《大学数学概率论及试验统计》第一章课后答案余家林主编.pdf

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1 0 2dx x= 1 - 1 0 3 | 3 1 x= 3 2 , 或 M （B ）= 1 0 1 2 x dydx= 1 0 2 1 x d x = 1 - 1 0 2dx x= 3 2 P （A ）= 8 1 )( )( = GM AM , , P （B ）= 3 2 )( )( = GM BM 9 . 有一个均匀的陀螺, 它的半个圆周上均匀的刻有区间，上的各个数字标记，另半 个圆周上均匀地刻有区间1，3上的各个数字标记如果让它旋转并在他停下来时观察到圆 周上接触桌面处的数字标记在区间，上，那么此事件的概率等于. 解：设 A = 接触桌面处的数字标记在区间,上,B= 接触桌面处的数字标记在区间1,3上, C= 接触桌面处的数字标记在区间.5,.5上, P(C)=P(AC)+P(BC)= P(A) P(C/A)+P(B) P(C/B)= 2 1 2 1 2 1 4 1=0.375 （注: 基本事件不是等可能的发生） 1 0 . 甲乙两艘轮船分别驶向某一个码头停泊,甲轮船停泊两小时,乙轮船停泊一小时,他们在一 昼夜内到达码头的时刻是等可能的如果这个码头不能同时停泊两艘轮船,并且先到达的轮船 不需要等候,试计算这两艘轮船都不需要等候的概率 解：用 x , y 分别表示甲乙到达码头的时刻， 则 G = ( x , y ) | O x ，y 2 4 A = ( X , Y ) | y x + 1 或 x y + 2 , P （A ）= )( )( GM AM = 2424 2222 2 1 2323 2 1 + 24 1 2 y = x + 1 y = x + 2 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 习题 1 . 3 答案 1.若 A，B为任意两个事件，试论述 P(AB) P ( A ) 即 B 不利于 A 3.设某种动物由出生算起活 20 岁以上的概率为 0.8，活 25 岁以上的概率为 0.4。如果现在有 一个 20 岁的这种动物，试求它能够活 25 岁以上的概率。 解：A = 活 2 0 岁以上 B = 活 2 5 岁以上 已知 P （A ）= 0 . 8 P （B ）= 0 . 4 所以 P （B / A ）= )( )( AP ABP = 8 . 0 4 . 0 = 2 1 因为 A B = B （BA ） 4.袋中装有 4 个红球 3 个白球，用取后放回的方法，每次任取一球，共取 3 次，若 A=三次 都取出红球，B=前两次都取出红球，C=前两次都取出红球第三次取出白球，试用概率 的乘法公式计算这三个事件的概率。 . 解： （取后放回） A i表示第 i 次取红球 则 P （A ）= P （A 1A2A3）= P （A1）P （A2A1）P （A3A 1A2 ） = 1 7 1 4 C C 1 7 1 4 C C 1 7 1 4 C C = （4 / 7 ） 3 P （B ）= P （A 1A2）= P （A1）P （A2A1） = 1 7 1 4 C C 1 7 1 4 C C = （4 / 7 ） 2 P （C ）= P （A 1A2 A 3）= P （A1）P （12 AA）P （ A 3A 1A2 ） = 1 7 1 4 C C 1 7 1 4 C C 1 7 1 3 C C = 7 3 （ 7 4 ） 2 5.一个不称职的秘书，随手将 3 封不同的信放进了 3 个写有不同地址的信封，试计算至少有 一封信放对了信封的概率 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 . 解：A i表示第 i 封信放对了信箱，则 P （A 1A2 A 3） = P （A1） + P （A2） + P （A3） - P （A1A2） - P （A1A3） - P （A2A3） + P （A1A2A3） = 3 1 + 3 1 + 3 1 - 3 1 2 1 - 3 1 2 1 - 3 1 2 1 + 3 1 2 1 1 1 = 3 2 或 P （A 1A2 A 3）= 1 - P （ A 1 A 2 A 3）= 1 - 3 3 2 P = 1 - 6 2 = 3 2 或 P （A 1A2 A 3）= 3 3 1 3 11 P C + = 3 2 6.一批零件中有 90 个正品 10 个次品，若每次从中任取一个零件，取出的零件不在放回去。 试计算第二次才取出正品的概率；第三次才取出正品的概率。 . 解：A i表示第 i 次取出正品则 P （ A 1A2）= P （ A 1）P （A2/ A 1）= 1 100 1 10 C C 1 99 1 90 C C = 11 1 P （ A 1 2 AA 3）= 1 98 1 99 1 100 1 90 1 9 1 10 CCC CCC 7.某光学仪器厂制造的透镜，在第一次落下时打破的概率为 0.5，若第一次未打破，第二次 落下时打破的概率为 0.3，若前两次未打破，第三次落下时打破的概率为 0.9，试求透镜三次 落下而未打破的概率。 . 解：A i表示第 i 次落下打破 已知 P （A 1）= 0 . 5 ， P （ A2 A 1）= 0 . 3 ， P （A3 A 1 2 A）= 0 . 9 所以 P （ A 1 A 2 A 3）= P （ A 1）P （ A 2 A 1）P （ A 3 A 1 2 A） = 0 . 5（1 - 0 . 3 ）（1 - 0 . 9 ）= 0 . 50 . 70 . 1 = 0 . 0 3 5 8.一道考题同时列出 4 个答案，要求学生把其中的一个正确答案选择出来。假设他知道正确 答案的概率为 0.5，而乱猜的概率也是 0.5，如果他乱猜答案猜对的概率为 0.25，并且已知他 答对了，试求他确实知道正确答案的概率。 解：设 A = 知道正确答案 B = 乱猜 C = 答对 已知 P （A ）= 0 . 5 P （B ）= 0 . 5 P （C B ）= 0 . 2 5 因为 CA + B 且 A ，B 互不相容 所以 P （C ）= P （A ）P （C A ）+ P （B ）P （C B ） （全概率公式） = 0 . 50 . 1 + 0 . 50 . 2 5 = 0 . 6 2 5 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 所以 P （A / C ）= )( )( CP ACP = )( )()( CP ACPAP = 625. 0 15 . 0 = 0 . 8 9.如果甲口袋中有 3 个红球一个白球， 乙口袋中有 4 个红球 2 个白球， 从甲口袋中任取一球， 不看颜色放入乙口袋中，再从乙口袋中任取一球，试求取出红球的概率。 解： 设 A = 从甲口袋取出一红球 ， A= 从甲口袋取出一白球 ， B = 从乙口袋取出一红球 因为 BA + A, 而 A 与 A互不相容, 所以由全概率公式 P （B ）= P （A ）P （B A ）+ P （ A）P （B A） = 1 4 1 3 C C 1 7 1 5 C C + 1 4 1 1 C C 1 7 1 4 C C = 28 19 1 0 . 用甲胎蛋白法普查肝癌， 由过去的资料知道， 肝癌患者用此法检验得出阳性结果的概率 为 0.95， 非肝癌患者用此法检验得出阴性结果的概率为 0.90。 如果某地居民中肝癌的发病率 为 0.0004，某人用此法检验得出了阳性结果，试计算他是肝癌患者的概率。 解：设 A = 肝癌患者 , B = 阳性结果 , 已知 P ( B / A ) = 0 . 9 5 , P ( B A) = 0 . 9 0 , P ( A ) = 0 . 0 0 0 4 , 因为 BA + A , A 与 A互不相容, 所以由全概率公式, P ( B ) = P ( A ) P ( B A ) + P （ A）P ( B A) = 0 . 0 0 0 40 . 9 5 + ( 1 - 0 . 0 0 0 4 )( 1 - 0 . 9 0 ) 所以 P ( A / B ) = )( )/()( BP ABPAP = 1 . 00096. 095. 00004. 0 95. 00004. 0 + = 0 . 0 0 3 8 1 1 . 某校男.女比例为 3：1，男生中身高 1.70 米以上的占 60%，女生中身高 1.70 米以上的 仅占 10%，在校内随机的采访一位学生，若这位学生的身高在 1.70 米以上，求这位学生 是女生的概率；若这位学生的身高不超过 1.70 米，求这位学生是男生的概率。 解：设 A = 男生 , A= 女生 , B = 身高 1 . 7 0 米以上 , 已知 P ( A ) = 3 / 4 , P ( A) = 1 / 4 , P ( B A ) = 6 0 % = 0 . 6 , P ( B A) = 0 . 1 , 而 BA + A, 且 A 与 A互不相容, 所以由全概率公式 P （B ）= P （A ）P （B / A ）+ P （ A）P （B / A） = 4 3 0 . 6 + 4 1 0 . 1 = 40 19 所以 P ( A/ B ) = )( )/()( BP ABPAP = 40 19 1 . 0 4 1 = 19 1 P ( A B) = )( )()( BP ABPAP = 40 19 1 )6 . 01 ( 4 3 = 21 12 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 1 2 . 将储户按收入多少分为高，中，低三类，通过调查得知，这三类储户分别占总户数的 10%，60%，30%，而银行存款在 20 万元以上的储户在各类中所占的比例分别为 100%， 60%，5%，试计算存款在 20 万元以上的储户在全体储户中所占的比例；一个存款 在 20 万元以上的储户属于高收入的概率。 解：设 A = 高收入 ， B = 中收入 ， C = 低收入 ， D = 存款 2 0 万元以上 已知 P ( A ) = 0 . 1 , P （B ）= 0 . 6 , P （C ）= 0 . 3 , P ( D A ) = 1 , P ( D B ) = 0 . 6 , P ( D C ) = 0 . 0 5 因为 DA + B + C ， 且 A ，B , C 互不相容 所 以: P ( D ) = P ( A ) P ( D | A ) + P ( B ) P ( D | B ) + P ( C ) P ( D | C ) = 0 . 11 + 0 . 60 . 6 + 0 . 30 . 0 5 = 0 . 4 7 5 所以：P ( A | D ) = )( )/()( DP ADPAP = 475. 0 11 . 0 = 0 . 2 1 1 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 习题 1 . 4 答案 1 . 证明事件 A 与 B相互独立 事件 A 与 B补（B的补集）相互独立。 解：若 A 与 B 相互独立， 则有 P （A B ）= P （A ）P （B ） ， 而 P （A B）+ P （A B ）= P （A B+ A B ）= P （A ） 所以 P ( A B) = P ( A ) - P ( A B ) = P （A ）- P （A ）P （B ）= P （A ） （1 - P （B ）= P ( A ) P ( B) , 所以 A 与 B相互独立，反之亦成立。 2 . 设 A 与 B为两个事件，如果 P（A|B）=P（A|B补） ，则 A 与 B相互独立。 解：若 P ( A B ) = P ( A / B) , 则 )( )( BP ABP = )( )( BP BAP , 所以 )( )( BP ABP = )(1 )()( BP ABPAP 即：P （A B ） 1 - P （B ） = P （B ） P （A ）- P （A B ） , 得 P （A B ）= P （A ）P （B ） 所以 A 与 B 相互独立。 3. 称一个元件能正常工作的概率为这个元件的可靠性，称由多个元件组成的系统能正常工 作的概率为这个系统的可靠性， 如果有三个可靠性都是 p 的元件， 当它们以串联的方式组 成系统或者以并联的方式组成 系统时，试分别计算系统和的可靠性。 解：用 A ，B ，C 表示元件 A ，B ，C 可靠 已知 P （A ）= P （B ）= P （C ）= P 且 A ，B ，C 相互独立 则 P 串位方式系统可靠 = P （A B C ）= P （A ）P （B ）P （C ）= P 3 P 并位方式系统可靠 = P ( A B C ) = 1 - P （ A CB） =1- P( A)P( B)P( C) =1- （1- p）3 4.三射手中靶的概率分别为 0.6，0.7，0.8，它们相互独立的各射击一次，试计算有一名射 手中靶的概率；至少有一名射手中靶的概率。 解：A ，B ，C 分别表示三射手中靶 已知 P （A ）= 0 . 6 ， P （B ）= 0 . 7 ， P （C ）= 0 . 8 ， A ，B , C 相互独立 P （ A BC+ AB C+A CB）= P （ A BC）+P（ AB C）+P（A CB） = P （ A）P（ B）P（C）+P（ A）P（B）P（ C）+P（A）P（ B）P（ C） =0.48 . 03 . 0 +0.42 . 07 . 0+0.62 . 03 . 0 =0.188 P （A B C ）= 1 - P （ A CB）=1- P（ A）P（ B）P（ C）=1- 0.42 . 03 . 0 =0.976 5 . 某射手命中 10 环的概率为 0.5，命中 9 环的概率为 0.3，命中 8 环的概率为 0.2。如果他 射出 3 发子弹，试计算命中 28 环的概率；至少命中 28 环的概率。 解：设 A = 命中 1 0 环 ， B = 命中 9 环 ， C = 命中 8 环 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 因为 2 8 = 1 0 + 9 + 9 = 1 0 + 1 0 + 8 所以 P = 1 3 CP （A A C ）+ 1 3 CP （A B B ）= 1 3 CP 2 （A ）P （C ）+ 1 3 CP （A ）P 2 （B ） = 3（0 . 5 2 0 . 2 + 0 . 50 . 3 2 ）= 0 . 2 8 5 P = 1 3 CP （A B B ）+ 1 3 CP （A A B ）+ 1 3 CP （A A C ）+ P （A A A ） = 3 （0 . 50 . 3 2 + 0 . 5 2 0 . 3 + 0 . 5 2 0 . 2 ）+ 0 . 5 3= 0 . 6 3 5 6 . 假设某牌电灯泡的耐用时数在 1000 小时以上的概率为 0.2， 试计算三个电灯泡使用 1000 小时以后，只有一个损坏的概率；最多只有一个损坏的概率。 解：A = 耐用时数 1 0 0 0 小时以上 ， P ( A ) = 0 . 2 ， P ( A) = 0 . 8 P 3（1 ）= 1 3 C（0 . 8 ）0 . 2 2 = 0 . 0 9 6 P = P 3（1 ）+ P3（0 ）= 1 3 C（0 . 8 ）0 . 2 2 + 0 3 C（0 . 8 ） 0 0 . 2 3= 0 . 1 0 4 7 . 甲,乙两人向同一目标独立的各射击一次,命中率分别为 1/3 和 1/2，试计算目标被命中 的概率；如果已知目标被命中，计算它是 被甲命中的概率。 解：设 A = 甲命中 , B = 乙命中 , C = 命中 , 已知 P （A ）= 1 / 3 , P （B ）= 1 / 2 , A 与 B 相互独立, 所以：P ( C ) = P （A B ）= P （A ）+ P （B ）- P （A B ）= P （A ）+ P ( B ) - P （A ）P （B ）= 2 / 3 P （A / C ）= )( )/()( CP ACPAP = 3 2 1 3 1 = 1 / 2 8 . 已知甲袋中有 3 只白球 7 只红球 15 只黑球，乙袋中有 10 只白球 6 只红球 9 只黑球，如 果从两袋中各取一球，试计算两球颜色相同的概率。 解：设 A i( i = 1 , 2 , 3 ) 分别表示甲袋中取出一白，一红，一黑球; B i( i = 1 , 2 , 3 ) 分别表示乙袋中取出一白，一红，一黑球 则 P = P ( A 1B1+ A2B2+ A3B3）= P （A1B1）+ P （A2B2）+ P （A3B3） = P ( A1) P ( B1) + P ( A2) P ( B2) + P ( A3) P ( B3) = 25 3 25 10 + 25 7 25 6 + 25 15 25 9 = 625 207 9 . 假设飞机的发动机在飞行中出故障的概率为 1- p，且各个发动机出故障是相互独立的。 如果有 50%以上的发动机能正常工作，飞机就平安无事。试求合适的，使得有 4 个发动机 的飞机比只有 2 个发动机的飞机更加可靠。 解：设 A = 4 个发动机的飞机正常工作 ， B = 2 个发动机的飞机正常工作 若 P （A ） P ( B ) . . ( 1 ) 则 P ( A ) = P4( 2 ) + P4 （3 ）+ P 4( 4 ) = C 2 4P 2 （1 - P ） 2 + C 3 4P 3 （1 - P ）+ C 4 4P 4 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网 P （B ）= P2（1 ）+ P2( 2 ) = C 1 2P ( 1 - P ) + C 2 2P 2 （1 - P ） 0 代入（1 ） ，解不等式得： P 2 / 3 1 0 . 某种子公司通过多次试验得知，某批西瓜种籽的发芽率为 95%，出售时将 10 粒装成一 包，并保证至少有 9 粒能够发芽，否则退赔，试计算出售的任意一包需要退赔的概率。 解：P = 1 - P1 0( 9 ) - P1 0( 1 0 ) = 1 - C 9 10( 9 5 % ） 9 （5 % ）- C 10 10（9 5 % ） 1 0 （5 % ） 0 = 0 . 0 8 6 1 1 . 如果因接受输血而发生不良反应的概率是 0.001，试计算 2000 人接受输血后，有 2 人发生不良反应的概率；至少有 2 人发生不良反应的概率。 解：= n p = 2 0 0 0 0 . 0 0 1 = 2 P2 0 0 0（2 ）= ! 2 2 e = ! 2 2 22 e = 2 2 e P = 1 - P2 0 0 0（0 ）- P2 0 0 0（1 ） = 1 - ! 0 0 e - ! 1 e = 1 - e 2 - 2 e 2 1 2 . 某保险公司预计，每一年因某种事故而死亡的客户占总数的 0.005%，试计算一年内 10000 个客户有三个以上需要理赔的概率。 解： = 0 . 0 0 5 %1 0 0 0 0 = 0 . 5 , P = 1 - P1 0 0 0( 0 ) - P1 0 0 0( 1 ) - P 10000( 2 ) = 1 - ! 0 0 e - ! 1 e - ! 2 2 e = 0 . 0 0 1 8 1 3 . 对某敌舰相互独立的炮击两次，每次发射一发炮弹，命中率分别是 0.6 和 0.7，敌舰中 一弹与中两弹而被击沉的概率分别是 0.6和 0.8，求炮击两次后敌舰被击沉的概率。 解：设 A i表示第 i 次命中， B 表示 击沉, 因为 Ai相互独立, 已知: P （A1）= 0 . 6 , P （A 2 ）= 0 . 7 , )( 21A ABP=