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1 概率论与数理统计复习题概率论与数理统计复习题 一：全概率公式和贝叶斯公式一：全概率公式和贝叶斯公式 例：例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为 3：2：1， 各车间产品的不合格率依次为 8，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件， 求： （1）取到不合格产品的概率； （2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。 （类似题目类似题目：同步同步 42 页四、页四、1，同步 44 页三、1，同步 45 页三、1） 解：设 A1，A2，A3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B 表示产品不合格， 则 A1，A2，A3 为一个完备事件组完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| | A1)0.08，P(B| | A2)0.09，P(B| | A3)0.12。 由全概率公式全概率公式 P(B)= P(BA1+ BA2+ BA3)= P(BA1)+ P( BA2)+ P( BA3) = P(A1)P(B| | A1)+ P(A2)P(B| | A2)+ P(A3)P(B| | A3)=0.09 由贝叶斯公式贝叶斯公式：P(A1| | B)P(A1B)/P(B)=4/9 练习：练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装 50 件，有 10 件一等品，第二箱装 30 件，有 18 件一等品，先从两箱中任挑一箱任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取 2 个任取 2 个 零件零件，求： （同步同步 28 页三、页三、5） （1）先取出先取出的零件是一等品的概率； （2）在先取的是一等品的条件下条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件 i A =从第i箱取的零件， i B =第i次取的零件是一等品 （1）P( 1 B)=P( 1 A)P( 1 B| 1 A)+P( 2 A)P( 1 B| 2 A)= 5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 ? （2）P( 1 B 2 B)=194. 0 2 1 2 1 2 30 2 18 2 50 2 10 ? C C C C ,则 P( 2 B| 1 B)= )( )( 1 21 BP BBP =0.485 练习：练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂 家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2， 2，4 。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产 的概率是多少？ 【 0.4 】 2 二、连续型随机变量的综合题二、连续型随机变量的综合题 例：例：设随机变量X的概率密度函数为 2 02 ( ) 0 kxx f x others ? ? ? 求： （1）常数k； （2）EX；(3)P196)=1-P(X ?96)=1-?( ? 24 )=0.023, 即? ( ? 24 )=0.977,查表得 ? 24 =2，则? =12，即且XN(72,144)， 故P(60?X?84)=P(-1? 12 72?X ?1)=2?(1)-1=0.682 十一、区间估计十一、区间估计 总总体X服从正态分布N(,2), X1,X2,Xn为X的一个样本 1：2已知已知,求的置信度为求的置信度为 1-置信区间置信区间 22 (,)XuXu nn ? ? ? 12 2：2未知未知,求的置信度为求的置信度为 1-置信区间置信区间 3：求求2置信度为置信度为 1-的置信区间的置信区间 例：例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班某班中随机抽查10名女生，测 得数据经计算如下：43.18,67.162 2 ?sx 。求该校女生平均身高的95的置信 区间。 解： ) 1(? ? ?nt nS uX T,由样本数据得05. 0,43.18,67.162,10 2 ?sxn 查 表 得 ：t0.05(?)=2.2622,故 平 均 身 高 的95 的 置 信 区 间 为 )74.165,60.159()9(,)9( 05. 005. 0 ? n s tx n s tx 练习：练习：从总体X服从正态分布N(，2)中抽取容量为10的一个样本，样本方 差S20.07,试求总体方差2的置信度为0.95的置信区间。 （同步同步49页四、页四、1） 解：因为 ) 1( ) 1( 2 2 2 ? ? n Sn ? ? ,所以 2 ?的 95%的置信区间为: ) ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( ( 2 1 2 2 2 22 ? ? ? ? ? n Sn n Sn ? ? , 其中S 20.07, 70. 2)9() 1(,023.19)9() 1( 2 975. 0 2 1 2 025. 0 2 22 ? ? ? ? nn ,所以 ) ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( ( 2 1 2 2 2 22 ? ? ? ? ? n Sn n Sn ? ? = ) 70. 2 07. 09 , 023.19 07. 09 ( ? =（0.033,0.233） (1),(1) SS XtnXtn nn ? ? 22 22 1 22 (1)(1) (,) (1)(1) nSnS nn ? ? ? ? ? 13 十二、假设检验十二、假设检验 1 已知方差已知方差2,关于期望关于期望的假设检验的假设检验 2 未知方差未知方差2,关于期望关于期望的假设检验的假设检验 3 未知期望未知期望,关于方差关于方差2的假设检验的假设检验 例：例： 已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉 铁水，含碳量平均数445. 4?x，样本方差S 20.0169。若总体方差没有变化， 即20.121，问总体均值有无显著变化？（0.05） 解：原假设H0：4.55 统计量 9/11. 0 55. 4? ? x U ，当H0成立时，U服从N（0，1） 对于0.05，U0.05=1.96 96. 186. 2 9/11. 0 55. 4445. 4 ? ? ?U 故拒绝原假设，即认为总体均值有显著变化 练习：练习： 某厂生产某种零件， 在正常生产的情况下， 这种零件的轴长服从正态分布， 均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得146. 0?x 厘米，S=0.016厘米。 问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？ （0.05） 【答案： 不一样不一样 】 练习：练习：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度Xkg/cm2服从正态分布)40,( 2 ?N. 从 中选取一个容量为9的样本, 得780?X kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂 强度为800 kg/cm2 (05. 0?). 0 0 0 (0,1)() / X UN n ? ? ? ? ?为已知 0 (1) / X Tt n Sn ? ? 2 22 2 0 (1) (1) nS n? ? ? ? 14 解： H0：u=800. 采用统计量U= n uX ? 0 ? 其中=40, u0=800, n=9, |U |=5 . 1| 9 40 800780 |? ? ,查标准正态分布表得 2 ? U=1.96 | U | 2 ? U, 应接受原假设,即可以认