中南大学概率论习题第二章答案.pdf

第第 二二 章章 2.1 解： （1）是。 （2）0.7 +0.1 +0.11，所以它不是随机变量的分布列。 （3） 4 3 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 =+ + + + n ，所以它不是随机变量的 分布列。 （4）0 2 1 n ，n 为自然数，且 = n ok n 2 1 =1，所以它是某个随机变量 的分布列。 22 解： （1） 5 1 15 2 15 1 )21(=+=或P； （2） 5 1 )2() 1() 2 5 2 1 (=+= , 2 , 1,0 ! )(ke k kP k 。 由 =ee 2 2 ， 得0, 2 21 =（不 合要求） 。所以 22 4 3 2 ! 4 2 )4( =eeP 。 211 解：设为该种商品每月销售数，x为该种商品每月进货数，则999. 0)( xP 。 查普哇松分布的数值表，得16x。 212 解：设为时间内通过交叉路口的汽车数，则 ( ) , 2 , 1 , 0, ! )(= ke k t kP t k 时，2 . 0)0(= eP，所以5ln=。 时，5ln2=t，因而 ()()()83. 025/25ln24101) 1(=PPP 213 解：在指定的一页上出现某一个错误的概率 500 1 =p，因而，至少出现三个错误的 概率为： ()() kk k kk k k = = 500 2 0 500 500 500 3 500 500 499 500 1 1 500 499 500 1 利用普哇松定理求近似值，取1 500 1 500= np，于是上式右端等于 080301. 0 2 5 1 ! 1 1 1 2 0 = e e k k 214 解 ： 设 每 箱 至 少 装x+100个 产 品 ， 其 中 有k个 次 品 ， 则 要 求x， 使 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 () kxk x k x k + = + 100 0 100 97. 003. 09 . 0， 利用普哇松定理求近似值，取()303 . 0 100+=x，于是上式相当于 3 0 ! 3 9 . 0 = e k x k k ， 查普哇松分不数值表，得5=x。 215 解： mnm n m n m n pp mnm n n e mnPnP = = )1 ( )!( ! ! ! ),()( 00 ! n e n = ;, 2 , 1 , 0=n () () 0n 1 ()(,) ! ! () ,0,1,2,. ! n m n m nm mp p p e PmPnm nm m pe m m = = = 216 解： 1212 (,),0,1, , nnnnn klrkl Pklkr n r = 0,1, ,lr= 12 ().rnnnklr+ 1212 0 () r l nnnnn klrkl nPk r = = 111 212 0 r l nnnn nnnnkkrk nnlrkl rr = = 1 max0,(), .krnnr= PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 1212 0 () r k nnnnn klrkl nPl r = = 222 112 0 r k nnnn nnnnklrl nnkrkl rr = = 2 max0,(), .lrnnr= 217 解： 4! (,)0.5 0.3 0.2 , ! ! ! mnk Pmnk m n k = , ,0,1,2,3,4,4.m n kmnk=+= 4 4 ()0.5 0.5,0,1,2,3,4; mm Pmm m = 4 4 4 ()0.3 0.7,0,1,2,3,4; 4 ()0.2 0.8,0,1,2,3,4. mn mk Pnn n Pkk k = = 218 解： ( , ) (0,3) (1,1) (2,1) (3,3) P 1 8 3 8 3 8 1 8 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 1 3 P 3 4 1 4 219 证：设的分布列为 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 12 12 aa pp 由于(,)()()() iii PaaPaPaPa=对a及任意的 i a都成 立，所以和相互独立。 2.20 解： 的分布列为 的分布为 若与独立， 则 P （=1，=2） =P （=1） P （=2） ， 即 3 1（ 9 1 +） = 9 1 ， 所以= 9 2 ， 而+= 3 1 ，于是= 9 1 。 2.21 解：P(=1)=P(=0)P(=0)+P(=1)P(=1)=(1p) 2 +p 2 P(=0)=P(=0)P(=1)+P(=1)P(=0)=2p(1p) 而 P(=1, =1)=P(=1,=1)=p 2 ， 由 P(=1,=1)=P(=1)P(=1)得 p= 2 1 。 2.22 证：P（）=P（=1）P（=1）+P（=-1）P（=-1）= 2 1 P（）=P（=1）P（=-1）+P（=-1）P（=1）= 2 1 因为 P( =1, =1)=P(=1, =1)= 4 1 =P(=1)P(=1)， P(=1, =1)=P(=1, =1)= 4 1 =P(=1)P(=1), P(=1, =1)=P=1, =1)= 4 1 =P(=1)P(=1), P(=1, =1)=P(=1, =1)= 4 1 =P(=1)P=1) 所以与相互独立。同理与相互独立。 1 2 P 3 1 3 1 + 1 2 3 P 2 1 + 9 1 + 18 1 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 但是 P（()()()，因而），111111=P不相互独立。 2.23 证：设()() . 6 ,.,2 , 1, , =kkPkP qp kk 倘(),12,.,3 , 2( , 11 1 =+kkP 则 11 1 )2( 11 =+ qp P () 11 1 .7 10255201 =+=+ qpqpqpqp P () 11 1 12 66 =+ qp P 将（2）式减去（1）式，得：()., 0 16116 ppqpp 于是 同理. 16 qq 因此, 11 1 1166 = qpqp 与（3）式矛盾。 2.24 解： 2 2+ 3 2+ 3 2 P 4 1 2 1 4 1 -1 0 1 P 4 1 2 1 4 1 2.25 解：的分布列为 30 11 5 1 30 7 5 1 9410 2.26 解： 12 1 24 1 4 1 24 11 6 1 43210 : 2.27 解：(1) 设 n,r 都是自然数，若 nr,则 r n =0。 P（+=i）= = = i k kiPkP 0 )()( = qp n kk n k 1 1 qp n kinki ki + 2 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 = qp nn ii nn i + + 21 21 其中 q=1-p. i=0,1, nn 21+ 。 （2） 设为n1重贝努里试验中事件 A 发生的次数（在每次试验中,P(A)=p, 为 n2 重 贝努里试验中事件 A 发生的次数(在每次试验中,P(A)=p),而与相互独立,所以 +为 n1+n2 重贝努里试验中事件 A 发生的次数,因而 P(=+)= + k nn21 p kqn1+n2-k,k=0,1,n1+n2。 2.28 解: P( +=n) = = = 1 1 )()( n k knpkP = kn n k k = 2 1 2 1 1 1 = = 1 12 1 n k n = n n 2 1 n=2,3,. 2.29 解:E= 5 1 (1+2+3+4+5)=3 E 5 1 2 =(1 2+22+32+42+52)=11 E() 2 2+= E 2 +4 E+4=27 2.30 解: E= = 12k k k = 1 1 2 1 2 1 = k k k =2 6 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 = = = k kk k k k E ()2 2 2 =EED 2.31 解:() = = 11 1 2 1 . 2 1 k k k k k kk 因为级数 = 1 1 k k 发散,所以 没有数学期望. 2.32 解:设 1 , 32, 分别表示用甲组,乙组,丙组砝码称重时所用的砝码数,则有: 物品重量 12 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 于是, (), 8 . 11332212211 10 1 1 =+=E (), 7 . 11332221111 10 1 2 =+=E ()。21432213211 10 1 3 =+=E 所以,用乙组砝码称重时所用的平均砝码数最少. 2.33解 ： 设 场 地 面 积 为S 2 m， 边 长 的 误 差 为， 则()2500+= S， 且 ()18605 . 0 3008 . 0 2016 . 0 102, 0 2222 =+=EE 所以()(250186250000100500 22 2 2 mEEEES=+=+= 2.34 证：令 = 架仪器未发生故障第 架以器发生故障第 i i i 0 1 ，i=1,2，3， i 为发生故障的仪器数，则 321 += , 3 , 2 , 1,)(PE ii =ipi所以 321321 pppEEEE+=+=. 2.35解：设q=1-p， = 为偶数 为奇数 nn nn m 1 ，因为 () nnnn n pqp n pq n qqp+ + +=+= 221 21 1 ()() n n n nn n ppq n pq n qpq1 21 2 21 + + = ， 上面两式两边分别相减得() 1(2 1 21 1 = + = Pqp m n pq n pq mnmn n ， 所以 2 )21 (1 ) 1( n p P =，因而 2 )21 (1 ) 1( n p PE = 。 2.36 解：设为试用过的钥匙数。 （1）nk nknkn kn n n n n kP, 2 , 1, 1 1 1 2 1 1 21 )(= + + + = 又, 6 ) 12)(1(1 , 2 11 1 22 1 + = + = = nn n kE n n kE n k n k PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 所以 12 1 )( 2 22 = n EED。 （2）, 2 , 1, 11 )( 1 = = k nn n kP k 又,2 1 1 , 1 1 2 1 1 22 1 1 nn nn n kEn nn n kE k k k k = = = = = 所以() 1( 2 2 =nnEED 2.37 解：设 = 个产品为合格品第 个产品为不合格品第 i i i 0 1 ，i=1,2,，150，则 i 的分布列为 15 14 15 1 01 ，因而150, 2 , 1, 15 1 =iE i 。 设为查到的不合格品数，则 = = 150 1i i ，所以10 150 1 = =I I EE 2.38 解：设为所选的两个数字之差的绝对值,则 P(=k)= + + 2 1 1 n kn ,k=1,2,n 于是 E= = n k k 1 + + 2 1 1 n kn = ) 1( 2 +nn () = + n k kkn 1 2 1= 3 2+n . 2.39 解：设 k = 个位置上不在第数字 个位置上出现在第数字 kk kk 0 1 则 k 的分布列为： nn 1 1 1 01 于是 E k =P( k =1)= n 1 ,设匹配数为，则= = n k k 1 ，因而 E k =E = n k k 1 =1。 2.40 证： （1）由于 E= =0n nP=n存在，所以该级数绝对收敛。从而 E= = 1n Pn PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 =n=() = = 11n n i nP = = =11in P=n=() = 1i iP 。 （2）D存在，所以级数 E 2 = =0 2 n Pn=n也绝对收敛，从而 D=E 2 +EE （E+1）= = + 1 ) 1( n nnP=nE（E+1）=2() = = 11n n i nPiE （E+1）=2 = = 11in Pi=nE（E+1）=2 = 1i PiiE （E+1） 。 2.41 解：设成功与失败均出现时的试验次数为，则 P（1）=1 ，P（n）= 11 + nn qp,n=2,3, （q=1-p） 利用上题的结论， EP（1）+ =2n Pn=1+() = + 2 11 n nn qp p p 1 q q 1 )1 ( 1 2 pp pp + 2.42 解： （1） 若摸球是不返回的，则 P( =k)= mn n + 1 1 + nm n 1 1 + + knm kn knm m + k=0,1,n 所以 E= + + )(1).(1)( ) 1).(1( knmknmnmnm mknnkn = 1+m m 。 （2） 若摸球是返回的，则 P（=k）=)( nm n k + nm m + , k=0,1,2. 所以 E= nm m k k k nm n + + =0 )( = m n .k=0，1，2，. 2.43 解：设每批件产品，则的分布列为： 1 2k 0 n PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 P P pq 1k pp. 010nn qpq+ (q=1-p) 因而E =p+2pq+kp 1k q+)( 00 1 0 nn qpqn+ =p(1+2q+k 10 0 1 . + n qnq k )= p p qn p pqnq n n nn 0 0 00 )1 (11 0 0 =+ 2.44 解：设第 i-1 个不合格品出现后到第 i 个不合格品出现时的产品数为 i ， i=1,2,k。有设在两次检修之间产品总数为，则= = k i i 1 。 诸 i 独立同分布，P（j i =）= 1j qp,j=1,2,(q=1-p)由此得： E i = = k j j pjq 1 1 = p 1 ,E =pqj j i 122 = 2 2 p p , D i = 22 )( ii EE= 2 1 p p 。 所以， E= = k i i E 1 = p k ，D= 2 1 )1 ( p pk D k i i = = 。 2.45 解：设 i =1 第 i 次试验中事件 A 出现 0 第 i 次试验中事件 A 不出现 则诸相互独立且具有分布 1 0 p i p 1- i p (i=1,2,n) 于是 E i = i p， D i =)1 ( ii pp = = n i i 1 ，因而 D= = 1 )1 ( i ii pp。 在pp n n i i = =1 1 时 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 D= = = n i n i ii n i i pppnppp 11 2 2 1 )()1 ( 所以当且仅当ppi=时 D最大 2.46 证： () () () ()()() () () ()()2 2 2 2 222 2 2 222 22 22 2 22 EDDEDD DEDE EEEEEEEE EEEE EED += += += = =）（ 2.47 解： （1）P（=i/=k）= 10 1 i=0，1，9。 （2） 9 1 )/(=kiP i=0，1，9，ik， P（=k/=k）=0。 2.48 解： （1）P（=k/=0）= = = = = = 3 , 2 , 1, 3 1 0, 0 )0( )0,( k k P kP （2）P（=k/=2）= = = = = = = = 5, 25 6 4 , 3 , 2, 5 1 1, 25 3