考研线性代数复习二次型.pdf

2013-7-10 1 第六章二次型第六章二次型 考试要求 1掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概 念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二 次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理 掌变换次型形法2掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会 用配方法化二次型为标准形 3理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其 判别法 一概念与性质 111211 212222 1212 12 (,)(,) n n nn nnnnn aaax aaax f x xxx xx aaax = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? T x Ax= = 11121 21222 12 n nT nnnn aaa aaa AA aaa = = ? ? ? ? 其中 ? ? ? ? 其中 称f为二次型。A称为二次型矩阵。 标准的二次型： 12 (,) n f x xx? 222 111222nnn a xa xa x= =+?+? 称A的秩为二次型 12 (,) n f x xx?的秩。?的秩。 1212 (,)=(,2,). TT nn xMyxx xxyyyy=?，设，设 ()() 12 ,M, ij n n n xMyx xxm =?则称为到=?则称为到 12 , n yyy?的线性变（替）换。?的线性变（替）换。 | 0M 非退化线性变换 | 0M 非退化线性变换 M为正交阵为正交阵正交线性变换 、若存在可逆矩阵 ，使得 T BC AC= = 则称A与B是合同的，记作 ? ?AB 4实二次型的标准形中 12 (,) n f x xx? 2222222222 112211pppprr a ya ya yaya y + = =+?+? (0,1,2, ) i air=? 系数为正的平方项个数P称为f的正惯性指数； 数的项r-p 称为f的负惯性指数；2pr 为f的负号差。 2013-7-10 2 5实二次型f 的任一标准形中，系数为正的平方项 个数是唯一确定的，它等于 f的正惯性指数，而 负的平方项个数也是唯一确定的，它等于 f的负 惯性指数 二将二次型化为标准形规范形的方法二将二次型化为标准形，规范形的方法 1配方法（略） 2正交变换法： 1）求A的全部特征值 12 ,; t ? ()()20 iiE A x =）对每一个特征值 求出=）对每一个特征值 求出 12 , i iiis ?的基础解系?的基础解系 12 ,3, i iiis ?正交化，）将单位化，得?正交化，）将单位化，得 12 ,(1,2, ) i iiis rrrit=?=? 12 ,(, , ) i iiis 12 111212122212 4(,),) t ssttts Prrrrrrrrr= =?记?记 , TT PPP PE= = =xPy=若令（正交变换），=若令（正交变换）， 则将二次型化成标准形则将二次型化成标准形 1 , TTT fx Axy PAPyy By = = 1 .BPAP = =其中其中 三二次型及标准形（本章重点之一） 例1 写出下列二次型矩阵 22 1122133 (1)()()fa xa xxa x=+=+ (2), T fx Ax= =其中 1 2 123 456 ,. x Axx = = ( ),fxx其中 2 3 456 ,. 789 Axx x 解（1）因为 1122311223 (0)(0)fa xa xxa xa xx=+=+ 133133 ()()xa xxa x+ ()()()() 11 1232122 3 ,0 0 ax fx xxaa ax x = = ()()()() 1 12332 33 1 ,01,0, x x xxax ax + + 2 0aa ax ()() 1121 2 1232122 3 0 ,0 000 aa ax x xxa aax x = = ()() 31 1232 2 333 10 ,000 0 ax x xxx aax + + 所以，二次型矩阵为 2 1123 2 212 2 33 1 0 0 aa aa Aa aa aa + = + = （2）由矩阵的乘法及二次型矩阵表达式得知 ( () ) 1 T AAB为二次型矩阵 于是 ( () ) 2 T AAB+=+= 为二次型矩阵，于是 123147135 1 456258357 2 789369579 += += 故二次型f的矩阵为 135 357 579 注：也可以先展开二次型化为一般式后，再利 用定义写出二次型矩阵。 2013-7-10 3 例3已知 222 112132233 2232=+=+fxx xx xxax xax 的秩为2,当A的特征值之和为最小时, 试用正交变换 把二次型化为标准形,并写出相应的正交矩阵. 解111111 13 021Aaa = 13021 1030 Aaa aaa ( )2R A= 13aora= 又 123112233 aaa +=+=+ 要使A的特征值之和 为最小,只有取于是1,a = = 111 131 111 A = = (1)(4)EA = = 再由再由得到A的全部特征值为 123 0,1,4 = = 1 0 = =当时，由0Ax = = 得特征向量为 1 (1,0, 1)T = = 当时，由 2 1 = =( () )10EA x = 得特征向量为 2 (1, 1,1) , T = = 当时，由 3 4 = =( () )40EA x = = 得特征向量为 3 (1,2,1) , T = = 单位化： ()() 11 2 (1,0, 1)1,0, 1; 2 T T P = ()() 22 3 (1, 1,1)1, 1,1; 3 T T P = 6 33 6 (1,2,1)(1,2,1) 6 TT P = 于是，令 123 (,),PP P P= =,xPy= =作则作则 122 23 4 TT fx Axy PAPyyy =+=+ 222 123122313 2224fxxxx xx xx x= =+ + +例 设例 设 xQy= =经正交变换得经正交变换得 22 23 2fyy= =+ + 123123 (,) ,(,) ,3 TT xx xxyyyyQ= = =其中为 阶正交矩阵，其中为 阶正交矩阵， 试试求求参参数数的的值值, 试试求求参参数数的的值值。 解 变换前,后的二次型矩阵分别为 11 1, 11 A = = 000 010 002 B = = , TT fx Ax fy By= ()() , T Q AQB Q=为正交阵=为正交阵 1 Q AQB =.ABEAEB = 1100 1010 = = 11002 3222232 3(2)()32 +=+=+ 0= =令，=令， =01 =再令=再令 = =0 例5 设二次型 22 112233112233 2()()fa xa xa xb xb xb x= =+ 记 1 2 , a a a = = 1 2 b b b = = 3 a 3 b (1)证明二次型f对应的矩阵为2 TT + + (2) 若正交且均为单位向量，证明f在, 正交变换下的标准形为 22 12 2.yy+ + 2013-7-10 4 解（） 11 12321232 33 2(,)(,) ax fx xxaa a ax ax = = 11 12321232 (,)(,) bx x xxbb b bx + + 33 bx ()()()() 2 TTTT xxxx=+=+()()2 TTT xx=+=+ 故 的二次型矩阵为2. TT A =+=+ （2） 因为 ( () ) 2 22|2 TTT a =+=+=+=+= 所以是A的对应于的特征向量。 1 2 = = 又 ( () ) 2 22| TTT A = =+=+=+=+= 即是A对应于的特征向量。 2 1 = = 又因( )(2)()( )( )23 TT r Arrrr +=+=则称 f 为正定的二次型. 2.判别方法: T fx Ax= = 为正定nf的正惯性指数为的正惯性指数为 A 合同于单位矩阵 存在可逆矩阵 使得 T AQ Q= = A的各阶顺序主子式大于零。的各阶顺序主子式大于零。 的n个特征值 全大于零 222 1231213 422121fxxxtx xx x= =+例若正定，则+例若正定，则 _.t应满足的条件是应满足的条件是 分析 因为 11 40 , t At = = 且f 正定的，故A的所有顺 序主子式都大于零 102 序主子式都大于零。 1 10,A= = 2 2 1 40, 4 t At t = 2 11 40420 102 t Att= =22.t ?正定正定 1 0(1,2, ) i in =? 1 A 为正定的为正定的 222 1231213 6574144fxxxx xx x= =+例判断是否正定？+例判断是否正定？ 分析： 因为 622 250 207 A = = (3)(6)(9)0EA =(3)(6)(9)0EA 123 3,6,9 = = 故所有的特征值都大于零,从而知二次型为 正定的二次型. 例15 设为实对称矩阵， 3 3 () = = ij Aa 2 20,( )2,AAR A+=+=且且 (1)求A的全部特征值; (2) 当k为何值时,矩阵AkE+ + 为正定矩阵,E为 三阶单位矩阵. 解 (1) 设A = = 22 A = 22 (2 )2AA =+=+ 2 20 +=+= 12 0,2. = = = 而A可以对角化且()=2，故 2 2, 0 AB = = 从而A的特征值为 123 2,0 = = = ( () ) T 且且特特征征值值为为( () ),.), 2,22( T AkEAkEkk k+ +=+ +=+ +且且特特征征值值为为 2kAkE+时，当时，当的全部特征值都大于零,从而 A kE+ + 为正定的。 例16设矩阵 2 1 0 1 0 2 0() , 1 0 0 ABkEAkR =+ =+ ， 求对角阵, 使与 相似，使与 相似，并求k为何值时, B为 正定矩阵. 解先求 的特征值 2 101 |02 0(2)0 1 01 EA = = 的特征值为： 123 0,2 = 故的特征值为： 的特征值为： 123 0,2 = = 222 ,(2) ,(2)kkk+ 与相似的对角矩阵 2 2 00k 2 2 0 (2) 0 00 (2) k k =+ =+ + + 0,2kk 当时，当时，的特征值全大于零，从而知 正定矩阵。 2013-7-10 7 例17 设 222 123121323 55266fxxcxx xx xx x=+=+ 的秩为2, (1) 求c 及二次型的特征值 (2) 表示何种曲面. 123 (,)1f x xx= = 513 解: (1) 二次型对应的矩阵为 513 1 53 , 33 A c = = ( )2| 0r AA=3.c= = |(4)(9)0EA =由由 123 0,4,9. = 例18二次型 222 12323 2332(0)fxxxax x a= =+ 经正交变换化为 222 223 25fyyy=+=+ 求a及所用正交变换. 解: 二次型矩阵为 200 03,Aa = = 00a 22 | (2)(69)0EAa = =+ = 由题意得1 = =为二次型矩阵的特征值,即 22 | (12)(16 19)0EAa = += += 解得由得2,a = = 0a 2.a= = 又因为A的特征值为1,2,5, 得对应的特征向量为 123 (0,1, 1) ,(1,0,0) ,(0,1,1) . TTT = 单位化单位化: 123 1111 (0,) ,(1,0,0) ,(0,) . 2222 TTT = 令则 123 (,),P = = xPy= =即为所求正交变换. 例19 设(), ijm n Aa = =E为n阶单位矩阵,已知 , T BEA A = =+ + 试证:当时，为正定矩阵.0 证明 () TTTT BEA AEA A = =+=+=+ T EA AB = =+=+=即为对称矩阵. 设 1 (,)0 T n Xxx= =? ()() TTTTTT X BXXEA A XX XXA A X = =+=+=+ () ()0 TT X XAXAX = =+()()0 即为正定矩阵. 例20二次型 123 (,) T f x xxx Ax= =的正惯性指数为 1,p = =又矩阵A满足 2 23,AAE= 求二次型的规范形。 分析：因可逆，从而有三个非零的特征值 2 230,AAE= 由已知得从而得的特征值为 230,AAE 得得的特征值 12 3,1, = = 又的正惯性指数为.故有 3 1, = = f 的标准形为： 222 123 3fyyy= f 的规范形为： 222 123 fyyy= = 例21 设 ，分别为 m,n阶正定矩阵,试判定 分块矩阵 0 0 A C B = 是否为正定矩阵. 分析：由正定矩阵定义 T fX AX( () )00 T fX AXX T fX AX= =( () )00 T fX AXX = = 由已知0,0,