，当，当t t 充分大时， 充分大时，tE+AtE+A为正定矩阵。 证明： 为正定矩阵。 证明：设A的特征值为 n , 21 且 i 为实数，取|max 1 i ni t ，则tE+A的特征 值为ttt n , 21 全部大于零。因此，当| i n max 1 i t 时，tE+A为正定矩阵。 6、 设6、 设A A是实对称矩阵， 且 det是实对称矩阵， 且 detA A0,因此 A 为正定矩阵。 9、设为、设为 n 阶正定矩阵。求证阶正定矩阵。求证 A 的任一主子式都大于零。的任一主子式都大于零。 )( ij aA 证明：证明：首先，令Ak为A的任一个k阶主子式， Ak= kkkk k k iiiiii iiiiii iiiiii aaa aaa aaa 21 22212 12111 由于 A 是正定的，故二次型 AXXxxxf n T 21 ),( 对任意不全为零的实数，都有 n ccc, 21 ， 0),( 21 n cccf 从而对不全为零的实数，有 k iii ccc, 21 0)0 , 0 , 0( 21 k iii cccf （即在中除外其余变量全取 0） ，但是，对变量为 而矩阵为A ),( 21n xxxf k i x, k iii xxx, 21 ,( 21 ii xx ii xx, 21 k的二次型g 说，有 ), k i x来 = ),( 21k iii cccg0)0 , 0 , 0( 21 k iii cccf 故g为正定二次型，从而Ak为正定的。故|Ak|0。 10、设、设 A 为为 n 阶正定矩阵，证明阶正定矩阵，证明 A+E 的行列式大于的行列式大于 1。 证明：因为证明：因为 A 为正定矩阵，不妨设为正定矩阵，不妨设 A 的特征值分别为的特征值分别为 n , 21 且0 i ， 则 A+E 的特征值为1, 1, 1 21 n 且11 i ，从而有 |A+E|=1) 1() 1)(1( 21 n 。 11、设矩阵、设矩阵 A=，矩阵，其中，矩阵，其中 k 为实数，为实数，E 为单位矩阵，求 对角矩阵 为单位矩阵，求 对角矩阵，使，使 B 与与相似，并求相似，并求 k 为何值时，为何值时，B 为正定矩阵。为正定矩阵。 101 020 101 2 )(AkEB AE 解：解：| = 101 020 101 = 2 )2( 因此，A 的特征值为 0，2，2。 记对角矩阵 D=。 000 020 002 因为 A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使得 DAPP T ， 所以 = 11T) ( DPPA T PDP。 于是 = 2 )(AkEB 2TT )(PDPkPP T2 )(PDkEP = ； T 2 2 2 00 0)2(0 00)2( P k k k P 由此可得=。 2 2 2 00 0)2(0 00)2( k k k 因此当时，即所有特征值均大于零时，B 为正定矩阵。 0, 2kk 12、 设、 设 A 为为m mn n实矩阵，实矩阵，E E为为n n阶单位矩阵， 已知矩阵， 试证： 当阶单位矩阵， 已知矩阵， 试证： 当AAEB T 0 时，矩阵时，矩阵B B为正定矩阵。 证明： 为正定矩阵。 证明：因为 T B=B， TT )(AAE AAE T 所以，B 为对称矩阵。 对于任意的实n维列向量X，有 BXX T = XAAEX)( TT AXAXXX TTT AXAXXX TT )( 当时，有0XXX T 0 , , 0)( T AXAX 因此当0时，对于任意的，有，即 B 为正定矩阵。 0X0 T BXX 13、设实对称矩阵13、设实对称矩阵A A为为m m阶正定矩阵，阶正定矩阵，B B为mn实矩阵，试证为mn实矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必 要条件是矩阵 为正定矩阵的充分必 要条件是矩阵B B的秩的秩r(B)=nr(B)=n. 证明： . 证明：必要性。设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0X有 ， 即 0)( TT XABBX0)()( T BXABX 于是，因此只有零解，从而r(B)=n。 0BX0BX 充分性。因= TT )(ABBBAB TT =ABBT，即ABBT为实对称矩阵。若r(B)=n，则线 性方程组0只有零解。从而对任意实n维列向量0BXX有0BX。 又A为正定矩阵，所以对于0BX，有，于是当时，有 0)( T BXBX0X ， 0)( TT XABBX 故ABBT为正定矩阵。 14、在R14、在R 3 3中，将下述二次方程化为标准形式，并判断曲面类型。 （1） 中，将下述二次方程化为标准形式，并判断曲面类型。 （1）0 7 5 53525484422 321323121 2 3 2 2 2 1 xxxxxxxxxxxx； （2）。 ； （2）。 054444664 32132 2 3 2 2 2 1 xxxxxxxx 解： （1）解： （1）设 A=， 242 422 221 5 2 3 5 52 ，X =。 3 2 1 x x x 则该二次方程可记为 0 7 5 2 TT XAXX。 由0)det(AE，可得A的特征值和对应的特征向量： 2 1 ， T 1 )0 , 1 , 2( 2 2 ， T 2 ) 1 , 0 , 2( 7 3 ，。 T 3 )2 , 2, 1( 将特征向量单位化，得 T 1 )0 , 1 , 2( 5 1 ， T 2 ) 1 , 0 , 2( 5 1 ， T 3 )2 , 2, 1( 3 1 。 取正交矩阵 B = 3 2 5 1 0 3 2 0 5 1 3 1 5 2 5 2 ， 则 。 )7, 2 , 2(diag T ABB 设X=BY，其中Y=。原二次方程化为 T 321 ),(yyy 0 7 5 2 TTT BYABYBY， 即 0 7 5 5 2 11 5722 321 2 3 2 2 2 1 yyyyyy （1） 令 4 5 11 yz， 8 11 22 yz， 14 5 23 yz， 则（1）式可化为 8 125 722 2 3 2 2 2 1 zzz。 用平面截此曲面，截痕为椭圆；用平面cz 3 az 1 截此曲面，截痕为双曲线；用平 面截此曲面，截痕为双曲线，由次可知，此曲面为单叶双曲面。 bz 2 （2）（2）类似题（1）的做法，可把原二次方程化为： 5844 2 3 2 2 2 1 zzz 此曲面为双叶双曲面。 15、已知二次曲面方程可以经过正交变换 15、已知二次曲面方程可以经过正交变换 4222 222 yzxzbxyzayx = = T ),(zyx T ),(P 化为椭圆柱面方程。求化为椭圆柱面方程。求a，ba，b的值和正交矩阵的值和正交矩阵P P。 。 44 22 解解：设X=，Y=， A=，B=， T ),(zyx T ),( 111 1 11 ab b 400 010 000 则原二次曲面方程可表示为4 T AXX，椭圆柱面方程为4 T BYY，此问题即寻求一正 交变换X=PY，把原二次型化为已知的标准形。 因此，由已有的标准形，可知矩阵A的 3 个特征值分别为0 1 ，1 2 ，4 3 ， 由0)Adet( E，可得，3a1