天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解.pdf

23 第第三三章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点),(YX落在矩形域, 2121 yyyxxx的概率为 ),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF. 2、),(YX的分布函数为),(yxF，则),(yF 0 . 3、),(YX的分布函数为),(yxF，则), 0(yxF),(yxF 4、),(YX的分布函数为),(yxF，则),(xF)(xFX 5、设随机变量),(YX的概率密度为 其它0 42, 20)6( ),( yxyxk yxf，则k 8 1 . 6、随机变量),(YX的分布如下，写出其边缘分布. 7、 设),(yxf是YX,的联合分布密度，)(xfX是X的边缘分布密度， 则 )(xf X 1 . 8、二维正态随机变量),(YX，X和Y相互独立的充要条件是参数 0 . X Y 0 1 2 3 j P 1 0 8 3 8 3 0 8 6 3 8 1 0 0 8 1 8 2 i P 8 1 8 3 8 3 8 1 24 9、如果随机变量),(YX的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 6 1 9 1 18 1 2 3 1 则,应满足的条件是 ；若X与Y相互独立，则 18 4 ， 18 2 . 10、设YX,相互独立，) 1 . 0(),1 , 0(NYNX，则),(YX的联合概率密度 ),(yxf 2 22 2 1 yx e ，YXZ的概率密度)(ZfZ 4 2 22 1 x e . 12、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 yx yxyx A yxF 0 0, 0 1 1 1 1 1 1 , 222 则 A =_1_。 二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字 1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X，第二次取的球上标的数字Y，求),(YX的联合分布律. 解：0 3 1 1, 1YXP 3 1 1 3 1 2, 1YXP 3 1 2 1 3 2 1, 2YXP 3 1 2 1 3 2 2, 2YXP 2、三封信随机地投入编号为 1,2,3 的三个信箱中，设X为投入 1 号信箱的信数，Y为投入 2 号信箱的信数，求),(YX的联合分布律. 解：X的可能取值为 0,1,2,3 Y的可能取值为 0,1,2,3 3 3 1 0, 0YXP 3 3 3 1, 0YXP 33 2 3 3 3 3 2, 0 C YXP X Y 1 2 1 0 3 1 2 3 1 3 1 25 3 3 1 3, 0YXP 3 3 3 0, 1YXP 3 3 23 1, 1 YXP 3 3 13 2, 1 YXP 03, 1YXP 3 2 3 3 0, 2 C YXP 3 3 3 1, 2YXP 02, 2YXP 03, 2YXP 3 3 1 0, 3YXP 03, 32, 31, 3YXPYXPYXP X Y 0 1 2 3 0 27 1 27 3 27 3 27 1 1 27 3 27 6 27 3 0 2 27 3 27 3 0 0 3 27 1 0 0 0 3、设 函 数 F(x , y) = 120 121 yx yx ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。 解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 2， 0 1= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0) = 111 + 0 = 1 0 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。 4、设 0 1)(, 0)(dxxgxg且，有 其它,0 ,0, )(2 ),( 22 22 yx yx yxg yxf 证明：),(yxf可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。 证明：易验证),(yxf0，又 dxdyyxf),(dxdy yx yxg 0022 22 )(2 0 2 00 1)( )(2 drrgrdr r rg d 符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。 26 5、在 0, 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求0)cos(YXP的值。 解： 其它, 0 ,0, 1 ),( 2 yx yxf，0)cos(YXP 4 3 ) 2 3 2 YXP 6、设随机变量),(YX的密度函数为 其它0 0, 0 ),( )43( yxke yxf yx (1)确定常数k (2)求),(YX的分布函数 (3)求20, 10YXP 解：(1) 00 )43( 1dxekdy yx 00 0 3 0 434 12 3 1 4 1 k eekdxedyek xyxy 12k (2) yx yxvu eedudveyxF 00 43)43( )1)(1 ( 12 1 1212),( )1)(1 ( 43yx ee 0, 0yx 0),(yxF (3)2 , 0()0 , 1 ()0 , 0()2 , 1 (20, 10FFFFYXP 95021. 00)1)(1 ( 83 ee 7、设随机变量),(YX的概率密度为 其它0 20, 103/ ),( 2 yxxyx yxf 求1YXP 解： 1 1 0 2 1 2 ) 3 (),(1 yx x dy xy xdxdxdyyxfYXP 1 0 32 72 65 ) 6 5 3 4 2 (dxxx x 8、设随机变量),(YX在矩形区域,| ),(dycbxayxD内服从均匀分布， (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量YX,是否独立？ 27 解：(1)根据题意可设),(YX的概率密度为 其它0 , ),( dycbxaM yxf b a d c cdabMdydxMdxdyyxf)(),(1 于是 )( 1 cdab M ，故 其它0 ,)(/(1 ),( dycbxacdab yxf d c X abcdab dy dyyxfxf 1 )( ),()( 即 其它0 1 )( bxa abxfX b a Y cdcdab dx dxyxfyf 1 )( ),()( 即 其它0 )/(1 )( dyccd yfY (2)因为)()(),(yfxfyxf YX ，故X与Y是相互独立的. 9、随机变量),(YX的分布函数为 其它,0 0, 0,3331 ),( yx yxF yxyx 求： （1）边缘密度； （2）验证 X,Y 是否独立。 解： （1）)33(3ln),( yxx xyxF ，,33ln),( 22yx yxyxF 0, 0yx. 其它0 0, 033ln ),( 2 yx yxf yx 28 其它0 033ln33ln )( 2 0 xdy xf xyx X , 其它0 0,33ln33ln )y( 2 0 ydx f yyx Y (2) 因为)()(),(yfxfyxf YX ，故X与Y是相互独立的. 10、一电子器件包含两部分，分别以YX,记这两部分的寿命(以小时记)，设),(YX的分布函 数为 其它0 0, 01 ),( )(01. 001. 001. 0 yxeee yxF yxyx (1)问X和Y是否相互独立？ (2)并求120,120YXP 解：(1) 00 01 ),()( 01. 0 x xe xFxF x X 00 01 ),()( 01. 0 y ye yFyF y Y 易证),()()(yxFyFxF YX ，故YX,相互独立. (2)由(1)YX,相互独立 1201 1201 120120120,120YPXPYPXPYXP 091. 0)120(1)120(1 42 eFF YX 11、设 随 机 变 量 ( , )的 分 布 函 数 为 F x yA Barctg x Carctg y ( , )()() 23 求：( 1 ) 系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) ( , )的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。 解：( 1 ) FA BC(,)()() 22 1 FA BC(,)()() 22 0 FA BC(,)()() 22 0 由 此 解 得 ABC 1 2 2 , 29 ( 2 ) ( , ) ()() x y xy 6 49 222 12、设),(YX相互独立且分别具有下列表格所定的分布律 试写出),(YX的联合分布律. 解： X Y 2 1 0 2 1 2 1 8 1 6 1 24 1 6 1 1 16 1 12 1 48 1 12 1 3 16 1 12 1 48 1 12 1 13、设YX,相互独立，且各自的分布律如下： 求YXZ的分布律. 解：, 2 , 1 , 0kPkXP k , 2 , 1 , 0 qYP YXZ的分布律为, 2 , 1 , 0 iqPiZP kik Z的全部取值为 2,3,4 4 1 2 1 2 1 111, 12YPXPYXPZP 1, 22, 13YXPYXPZP Y 2 1 1 3 k P 2 1 4 1 4 1 X 2 1 0 2 1 k P 4 1 3 1 12 1 3 1 X 1 2 k P 2 1 2 1 Y 1 2 k P 2 1 2 1 30 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1221YPXPYPXP 4 1 2 1 2 1 222, 24YPXPYXPZP 14、 X,Y 相互独立，其分布密度函数各自为 00 0 2 1 )( 2 1 x xe xf x X 00 0 3 1 )( 3 y ye yf y Y 求YXZ的密度函