万有引力定律讲义

1 专题五 万有引力定律 一、 开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值） 丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续 20 年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。 第一定律：所有行星都在椭圆 轨道 上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的 面积 相等； 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的 比值都相等 即 23 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。 二、 万有引力定律及其应用 1、 内容： 宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。2 （ 1687年） 2211 /1067.6 叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是 1物体相距 1m 时的相互作用力， 1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭 秤装置测出。 2、 定律的适用条件： 严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重心间的距离对于均匀的球体， r 是两球心间的距离当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出 注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是： 3、 地球自转对地表物体重力的影响 。 重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为 的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F 向 = 2（方向垂直于地轴指向地轴），而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力 方向与支持力 N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。 由于纬度的变化，物体做 圆周运动的向心力 而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度 g 随纬度变化而变化，从赤道到两极 R 逐渐减小，向心力 2减小，重力逐渐增大，相应重力加速度 在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 向 和 有 F F 向 以 一 F 向 2 。 物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引 力 F 引 和支持力 时物体的重力 N F 引 。 综上所述 重力大小： 两个极点处最大，等于万有引力；赤道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。 2 重力方向： 在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。 由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即2说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面 到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。 三、 万有引力定律的应用： 基本方法： 卫星或天体的运动看成匀速圆周运动， F 万 =F 心 (类似原子模型 ) 方法： 轨道上正常转： 2222 4 地面附近： GM=黄金代换式 ) 1、 天体表面重力加速度问题 通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即 g=2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处， g 随物体离地面高度的增大而减小，即 M/（ R+h） 2，比较得 2g 设天体表面重力加速度为 g，天体半径为 R，由 g=2由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为 21 2 122 1 2g R M 2、 计算中心天体的质量 某星体 m 中 做圆周运动的周期为 T，圆周运动的轨道半径为 r，则： 由 22 中 得：2324GT 中例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。 可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。 3、 计算中心天体的密度 =34 =3223r由上式可知，只要用实验方法 测出卫星做圆周运动的半径 ，就可以算出天体的质量 M若知道行星的半径则可得行星的密度 4、 发现未知天体 用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的 5、 人造地球卫星。 这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运 3 动的卫星一般不作定量分析。 卫星的轨道平面： 由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过 地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。 原理： 由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有 m M 2222 )2( 实际是牛顿第二定律的具体体现 表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等： （ 1） 向心加速度向a与 向a=2 向a 取得最大值。 a 向 g= 2） 线速度 v与 v= 当 h ， v 当 时， s （ 3） 角速度 与 =3 当 h ， 当 时， 取得最大值。 1 0 3s （ 4） 周期 T与 T=2 当 h ， T 当 时， =284 卫星的能量： (类似原子模型 ) v 减小 (v4 于它们对应的轨道半径 以上不等式连接起来，可得到结论： v2v1v4卫星沿椭圆轨道由 P Q 运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大 ，动能逐渐减小，因此有 v2 16、 解析：从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产生运动的加速度（nn ），所以卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度，卫星在轨道上经过点时的 12 加速度等于它在轨道上经过点时的加速度。必须注意，如果从运动学的角度思考（ n 22 ），由于卫星在不同的轨道上经过相同点时，不但线速度、角速度不同，而且轨道半径（曲率半径）不同，所以不能做出判断。案： B、 17 解析 ： 比较 2、 3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为 r2以 v3较 1、 3状态，周期相同，即角速度相同，而 r1v= 显然有 v1此 v1v3 比较 2、 3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为 r2向心加速度就是卫星所在位置处的重力加速度 g=GM/，所以 a3较 1、 3 状态，角速度相同，而 r1 a= r，有 a1以 a1a3 比较 1、 2 状态，可以认为它们轨道的周长相同，而 以 1；又由于 3状 态卫星在同步轨道，周期也是 24h，所以 1，因此有 1=8、 9 解析： （ 1） A、 时 A、 A、 A 更靠近恒星， A 的转动角度大、周期短，如果经过时间 t， A、 B 与恒星连线半径转过的角度相差 2的整数倍，则 A、 B 与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近。 解：（ 1）设 A、 1、 2，经过时 间 t， 1t， 2t。 A、 1t= )3,2,1(2 。 恒星对行星的引力提供向心力，则： 32 ,2 即， 由得得出：311 ，322 ， 求得：)3,2,1(32312 nt r （ 2）如果经过时间 t ， A、 A、 )3,2,1()12(21 。 故21 )12( 1、 2代入 得： )3,2,1(3231)12( 点评：太阳系有九大行星，它们之间有相对运动，如要知道哈雷彗星下次光顾地球是什么时间，就要分析两运动间的角速度关系，本题关键是正确写出两行星相距离最近和相距最远的条件。 20、 A 21 解析：根据万有引力定律，2)2( ，挖去的球体原来对质点 ，而33。所以剩下的部分对质点 FR 339 169 。 13 答案： FR 339 169 22、 3、 解析：设所求的时间为 t，用 m、 22 )2( 春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆 E 表示赤道， 由图 17可看出当卫星 转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它。 据此再考虑到对称性，有 22 2