华南农业大学2014年概率论与数理统计试卷及答案.pdf

1 装订线 华南农业大学期末考试试卷（华南农业大学期末考试试卷（A 卷）卷） 2014 学年第学年第 1 学期学期考试科目：考试科目：概率论与数理统计 考试类型考试类型： （闭卷）考试（闭卷）考试考试时间：考试时间：120 分钟分钟 学号姓名年级专业 题号题号一一二二三三四四总分总分 得分得分 评阅人评阅人 一、选择一、选择题题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为 （） A. 50 7 B. 100 7 C. 48 7 D. 100 15 2.设A和B互不相容，且( )0P A ，( ) 0P B ，则下列结论正确的是（） A.(|)0P A B B.( )(|)P AP A B C.(|)0P A B D.()( ) ( )P ABP A P B 3.设A和B相互独立，且( )0P A ，( )0P B ，则一定有()P AB （） A.1( ) ( )P A P BB.1( ) ( )P A P B C.( )( )P AP BD.1()P AB 4.设随机变量 X 的概率密度为 2 1( 2) 8 1 ( ) 8 x f xe ，若()()P XCP XC， 则 C 的值为() A. 0B. -2C.2D. 2 5.下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为：() A. 其他, 0 , 0,cos )( xx xfB. 其他, 0 2, 2 1 )( x xf C. 0, 0 0, 2 1 )( 2 2 2 )( x xe xf x D. 0, 0 0, )( x xe xf x 得分得分 2 6. 设 X1、X2是随机变量，其数学期望、方差都存在，C 是常数，下列命题中 （1）E(CX1+b)=CE(X1)+b；（2）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) （3）D(C X1+b)=C2D(X1)+b（4）D(X1+X2)=D(X1)+D(X2) 正确的有() A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 7. 样本 129 (,)XXX取自总体(0,1)XN， 则统计量 49 22 14 5 4 i j ij XX 服从以下 分布() A.(4,9)FB.(4,5)FC.(4,4)FD. 以上都不是. 8. 设总体 2 ( ,)XN ， 1 X， 2 X， n X（3n ）是来自总体X的简单随机 样本，则下列估计量中，不是总体参数的无偏估计的是() A.XB. 12n XXX C. 12 0.1 (46)XXD. 123 XXX 9. 简单随机样本 12 (,)XX来自总体 2 ( ,)N ，下列的无偏估计量中， 最 有效的估计量是() A. 12 34 77 XXB. 12 23 55 XX C. 12 21 33 XXD . 12 11 22 XX 10. 设总体 2 ( ,)XN 且和 2 均未知。若样本容量和样本观测值不变，则 下面关于总体均值的置信区间长度L与置信度1的关系的说法中正确的是 （） A. 当1减小时，L增大B. 当1减小时，L减小 C. 当1减小时，L不变D. 以上三个都不对 二、填空题题（本大题共7小题，每空2分，共20分） 1. 一个例子中有 3 个白球，2 个黑球，从中不放回地每次任取一球，连取三次， 则第一、第二次、第三次都取得白球的概率为. 2. 已知( )=0.5P A，( )=0.6P B，(|)=0.8P B A，则()P AB=. 3. 设随机变量X的分布函数为 1,0 ( ) 0,0 x ex F x x ， 则(2)P X =， X的密度函数为. 得分得分 3 装订线 4. 若随机变量(1,6)U，则方程 2 10XX 有实根的概率为. 5. 设(0,1),(8,4)XNYN，X的分布函数为( )xP Xx， 则用( )x表示 概率412PY_. 6. 设随机变量,X Y相互独立，其中X服从参数为 2 泊松分布，Y服从参数为 1 2 的指数分布，则()E XY=_，(2)DXY=_. 7.设总体( ,100)XN， 若要保证的置信区间长度小于等于5， 当置信度为0.9 时，样本容量n最小应为，而当置信度为0.95时，样本容量n最小 应为.（提示： 0.05 1.645u， 0.025 1.96u） 三、概率论解答题三、概率论解答题（本大题共3小题，共36分） 1.（10分）某保险公司把被保险人分为三类： “谨慎型” 、 “一般型”和“冒 失型” 。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.1和 0.3。如果被保险人中“谨慎型”占20%， “一般型”占50%， “冒失型”占30%， 现在知某人一年内出了事故，则他是“谨慎型”客户的概率是多少？ 2. （10分分）一袋中装有4个球，球上分别标有号码1，2，3，4. 现从中任取 2球，X为取出球中最小号码，求X的概率分布律和(2 1)EX 。 得分得分 1.5CM 4 3.（16分）分）设随机变量X的密度函数为 2, (0,1), ( ) 0,(0,1). cxx f x x 求：(1)常数c；(2)求X的分布函数( )F x； (3)求X的期望()E X和方差()D X； （4）求1YX 的密度函数。 5 装订线 四、数理统计解答题四、数理统计解答题（本大题共2小题，共24分） 1. （12 分）分）设总体X的概率密度 1 ,0 ( ) 0,0 x ex f x x ，其中0是未 知参数， 12 , n XXX是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用 矩估计法和极大似然估计法求的估计量。 得分得分 6 2.（12分）设一批钢管内径服从正态分布，从这批钢管中随机抽取9根作为 样本，测得内径的样本均值102x ，样本标准差为2s ，请在以下两种情况下 对这批钢管的平均内径是否等于100进行检验（0.05） ： （1）已知1.5； （2）未知。 （提示： 0.05 1.645u， 0.025 1.96u， 0.05(8) 1.860t， 0.05(8) 2.306t， 0.05(9) 1.833t， 0.05(9) 2.262t） 7 装订线 2014学年第一学期概率率与数理统计学年第一学期概率率与数理统计 （A卷）标准答案和评分标准卷）标准答案和评分标准 一、选择一、选择题题 1.A2. C3.A4.D5. D6.C7. D8.B9.D10.B 二、填空题题 1.0.12.0.73. 2 e， ,0 ( ) 0,0 x ex f x x 4.4/5 或 0.8 5.2 (2) 1或(2)( 2) 6. 4，127.44， 62 三、三、1.解：设 123 ,A A A分别表示被保险人为“谨慎型” 、 “一般型”和“冒失型” ，B表 示被保险人在一年内出了事故。（1分） 所以，由贝叶斯公式可得（1分） 111 1 112233 ()() (|) (|) ( )() (|)() (|)() (|) P ABP A P B A P AB P BP A P B AP A P B AP A P B A （4分） 0.20.051 0.0667 0.20.050.5 0.10.3 0.315 （4分） 2.解：根据题意，X可能的取值有1，2，3，（1分） 取值的概率分别为 1 3 2 4 1 (1) 2 C P X C ， 1 2 2 4 1 (2) 3 C P X C ， 2 4 11 (3) 6 P X C 故故X的概率分布律为(6 分） X123 p 1 2 1 3 1 6 11113 (21)(2 1 1)(221)(23 1)4.33 2363 EX （3 分） 3.解： （1）由 1 2 0 ( ) dd1 3 c f xxcxx 知3c ；（2分） （2）当0x 时，( )( )d0d0 xx F xf xxx ；当01x时， 23 0 ( )( )d3d xx F xf xxxxx ；当1x 时， 1 2 0 ( )( )d3d1 x F xf xxxx ； 所以 3 0,0, ( ),01. 1,1. x F xxx x （4分） （3） 1 2 0 3 ()( )30.75 4 E Xxf x dxxx dx （2分） 1 2222 0 3 ()( )30.6 5 E Xx f x dxxx dx （2分） 22 3 ()() ()0.0375 80 D XE XE X （2分） （4）解法一：因为1YX 是严格单调的函数，所以 1.5CM 1.5CM 8 当01y时，即，01x时， 2 ( )(1) (1)3(1) YX fyfyyy 当Y为其他值时，( )(1) (1)0 YX fyfy y 所以,1YX 的密度函数为： 其他,0 10,)1 ( 3 )( 2 yy yfY （4 分） 四、四、1. 解：矩法估计，因为 0 000 1 () xxxx E Xxedxxdexeedx 0 x e 或因为 1 XE ，所以()E X（4分） 由矩法估计X，所以 X。（2分） 似然函数为 12 1 1 111 ( ) n i n ii x nnxxx x n i Leee （2分） 对其求对数得： 12 1 1 ln ( )lnln n i n i x xxx Lnn 求导，并令其为0， 1 2 ln ( )1 0 n i i x dL n d （2分） 解得 1 1 n i i xx n ，的极大似然估计量为 X.（2分） 2.解： （1）这是总体方差已知，检验均值的问题，采用U检验。（1分） 假设 01 :100,:100HH（1分） 因为102x ，1.5，9n ，故 102100 4 1.5/9