概率论第1,2,3次答案.pdf

华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿（第一册） 学 院 _专 业 _班 级 _ 学 号 _姓 名 _任课教师_ 第一次作业 一 填空题： 1设 20xxS ， 1 2 1 xxA ， 2 3 4 1 xxB ，具体写出下列 各事件： BA= 113 1x 422 xx 或者 或者，BA =S，BA=B，AB=A。 2设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来： （1）事件ABC表示A、B、都C发生； (2) 事件ABC表示A、B、C都不发生； （3）事件ABC表示A、B、C不都发生； （4）事件 ABC表示A、B、C中至少有一件事件发生； （5）事件 ABACBC或ABACBC表示A、B、C中最多有一事件 发生。 二 选择题： 1设10, 3，5 , 3 , 2，7 , 5 , 4 , 3, 2 , 1AB，7 , 4 , 3 , 1C，则事件 BCA( A )。 A. B. C. D. 10, 9 , 8 , 6 , 15 , 210, 9 , 8 , 6 , 210, 9 , 8 , 6 , 5 , 2 , 1 2对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A“恰有一弹击中飞机”, 事件 B= “至少有一弹击中飞机” ，事件C=“两弹都击中飞机”, 事件D“两 弹都没击中飞机” ，又设随机变量为击中飞机的次数，则下列事件中( C )不 1 表示1。 A. 事件A B. 事件 C. 事件CBCB D. 事件CD 3设A、B是两个事件，且 A ， B ，则 BABA 表示（ D ） 。 A. 必然事件 B. 不可能事件 C. A与B不能同时发生 D. A与B中恰有一个发生 4 以A表示事件 “甲种产品畅销， 乙种产品滞销” ， 则其对立事件 A表示 （ D ） 。 A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销” B. “甲、乙两种产品均畅销” C. “甲种产品畅销” D. “甲种产品滞销，或乙种产品畅销” 三 计算题： 1写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分， 只取整数） ； 设事件A表示：平均得分在 80 分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件A表示：第一颗掷得 5 点； 设事件B表示：三颗骰子点数之和不超过 8 点。 （3）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次 数；设事件A表示：至多只要投 50 次。 解： （1）样本空间可以表示为100, 3 , 2 , 10，；事件100,82,81A。 （ 2 ） 样 本 空 间 可 以 表 示 为18, 5 , 4 , 3； 事 件， 。 17, 8 , 7A 8 ,4 , 3B （3）样本空间可以表示为,12,11,10；事件50,12,11,10A。 2 某电视台招聘播音员，现有三位符合条件的女士和两位符合条件的男士前 来应聘： （1）写出招聘男女播音员各一名的样本空间； （2）写出招聘两名播音员的样本空间。设事件A表示“招聘到两名女士” ，把该 事件表示为样本点的集合。 解： 用 表示招聘了的第 i W)3 , 2 , 1( ii 位女士， 用表示招聘了第位 男士。 j M)2 , 1( jj 2 （1）。 231322122111 ,MWMWMWMWMWMW （2） 21231332221231212111 ,MMMWMWWWMWMWWWWWMWMW 。 323121 ,WWWWWWA 3 如果事件A与事件B互为对立事件，证明：事件A与事件B也互为对立事 件。 证: 由于A与B互为对立事件,故,ABAB ,因此就有,ABAB ,所以 A与B 也互为对立事件. 4 化简事件算式 ABABABAB。 解： ABABABABABABABABAA。 5 证明下列等式AABBAB 。 证明：因为 AABBAAB BAAB BAAB B ABABBABAB 所以：AABBAB。 6设A、B为两个事件，若 BAAB ，问A和B有什么关系？ 解：A和 为对立事件。 B 第二次作业 一填空题： 1 10 个螺丝钉有 3 个是坏的， 随机抽取 4 个。 则恰好有两个是坏的概率是0.3 ， 4 个全是好的概率是0.1667 。 2 把 12 本书任意地放在书架上，则其中指定的 4 本书放在一起的概率 55 1 !12 ! 4 ! 9 。 3 10 层楼的一部电梯上同载 7 个乘客，且电梯可停在 10 层楼的每一层。求不 3 发生两位及两位以上乘客在同一层离开电梯的概率06048. 0 3125 189 107 7 10 A 。 4 袋中装有编号为n, 2 , 1的n个球，每次从中任意摸一球。若按照有放回 方式摸球，则第k次摸球时，首次摸到 1 号球的概率为 k k n n 1 1 。若按照无 放回方式摸球，则第k次摸球时，首次摸到 1 号球的概率为 n 1 。 二. 选择题： 1. 为了减少比赛场次，把 20 个球队任意分成两组（每组 10 队）进行比赛, 则 最强的两个队被分在不同组内的概率为( B )。 A. 2 1 B. 19 10 C. 19 5 D. 10 1 2. 从一副扑克牌(52 张)中任取 4 张,4 张牌的花色各不相同的概率( C ) A. 13 1 B. 4 52 13 C C. 4 52 4 13 C D. 49505152 134 三. 计算题： 1. 将长为a的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。 解: 设三段分别为, ,x y axy,样本空间 :(0)(0)()xayaxya能构成三角形须满足(图中阴影部分) 2 0 2 0,0 0 2 a xy xyaxy yaxyx a x axyxy a xaya y 4 故这三段能够成三角形的概率为 1 4 . 2. 同时掷五颗骰子，求下列事件的概率： （1） A=“点数各不相同” ； （2） B=“至少出现两个6点 ” ； （3） C=“恰有两个点数相同” ； （4） D=“某两个点数相同，另三个同是另一个点数” ； 解： （1） 5 5 6 6 )( P AP ； （2） 5 4 5 5 6 5 5 6 5 1)(BP； （3） 54 25 6 3456 )( 5 2 5 C CP； （4） 648 25 6 56 )( 5 2 5 C DP； 3. 将10根绳的20个头任意两两相接，求事件A=恰结成10个圈的概率。 解: ! !19 1 !20 ! !20 )(AP 4 . 从5双不同的鞋子中任取4只，求此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的 概率。 解： 122112 524225 4 10 13 21 C C C C CC P C 。 5. 在区间（0，1）中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于 2 1 的概率。 解：样本空间为( , ) 01,01x yxy ， 记 1 ( , ) ( , ), 2 Ax yx yxy ， 4 3 )( S S AP A 。 5 6. 在正方形 ( , )11, 11Dx yxy 中任取一点，求使得关于u的方程 0有（1）两个实根的概率 ； （2）有两个正根的概率。 2 yxuu 解： （1）方程有两个实根，要求，即点的坐标满足： 04 2 yx 04,),( ),( 2 yxDyxyx，见如图阴影部分。因此概率为： 24 13 4 4 22 1 0 2 dx x S S P D 阴阴 （2）方程有正根，要求0 2 4 2 yxx ，也就是要求 0, 0 yx 。 因此点的坐标满足 0, 004,),( ),( 2 yxyxDyxyx，见图阴影 部分。因此概率为： 48 1 4 4 0 -1 2 dx x S S P D 阴阴 。 6 7. 在一张印有方格的纸上投一枚直径为1的硬币，试问方格边长a要多大才能 使硬币与边线不相交的概率小于1%。 解： 由于投掷的等可能性，只需考虑硬币投入一个方格的情况。如图所示，样本 空间对应于面积为的区域，若硬币与边线不相交，则硬币中心应落入面积 为 的中心阴影区域中，故 2 a 2 1a 2 2 1 =0.01 a P a 硬币与边线不相交硬币与边线不相交 于是有 10 9 a 。 8. n个人随机地围绕圆桌就座， 试问其中A、B两人的座位相邻的概率是多少？ 解： 2 3 =1 1 n Pn n 2 A,B两人座位相邻A,B两人座位相邻 。 9. 一部五卷的选集，按任意顺序放在书架上，求： (1) 各卷自左至右或者自右至左的卷号顺序恰为1,2,3,4,5的概率； (2) 第一卷及第五卷分别在两端的概率； (3) 第一卷及第五卷都不在两端的概率。 解： （1） 21 = 5!60 P ； （2） 2!3!1 = 5!10 P ； （3） 2 3 3!3 = 5!10 P P 。 7 第三次作业 一. 填空题： 1. 已知6 . 0)(, 3 . 0)(, 7 . 0)(BPBAPAP，则)(BAP 0.1. 2. 设A、B是任意两个事件，则 PABABABAB0。 3. 设事件A、B满足ABA B，则P AB 1 ，P AB 0 。 4. 已知 ABABABABC ，且 1 () 3 P C ，则 ( )P B 2 3 。 5. 设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4，0.3，0.6。若B 表示B的对 立事件，那么()P AB 0.3 。 二. 选择题： 1 从数列1,2,n中随机地取三个数（1kn） ，则一个数小于k, 一个数等于 k，而一个数大于k的概率( D ) A. n k1 B. 2 )(1( n knk C. )2)(1( )(1( nnn knk D. )2)(1( )(1(6 nnn knk 2 箱子中装有5个白球和6个黑球,一次取出 3只球,发现都是同一种颜色的, 在此前提下得到的全是黑色概率为( A ) A. 3 2 B. 11 3 C. 11 6 D. 33 4 3设事件A与B互不相容，则（ D ） 。 A. 0P AB B. ( ) ( )P ABP A P B C. D. 1(P AP B ) 1P AB 4设A、B是任意两个互不相容的事件，且 ，则必有（ D ） ( ) ( )0P A P B A. A与B互不相容 B. A与B相容 C. ( )P ABP B D. P ABP B 5. 设A、B是任意两个事件，则使减法公式()( )(P ACP AP C)成立的C为 ( C ). A. CA B. CAB 8 C. D. CABABCABBA 三. 计算题 1. 设 3 1 )(AP， 2 1 )(BP，试就下列三种情况下分别求出)( BAP的值： (1)A与B互不相容； (2)BA； (3) 8 1 )(ABP。 解： (1) 2 1 )()()(BPABPBAP； (2) 6 1 3 1 2 1 )()()()(APBPABPBAP； (3) 8 3 8 1 2 1 )()()()(ABPBPABPBAP。 2. 已知10只晶体管中有两只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放 回抽样，求下列事件的概率： （1） 两只都是正品； （2） 两只都是次品； （3） 一只是正品，一只是次品； （4） 第二次取出的是次品 解: 设=“第i次取出的是正品” ，则 i A （1） 12211 8728 ()(|) () 10945 P A AP AA P A； （2） 12211 211 ()(|) () 10945 P AAP AA P A； （3） 12121212 822816 ()()() 10910945 P A AA AP A AP A A； （4） 21121212 82211 ()()() 1091095 P APAAAP A AP A A。 3. 某旅行社100人中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英 语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英语、日语、法语3种语 言中的一种。试求： （1） 此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2） 此人只会讲法语的概率。 解：设A、B、C分别为会讲英语、日语、法语。 （1） 329 ()()()0.2 100100 P ABCP ABP ABC3 ； 9 （2） ()()1( 433532 10 100100100 P ABCP ABCABP AB ) .54 4. 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落， 就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再攻击乙机，击落 乙机的概率是0.4。试求在这几个回合中 （1） 甲机被击落的概率； （2） 乙机被击落的概率。 解：设在这三次攻击中， “击落敌机”事件分别为A、B、C，则依题意有 ()0.2,()0.3,()0.4P AP B AP C AB。 （1）()()() ()0.24PP ABP A P B A甲机被击落 甲机被击落 ； （2） ()()()( ()() () ()0.424 PP AA B CP AP A B C P AP A P B A P C A B 乙机被击落乙机被击落) 。 5. 设A、B是两个随机事件，已知 1 ( ) 3 P B ， 1 () 4 P A B ， 1 () 5 P A B ，试 求()P A。 解： ()1() 1()()