六年级奥数_牛吃草问题趣谈_教师讲义

唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 1 - 专题一 牛吃草问题趣谈 在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。 【 思考 1】 一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供 24头牛吃 6天，或 20头牛吃 10天，那么可供 18头牛吃几天？ 例 2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供 33头牛吃 5天，可供 24 头牛吃 6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃 10 天 ? 【思考 2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供 20 头牛 吃 5天，或可供 16 头牛吃 6天。那么，可供 11头牛吃几天？ 例 3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走 25 级台阶，小丽每分钟走 20 级台阶，结果小明用了 5分钟，小丽用了 6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？ 【思考 3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行 20 分米，另一只每天爬行 15 分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了 5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6 个昼夜到达井底。那么， 井深多少米？ 例 4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用 12 人舀水， 3小时舀完。如果只有 5个人舀水，要 10 小时才能舀完。现在要想在 2小时舀完，需要多少人？ 思维拓展 例 5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供 17 头牛吃 30 天，可供 19头牛吃 24天，现在有若干头牛在吃草， 6天后， 4头牛死亡，余下的牛吃了 2天将草吃完，问原来有牛多少头？ 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 2 - 【思考 5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 天，或供 23头牛吃 9天，现有一群牛吃了 4天后卖 掉 2头，余下的牛又吃了 4 天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 巩固练习 天均匀生长。这块牧场的草可供 10 头牛吃 40 天，供 15头牛吃 20天。可供 25头牛吃天。 （ ） A. 10 B. 5 C. 20 果 20只羊 5 天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而 14只羊则要 10天吃光。那么想用 4天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。 （ ） A. 22 B. 23 C. 24 3画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3个入场口， 9点 9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是 8点分。 （ ） A. 10 B. 12 C. 15 4. 经测算，地球上的资源可供 100亿人生活 100年，或 可供 80 亿人生活 300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（ ）亿人。 5. 快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时 24千米、 20千米、 19千米。快车追上自行车用了 6小时，中车追上自行车用了 10 小时，慢车追上自行车用（ ）小时。 6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用 24 根抽水管抽水， 6 小时可以把池中的水抽干，那么用 16 根抽水管，（ ）小时可将可将水池中的水抽干。 7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用 9 辆汽车， 12小时可以把它们运完，如果用 8 辆汽车， 16 小时可以把它们运完。如果开始只用 3 辆汽车， 10小时后增加若干辆，再过 4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆。 8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供 16头牛吃 20天，可供 80 只羊吃12 天。如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 9. 某水库建有 10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为 了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸， 30 小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸， 10 小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在 ：至少要同时打开几个闸门？ 10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的 2倍去追乙车， 5小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车， 3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？ 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 3 - 工程问题 【工程问题公式】 （ 1）公式：工效工时 =工作总量；工作总量工时 =工效；工作总量工效 =工时 。 （ 2）用假设工作总量为“ 1”的方法解工程问题的公式： 1工作时间 =单位时间内完成工作总量的几分之几； 1单位时间能完成的几分之几 =工作时间。 例 1 一件工作，甲做 5小时后，再由乙做 3小时可以完成；若乙先做 9小时后，再由甲做 3小时也可以完成。那么甲做 1小时以后，由乙做 _小时可以完成？ 例 2 如果用甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水， 1小时可以灌满；如果用甲、乙两根水管， 1小时 20 分可以灌满；如果用乙、丙两根水管， 1小时 15 分 例 3 一项挖土方工程，如果甲队单独做， 16天 可以完成；乙队单独做 20 天可以完成。现在两队同时施工，工作效率提高 20%。当工程完成 1/4时，突然遇到地下水，影响施工进度，使得每天少挖了 果共用了 10天完成工程。问整个工程要挖多少方土？ 例 4 某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时， 9小时可以完成一项生产任务，如果交换工人 的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前 1小时完成这项生产任务；如果交换工人 的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前 1小时完成这项生产任务。问：如果同时交换 ， 的工作岗位 ，其他工人生产效率不变时，可以提前几分钟完成这项生产任务。 例 5 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作。甲工地的工作量是乙工地工作量的 3/2倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3倍，下午这批工人中有 7/12的人去甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 4名工人再做 1天。那么这批工人有多少人？ 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 4 - 例 6 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要 3小时，单开丙管需要 5小时。要排光一池水，单开乙管需要 4小时，单开丁管需要 6小时。现在池内有 1/6 池水。如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开 1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 1. 一项工程，甲单独完成需 12 天，乙单独完成需 9 天若甲先做若干天后乙接着做，共用 10 天完成，问甲做了几天？ 2. 师徒三人合作承包一项工程， 8 天能够全部完成 师傅与徒弟甲合作所需的天数的 4 倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同 徒弟单独完成这项工程各需多少天？ 3. 一件工作甲先做 6 小时，乙接着做 12 小时可以完成甲先做 8 小时，乙接着做 6小时也可以完成如果甲做 3 小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 4. 一项工程，甲单独做要 12 小时完成，乙单独做要 18 小时完成若甲先做 1 小时，然后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？ 5. 一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙 两管， 20 小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管， 30 小时可将满池水排空，若单独开丙管， 60小时可将空池注满 、丙 三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？ 6甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时， 16 小时 一池水要 10 小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管， 5 小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 7修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划 16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作 几天？ 8一件工作，甲、乙合做需 4小时完成，乙、丙合做需 5小时完成。现在先请甲、丙合做 2小时后，余下的乙还需做 6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 9一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 10师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时，徒弟完成了 120个。当师傅完成了 任务时，徒弟完成了 4/5这批零件共有多少个？ 11一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽 10 棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 12一个池上装有 3 根水管。甲管为进水管，乙管为出水管， 20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管， 30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙 ,丙两管用了 18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 13某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三 天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 5 - 巧求分数 数。 个分数。 ，这个分数是多少？ 数 a。 求这个自然数。 例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19后得到一个新分数， 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 6 - 练习 是多少？ 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 7 - 分数运算技巧 例 7 在自然数 1 100中找出 10 个不同的数，使这 10个数的倒数的和等于 1。 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 8 - 练习 60中找出 8个不同的数，使这 8个数的倒数之和等于 1。 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 9 - 巧用单位“ 1” 共有多少本图书？ 例 5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了 10分钟，小轿车追上了货车；又过了 5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？ 两班各有多少人？ 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 10 - 练习 7 树上原有多少个桃？ 剩下的部分收完后刚好又装满 6筐。共收西红柿多少千克？ 4人，其中女生有 39人，已知一班的女生占本 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 11 - 比和比例 例 1 已知 3 (7 9，求 x。 例 2 六年级一班的男、女生比例为 3 2，又来了 4名女生后，全班共有 44人。求现在的男、女 生人数之比。 例 3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是 1 2 12，现在要配制这种农药 2700千克，求各种原料分别需要多少千克。 例 4 师徒二人共加工零件 400个，师傅加工一个零件用 9分钟，徒弟加工一个零件用 15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 有多少学生？ 例 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30元，小客车 15元，小轿车 10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是 5 6，小客车与小轿车之比是 4 11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。 练习 8 和宽的比是 5 3，周长是 96米，求这块地的面积。 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 12 - 与宽的比是 4 3， 宽与高的比是 5 4，体积是 450分米 3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？ 元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是 3 5；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是9 11。问：两人原来共有多少钱？ 、丙三人分 138只贝壳，甲每取走 5只乙就取走 4只，乙每取走 5只丙就取走 6只。问：最后三人各分到多少只贝壳？ 0千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1 2 3，某人走各段路程所用的时间之比是 3 4 5。已知他走平路的速度是 5千米 /时，他走完全程用多少时间？ 会员的人数之比是 3 2，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是 10 8 7。如果甲组中男、女会员的人数之比是 3 1，乙组中男、女会员的人数之比是 5 3，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？ 8、 甲数除以乙数的商是 数除以乙数的商是 甲、乙、丙三个数的最简整数比是多少？ 9、 一个工厂有三个车间，点一车间与第二车间人数的比是 3： 2，第三车间的人数占全场职工总数的 1： 3，已知第一车间比第二车间多 200人，这个工厂一共有多少人？ 10、 甲、乙两仓库货物的比为 6： 5，后来甲仓运进 180 吨，乙仓运进 30 吨，这时甲仓与乙仓货物的比是 18： 11，原来两仓库共有多少吨？ 11、甲、乙两仓库存货吨数比是 4： 3，如果 由甲库中取出 8 吨放到乙库中，则甲、乙两仓库存货吨数比是 4： 5。两仓库原存货总吨数是多少吨？ 12、 A、 B、 C 是三个顺次咬合的齿轮，已知齿轮 A 旋转 7 圈时，齿轮 C 旋转 6 圈。 （ 1）如果 A 的齿数是 42，那么 C 的齿数是多少？ （ 2）如果 B 旋转 7 圈， C 旋转 1 圈。那么 A 旋转 8 圈时， B 旋转了多少圈？ 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 13 - 比和比例 例 1 已知 3 (7 9，求 x。 例 2 六年级一班的男、女生比例为 3 2，又来了 4名女生后，全班共有 44人。求现在的男、女生人数之比。 例 3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉 和水的重量比是 1 2 12，现在要配制这种农药 2700千克，求各种原料分别需要多少千克。 例 4 师徒二人共加工零件 400个，师傅加工一个零件用 9分钟，徒弟加工一个零件用 15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 有多少学生？ 例 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30元，小客车 15元，小轿车 10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是 5 6，小客车与小轿车之比是 4 11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。 练习 8 和宽的比是 5 3，周长是 96米，求这块地的面积。 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义 小学六年级奥数 第 页 共 14 页 - 14 - 与宽的比是 4 3，宽与高的比是 5 4，体积是 450分米 3。问：长方体的长、 宽、高各多少厘米？