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福建农林大学考试试卷福建农林大学考试试卷 样卷样卷 参考答案参考答案 200X 200X 学年第 X 学期 课程名称： 有限元法有限元法 考试时间 120 分钟 专业 年级 班 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总得分 得分 评卷人 得分 一、名词解释（每小题 4 分，共 20 分） 1、有限元法 有限元法是一种把复杂的结构看成由有限个单元组成的整体的一种近似数值计算 方法。它以有限个结点位移和结点力来表示结构的变形状态和内力状态，用结点位 移表示外力，建立以结点位移为未知数的平衡方程，求解结点位移，再求应变和应 力等。 有限元法是一种把复杂的结构看成由有限个单元组成的整体的一种近似数值计算 方法。它以有限个结点位移和结点力来表示结构的变形状态和内力状态，用结点位 移表示外力，建立以结点位移为未知数的平衡方程，求解结点位移，再求应变和应 力等。 2、离散化 将分析的结构划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，把相邻的单元 体在结点处连接起来，组成单元的集合体。 将分析的结构划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，把相邻的单元 体在结点处连接起来，组成单元的集合体。 3、完备单元 位移模式满足以下两个条件的单元： （1）位移模式必须包含单元的刚体位移（2） 位移模式必须能包含单元的常应变。 位移模式满足以下两个条件的单元： （1）位移模式必须包含单元的刚体位移（2） 位移模式必须能包含单元的常应变。 试卷第 1 页 （共 10 页） 4、两单元平均法 4、两单元平均法 把环绕某一结点的各单元常应力加以平均，用以表示该结点的应力。 把环绕某一结点的各单元常应力加以平均，用以表示该结点的应力。 5、位移模式 假定单元内任一点的位移是其坐标的某种（简单）函数。即单元内各点位移可以由 单元结点位移插值得出。选择位移模式，实质上是用什么样的位移函数去近似的描 述实际位移的变化规律。 假定单元内任一点的位移是其坐标的某种（简单）函数。即单元内各点位移可以由 单元结点位移插值得出。选择位移模式，实质上是用什么样的位移函数去近似的描 述实际位移的变化规律。 得分 二、 （本题满分 20 分） 二、 一平面桁架及其结点和单元的编号如图 1， 各杆截面积均为 A， 弹性模量均为 E， 杆和杆的长度为 L。求： （1）各杆在单元坐标系下的刚度矩阵 ，并请标出 各单元坐标系； （2）杆和杆在整体坐标系下的刚度矩阵 e k e k。 Py3 3 Px3 y O x 1 2 图 1 试卷第 2 页 （共 10 页） 解： （1） y 1 2 x 对于单元，i=1，j=2,0= ? 单元刚度矩阵为 （3 分） x 3 对于单元，i=1，j=3, 45= ? 单元刚度矩阵为 （4 分） y 1 x 3 对于单元，i=2，j=3, 90= ? 单元刚度矩阵为 （3 分） 2 y 注：标出各单元坐标系各得 1 分 00 00 0000 e EAEA LL K EAEA LL 0000 = 22 00 22 0000 22 00 22 0000 e EAEA LL K EAEA LL = 00 0000 00 0000 e EAEA LL K EAEA LL = 试卷第 3 页 （共 10 页） （2）整体坐标系下的单元刚度矩阵 22 00 cossin00cossin00 sincos000000sincos00 00cossin00cossin 00 00sincos00sincos 0000 cossincoscossi e Te KTKT EAEA ll EAEA ll EAEAEAEA llll = = = 22 22 22 ncos sincossinsincossin cossincoscossincos sincossinsincossin EAEAEAEA llll EAEAEAEA llll EAEAEAEA llll 对于单元 （3 分） （ 对于单元 4 分） 00 0000 00 0000 e EAEA LL K EA LL EA = 2 e EAEAEAEA LLLL EAEAEAEA LLLL K EAEAEAEA LLLL EAEAEAEA LLLL = 4 试卷第 4 页 （共 10 页） 得分 三、 （本题满分 6 分） 三、图 2 为一空间刚架等截面直梁单元，结点为 i、j, 参考点为 k，k 位于水平面 内。要求： （1）画出 y、z 轴； （2）写出各结点位移和对应的结点力列阵。 j （1）如图所示（3 分） k i y 图2 z （2）结点位移列阵： （3分） 结点力列阵： 得分 四、 （本题满分 11 分） 四、平面三结点三角形单元的结点为i、j、m。单元内任意一点的位移与结点位移 之间的关系如下：。 已知u = m m j j i i mji mji v u v u v u NNN NNN v u 000 000i=1.610-2mm，uj=2.110-2mm, T zjyjxjjjjziyixii wv),(= ii e wvuu, T zjyjxjjjjziyixiiii e MMMWVUMMMWVUF),(= 试卷第 5 页 （共 10 页） um=1.910-2mm, vi=vj=vm=0, xi=1.110-2，Pa i 400=。要求： （1）写出Nj与x、y 的关系式； （2）写出aj、bj、cj与结点坐标的关系式； （2）说明uj、vm和xi的意义； （3）求xj和xm； （4）求 j 。 （1） （2分） () jjjj （2） （3分） /2b xc y=+ m yx y y cxx = = = Na jmii jmi jim ax by （3）uj j结点在X方向的位移 vm m结点在Y方向的位移 （3分） xi i结点在X方向的应变 （4）xjxm1.110-2 （2分） （5） j =400Pa （1分） 试卷第 6 页 （共 10 页） 得分 五、 （本题满分 11 分） 五、 （1）有限元法用于解决工程问题会产生误差吗？如果会，请分析误差可能由哪 些原因引起? （2）检验计算结果有哪些方法？ （3）检验结构应力计算结果的先后次序如何？为什么？ （1）会。 （1 分） 四类误差来源： （4 分） 理论模型本身误差 建模误差 方程组求解过程的误差 有限元计算机软件系统的编程误差 （2）检验有限元计算结果方法： （3分） 与解析解的比较 实验验证 与他人结果的比较 （3）先检查位移，后检查应力。 （1 分） 因为：有限元法建立的是以结点位移为未知数的代数方程组，所以首先得出的是位 移，而应力是由结点位移求得的。 （2 分） 试卷第 7 页 （共 10 页） 得分 六、 （本题满分 11 分） 六、（1） 写出双线性位移模式， 并指出反映刚体位移和常量应变的系数分别是哪个？ （2）写出平面三结点三角形单元的位移模式，它和平面矩形单元相比哪个精度 高？ （3）对平面矩形单元任意两相邻单元在公共边界上的位移和应变、应力是否连 续？为什么？ （1） xyyxv xyyxu 8765 4321 += += 反映刚体位移的系数：1、5，反映常量应变的系数：2、3、6、7 （4 分） （2） yxv yxu 654 321 += += 平面矩形单元精度高。 （3 分） （3）位移连续；而应变、应力不连续。 （2分） 在单元的边界上位移分量是按线性变化的， （固定x，它是y的线性函数；固定y, 它是x的线性函数） ，故称为双线性位移模式，又因为任意两个相邻单元在公共边 界的两结点位移相同，所以在公共边界上的位移是连续的，满足协调性条件。 而矩形单元在位移模式中包含xy项，因此B和S矩阵中的元素不再是常量，在单 元范围内是呈线性变化的应力场，所以在不同单元的公共边界应力与应变仍是不连 续的。 （2分） 试卷第 8 页 （共 10 页） 得分 七、 （本题满分 11 分） 七、一平面刚架的结构模型及其结点和单元的编号如图3。采用梁单元进行有限元 分析，坐标系如图所示。要求： （1）计算半带宽，图上结点编号是否已达到最小半 带宽要求；（2） 写出头4个结点的坐标值；（3） 若横梁的截面为40mm40mm2mm 的方管，试求它的扭转惯性矩Jk； （4）如用ANSYS软件平面梁单元来建模分析，应 选什么单元？ y P P 520 700 500 2 4 6 8 O x 500 1 3 5 7 图3 （1）B=（d+1）H=（21）39 （3 分） 已达到最小半带宽要求 （1 分） （2）1（0，250，0） ，2（0，250，0） ，3（520，250，0） ，4（520，250，0） （2分） （3） （3分） （4）选用Beam3单元 （2分） 2 24 12 2() 2(38 38) /(38/238/2)109744 () k bh Jmm bh tt =+= + 试卷第 9 页 （共 10 页）