成都三诊数学理科试题及参考答案校对.pdf

成都市2 0 1 5届高中毕业班第三次诊断性检测 数学( 理工类) 参考答案及评分意见 第卷 ( 选择题 共5 0分) 一、 选择题: ( 每小题5分, 共5 0分) 1 .A; 2 . B; 3 . D; 4 .A; 5 . B; 6 . C; 7 . C; 8 . D; 9 . B; 1 0 .A . 第卷 ( 非选择题 共1 0 0分) 二、 填空题: ( 每小题5分, 共2 5分) 1 1 . 1 1; 1 2 . -3,0 ; 1 3 . 4; 1 4 . 8; 1 5 . . 三、 解答题: ( 共7 5分) 1 6 .解: () 连接C F交B D于点M, 连接ME. 易知BMFDMC. F是A B的中点,MF MC =B F D C= 1 2 . C E=2E C1, E C 1 E C =1 2 . 于是在C F C1中, 有MF MC =E C 1 E C. EMC1F. 又EM平面B D E,C1F平面B D E, C1F平面B D E. 5分 () 以点D为坐标原点, 分别以DA, D C,DD1所在直线为x轴, y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D x y z. D(0,0,0) ,B(3,3,0) ,E(0,3,2) ,D B =( 3,3,0) , D E =( 0,3,2). 设平面B D E的一个法向量m=( x,y,z). 由 D B m=0 D E m=0 , 得 3x+3y=0 3y+2z=0 . 令y=-2, 则x=2, z=3 .m=(2,-2,3). 又平面B C E的一个法向量n=(0, 1,0). c o sm,n= mn mn = -2 1 7 =- 2 1 7 1 7 . 二面角D-B E-C是锐二面角, 二面角D-B E-C的余弦值为 2 1 7 1 7 . 1 2分 )页 5 共(页 1 第案答)理(题试考”诊三“学数 1 7 .解: () 由f(x)=2 3as i nxc o sx+2ac o s 2 x+b = 3as i n 2x+a(1+ c o s 2x)+b = 3as i n 2x+ac o s 2x+a+b =2as i n(2x+ 6) +(a+b). 3分 由2x+ 6= 2+ k(kZ) , 得函数f(x) 的图象的对称轴方程是x= 6+ k 2 ( kZ). 5分 ()x 0, 4 ,2x+ 6 6, 2 3 .则s i n(2x+ 6) 1 2, 1 . 6分 当a 0时,f(x) 2a+b,3a+b , 据题意知 2a+b= 1 3a+b= 2 .解得 a= 1 b=- 1 .9分 当a1 0-n, 即 n5,nN . 由已知, 得C 1 nC 1 1 0-n C 2 1 0 =7 1 5 .解得n=7 . 3分 () 记“ 某人参与一次抽奖活动获奖” 为事件A.4分 P(A)=C 2 3 C 2 1 0= 1 1 5 . 某人抽奖一次就中奖的概率为1 1 5 . 6分 () 据题意, XB(3, 1 1 5 ) . 8分 X的分布列为P(X=i)=C i 3( 1 1 5 ) i( 1 4 1 5 ) 3-i, i=0,1,2,3 . 或 X0123 P 2 7 4 4 3 3 7 5 1 9 6 1 1 2 5 1 4 1 1 2 5 1 3 3 7 5 1 0分 数学期望EX= n p =31 1 5 =1 5 . 1 2分 1 9 .解: () 已知Sn=n 2 an. 当n2时, Sn-1=(n-1) 2 an-1. -, 得an=n 2 an-(n-1) 2 an-1(n2,nN ) . )页 5 共(页 2 第案答)理(题试考”诊三“学数 (n+1)an=(n-1)an-1, 即 an an-1= n-1 n+1 ( n2). 4分 a1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an-1= 1 2 1 3 2 4 3 5 n- 1 n+ 1 = 1 n(n+ 1) , 又a1=1 2, an= 1 n(n+1) , nN . 6分 () 据() , 知Sn=n 2 an=n 2 1 n(n+1) = n n+1 , nN . 据题意, 不等式2 n k+7 1 1-Sn 即k n-6 2 n 对任意的nN恒成立.7分 令bn= n-6 2 n.对数列bn , bn-bn-1= n-6 2 n - n-7 2 n-1= 8-n 2 n ( n2,nN ) , 8分 b1b9b1 0. 又b7=b8= 1 1 2 8 ,k 1 1 2 8 . 故所求k的取值范围为 1 1 2 8 ,+ . 1 2分 2 0 .解: () 双曲线2y 2- x 2=1的渐近线方程为y= 2 2x . 由题设, 可知 b 2 a = 2 2 . 1分 由椭圆C1的半焦距c=1, 有a 2- b 2=1 . 解得a= 2, b=1 . 椭圆C1的标准方程为 x 2 2 +y 2=1 . 3分 () 由C1的长轴与C2的短轴等长, 知n=a= 2 . 又C1与C2共焦点, 可知m=n 2+1= 3 . 椭圆C2的标准方程为 x 2 3 + y 2 2 =1 . 4分 () 当直线O A的斜率k存在, 且k0时, 联立 x 2 2 +y 2=1 y=k x , 消去y, 得x 2= 1 1 2+ k 2 .则O A 2=1+k 2 1 2+ k 2 =1+ 1 1+2k 2. 联立 x 2 3 + y 2 2 =1 y=-1 k x , 消去y, 得x 2= 1 1 3+ 1 2k 2 , 则O B 2= 1+1 k 2 1 3+ 1 2k 2 =3- 3 3+2k 2. 6分 )页 5 共(页 3 第案答)理(题试考”诊三“学数 由O A O B=0, 知 A B 2= O A 2+ O B 2 . A B 2=4+ 1 1+2k 2- 3 3+2k 2=4- 4k 2 ( 1+2k 2) ( 3+2k 2)=4- 4 8+3 k 2+4 k 2 0; 当x0, f ( x)0. 原方程无负实数根. )页 5 共(页 4 第案答)理(题试考”诊三“学数 故有 l nx x =1-t. 5分 令g( x)= l nx x , g ( x)= 1- l nx x 2 . 当00; 当xe时, f ( x)1 e, 即t 0, f ( x)0. 不妨取x= 1, 有 f ( 1)= e t( 1+t-e 1-t) 0, 当t1时,e 1-te0=1, 1+t2 .矛盾, 故t0时, 有 f ( x)=e t x 1+t x-e (1-t)x e x 2( 1+x 2-e x 2) . 由() , 知1+x-e x1 , 即 1 1-t l n t 1-t0. 令h( x)=1+t x-e (1-t)x, 则h( 0)=0. h (x)=t-(1-t)e (1-t)x=( 1-t) t 1-t-e (1-t)x . 当00. h(x) 在(0,1 1-t l n t 1-t) 内单调递增. h(x)h(0)=0.此时 f ( x)0. 函数f(