吉本斯-博弈论基础答案.pdf

Gibbons 博 弈 论 基 础博 弈 论 基 础 习 题 解 答习 题 解 答 （ （ CENET） ） 第 一 章第 一 章 猪 头 非 整 理猪 头 非 整 理 1 1.1 略 略 1.2 不 会 被 重 复 剔 除 严 格 劣 战 略 剔 除 的 战 略 是不 会 被 重 复 剔 除 严 格 劣 战 略 剔 除 的 战 略 是 ： ： T, M, L, R； ； 纯 战 略 纳 什 均 衡 是纯 战 略 纳 什 均 衡 是 (T, R)和 和 (M, L)。 。 1.3 设 此 博 弈 的 纯 战 略 纳 什 均 衡 是设 此 博 弈 的 纯 战 略 纳 什 均 衡 是 （ （ * 1 s, * 2 s） ）。 。 对 于 参 与 人对 于 参 与 人 1 来 说来 说 ， ， * 1221 * 11122 0111 max max, maxmax1,01 ssss sssss ，SB+会增加，会增加， 2( )USB+会增加，因为（会增加，因为（*）式，）式， 2( )USB+增加的幅度比增加的幅度比 11 ()U IS减小的幅度大，所以减小的幅度大，所以 孩子的收益效用增大了，同时家长的收益效用也增大了。孩子的收益效用增大了，同时家长的收益效用也增大了。 2.3 根据根据Shaked和和Sutton的研究发现，我们可以把无限博弈截开（见的研究发现，我们可以把无限博弈截开（见Gibbons教材教材55页） ，首先分页） ，首先分 析前三阶段：析前三阶段： 假设在第三阶段参与人假设在第三阶段参与人1提出提出S，参与人，参与人2接受接受1- S，则解决方案为（，则解决方案为（S，1- S） 。） 。 则在第二阶段则在第二阶段2提出不少于提出不少于 1S 给参与人给参与人1，1就会接受，解决方案就会接受，解决方案 11 (,1)SS。 则在第一阶段参与人则在第一阶段参与人1提出不少于提出不少于 21 (1)S 给参与人给参与人2，2就会接受，就会接受， 解决方案为（解决方案为（ 21 1(1)S， 21 (1)S） 推广到无限期，从第一阶段开始的博弈和从第三阶段的博弈是一样的，推广到无限期，从第一阶段开始的博弈和从第三阶段的博弈是一样的， 所以解：所以解： 21 1(1)S=S 得出得出 212 (1)/(1)S = 解决方案：解决方案：() 2122212 (1)/(1),(1)/(1) 2.4，2.5略略 2.6 采用逆向归纳法：采用逆向归纳法： Gibbons博弈论基础第二章习题解答（部分） 仅供参考！ ！ E- mail: - 2 - （1）在第二阶段企业）在第二阶段企业2和企业和企业3决策：决策： () 22321 0 2 0 22 cqqqqqaMaxMax qq = () 33321 0 3 0 33 cqqqqqaMaxMax qq = 得反应函数得反应函数 = = 3 3 1 3 1 2 qca q qca q （2）第第一阶一阶段企业段企业1的的决策决策： () 11321 cqqqqqaMax 0 1 1 = q 将将 3 1 32 qca qq =代代入得入得 2 1 ca q = 6 32 ca qq = 2.7 采用逆向归纳法采用逆向归纳法 （1）第第一阶一阶段段，企业企业最大化最大化其其收益：收益： 1 )( 1 2 1 02 1 1 1 + = + = = = =+= = n wan L n wa L LL LwaL LwaLLwLa L wLaL i n ij ji ij jii n j i i n jii （2）第二第二阶阶段段，工工会最大化会最大化其其收益收益 21 )( )()( * waa w n wan wawLwawMax w + = + 所以所以企业企业数数量不影响工量不影响工会效用。会效用。 2.8，2.9略略 2.10 思路思路：逐个分析上述逐个分析上述的的四种情形四种情形： 第第一一种情形种情形，第第一阶一阶段段选择选择Qi，第二第二阶阶段段选择选择Pi，即，即双方均双方均采采取合作取合作的的策略策略，得益，得益均均为为6； Gibbons博弈论基础第二章习题解答（部分） 仅供参考！ ！ E- mail: - 3 - 第二种情形和第三种情形下，实际上有一方是采取了不合作，其得益为第二种情形和第三种情形下，实际上有一方是采取了不合作，其得益为x，另一方即利益受损，另一方即利益受损 方得益为方得益为2； 第四种情形实际上是双方都不采取合作的策略，而根据题目要求，对于第四种情形实际上是双方都不采取合作的策略，而根据题目要求，对于x，下述战略是一个子，下述战略是一个子 博弈精炼纳什均衡，所以博弈精炼纳什均衡，所以x必须小于双方均合作时的收益必须小于双方均合作时的收益6，否则第一种情形不会出现，因为既，否则第一种情形不会出现，因为既 然然x6了，双方均会选择不合作而使情形一不会出现。了，双方均会选择不合作而使情形一不会出现。 由题目先前给定的条件由题目先前给定的条件x 2 () /4ac，得，得到到： 1/2 （可（可参见参见谢识谢识予的予的经济经济博弈博弈论习论习题解题解答答） 。） 。 2.14 略略 2.15 （1）垄断垄断的的产产量量、价、价格格、利利润润： =Q(a- Q)- CQ 利利润润最大化时：最大化时：a- 2Q=C，从而从而 Q=(a- c)/2. 此时此时价价格为格为(a- c)/2。 （2）古诺古诺均衡下均衡下的的产产量量、价、价格格、利利润润： =(a- qi) qi - cqi )3 , 2 , 1( 1 0 ni n ca q cqqa q i ii i i = + = = Gibbons博弈论基础第二章习题解答（部分） 仅供参考！ ！ E- mail: - 4 - 价格为价格为. 11 )( + + = + = n anc n can aP 利利润润为为 2 1111 + = + + + + = n ca n ca c n ca n anc i 企业企业违背垄断产违背垄断产量量时的时的各各期利期利润润： () n cnan pca n n q cqq n can a q cqqqca n n a i ji i i iiii 4 ) 13() 1( ),( 4 1 0 2 )(1( 2 1 + = + = = = = 利利润润为为 2 2 2 )( 16 ) 1( ca n n + 要使企业不要使企业不违背产违背产量量，须须满足：满足： + + + + + + n ca n ca n ca n n 4 )( 4 )( ) 1( )( 16 ) 1( 2 2 2 2 2 2 2 解之解之得：得： 2 22 16) 1( ) 1(4) 1( nn nnn + + (0 Gibbons博弈论基础第三章习题解答（部分） 仅供参考！ ！ E- mail: - 1 - 3.1 略 3.2 在市场需求为高时，企业 1 的最优策略为： 121 max() HHH aqqcq-（1） 推出 2 1 2 H H aqc q =-（2） 在市场需求为低时，企业 1 的最优策略为： 121 max() LLL aqqcq -（3） 推出 2 1 2 L L aqc q = -（4） 企业 2 的最优策略为： 122122 max ()(1)() HHLL aqqcqaqqcq+-（5） 由一阶条件的得： 11 2 ()(1)() * 2 HHLL aqaqc q + =-（6） （6）与（2） ， （4）联立： 1 (3)(1)2 * 6 HL H aac q = 1 (2)2 * 6 LH L aac q + = 2 (1) * 3 HL aac q + = 结论：企业 1 战略 11 (*,*) HL qq，企业 2 战略 2* q为贝叶斯纳什均衡。 3.3 行动空间：0，a） 类型：, HL bb 推断：(/),(/)1 HLLL P bbP bb= (/), (/)1 HHLH P bbP bb= 效用函数： 企业 i max ()()(1)()() iiHjHiiHjL pc apb ppc apb p+ max ()()(1)()() iiLjHiiLjL pc apb ppc apb p+ 企业 j max ()()(1)()() jjHiHjjHiL pc apb ppc apb p+ max ()()(1)()() jjLiHjjLiL pc apb ppc apb p+ 求解一阶条件 Gibbons博弈论基础第三章习题解答（部分） 仅供参考！ ！ E- mail: - 2 - 得 2(1)() * 22(1) LH jHiH HL bba pp bb + = + 3.4 （1） （B，L） （2） 参与者 1 在左边博弈时选 T，右边博弈时选 B； 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率2/3，参与者 2 选 L 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=2/3，参与者 2 选 L 和选 R 无差异 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率2/3，参与者 2 选 L 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率=2/3，参与者 2 选 L 和选 R 无差异 如果参与者推断自然选择左边博弈的概率时，参与者 1 选正面；当 p tp时，参与者 2 选择反面 因此，参与者 1 选择正面的概率为 xc x ，选背面的概率为 c x ； 参与者 2 选择正面的概率为 p x ，选背面的概率为 xp x 。 对于参与者 1，若选正面的收益大于选择反面，则： (1)( 1) c xppxpp t xxxx + + = 2 2 c p tc xp = -(1) 对于参与者 2，若选反面的收益大于选择正面，则： (1)( 1) p xccxcc t xxxx + + = 2 2 p c tp xc = -(2) (1) 与（2）联立， cp=带入（1） 1+ c t, -1 -1, 1+ p t -1, 1 1, -1 Gibbons博弈论基础第三章习题解答（部分） 仅供参考！ ！ E- mail: - 3 - 2 2 2 22 2 2 2 2 2 222 (4)20 416 2 24161416 222 4161111 222416 416 1 416416 0,1,0 2 1 2 1 ,0, 2 cxccxc cx cx xx c xcxxxx xxx x x x xx x x x xxx xc x xp pcx x += += + = + =+ + = + + + + = 其中， 3.6 由于 Game 中各方地位对称，取第 i 个人进行分析 假设其他所有人的策略都是 (1) , j j v n bji n = 则对于第 i 个人，效用最大化： 111 111 max() Pr() . Pr() Pr(). Pr() (1) , 1 0,1 (1) Pr() max() Pr() . Pr() Pr(). Pr() max( iiiiiin i ijjj j i ij iiiiiin i vbbbbbbibbib b nn ji bbvv nn v b n bb n vbbbb