水文统计-回归分析.ppt

1/30 水 文 统 计 梁 川 C. Liang 2010年911月 2/40 7.4 多元线性回归及其数学模型 p.239 当y与 x1，x2， ，xm线性相关时，可建立多元线性回归模 型： 式中， 正规方程组 (9-69)和(9-70) 中心化形式 (9-84)和(9-85) 标准化形式 (9-98)和(9-99) 3/40 回归系数 用最小二乘法确定 对于一个具有4个预报因子的回归方程，可导得回归系数b1、b2、 b3和b4的线性代数方程组为 p.249 p.249 例例4 4 * *多元线性回归的统计检验、回归预测的误差多元线性回归的统计检验、回归预测的误差 4/40 7.5 非线性回归 p.257 线性化方法：线性化方法：“函数变换线性回归 还原” 曲线拟合 根据观测资料配制曲线方程，当参数为非线性 函数时，通过函数变换使非线性关系成为直线关系的方法。 有如下几点要求：几点要求： 比例尺适当；比例尺适当； 曲线应通过尽可能多的点据；曲线应通过尽可能多的点据； 描绘曲线应光滑；描绘曲线应光滑； 可用两条或数条曲线表示。可用两条或数条曲线表示。 5/40 曲线选配：曲线选配： （1）幂函数关系：yaxn 式中，a、n为待定系数。 两边取对数，并令 lgyY，lgaA，lgxX， 则有 YAnX （2）指数函数关系：yaebx 式中，a、b为待定系数。 两边取对数，又 lge0.4343， 则有 YA0.4343bx 6/40 直接最小二乘法：直接最小二乘法： “直接求解方程中的未知参数的最小二乘估计” 设回归方程为f(x,a,b)，其中a,b为未知参数，则有 若令 ，求得Q(a,b)min的a,b作为a,b的估计值。 例如：双曲线方程 ，其正规方程组为 需由数值迭代求出近似解。 7/40 两步法：两步法：“先线性化，再进行直接最小二乘法” 譬如，幂函数方程yaxb。先线性化，两边取对数，并令 lgyy* 、lgaa和lgxx*，则有 y*a*bx* 按线性回归求得 然后令 最后，可得到a的非线性最小二乘估计 8/40 非非线性回归方程的评价：线性回归方程的评价： 描述非线性回归方程与实测数据间拟合好坏的指标称为相关指相关指 数数，记为R，则 上式中残差平方和 必须用还原后的曲线回归方程 计算求出。 由于曲线的方向不确定，一般地有0R1。R越小拟合越差 ，反之亦然。 9/30 7.6 在水文学中的应用 回归分析常被应用于：水文样本资料的插补和延长、拟合经验 公式、制作相关图进行预报等。 同时注意：必须先分析变量在成因上是否有联系，不能在两个 毫不相关的变量之间硬凑出相关关系，或在两个弱相关的变量之间 建立回归方程。 两种不适当的用法：辗转相关和假相关 10/30 本章作业本章作业: : p.261 9-1p.261 9-1和和p.262 9-6 p.262 9-6 提示：根据多元线性回归分析(复相关、多元相关)原理，首先建 立三个变量的直线相关关系（yb0+b1x1+ b2x2）的正规方程 组，然后列表进行复相关计算。 可