理论力学第11章动量定理.ppt

第十一章 动动量定理 主要内容 11.2 力的冲量 11.3 动量定理 11.4 质心运动定理 11.1 质点及质点系的动量 动量定理 对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 实际上的问题是 ： 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点 的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况 。 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题） 非常困难。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要 讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动 能定理及由此推导出来的其它一些定理)。它们和牛顿定律 一样，只适用于惯性坐标系。 动量定理 它们都可以从动力学基本方程 推导出来。具有简 明的数学形式，明确的物理意义， 表明两种量 一种是 运动特征量(动量、动量矩、动能等)，一种是力的作用量(冲 量、力矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机 械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答 动力学问题非常方便简捷 。 本章研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要 形式质心运动定理。 11.1 质点及质点系的动量 1、质点的动量 质点的质量与速度的乘积，称为该质点的动量 1）质点的动量是矢量，它的方向与质点速度 的方向一致 2）动量的国际单位是 质点动量的矢量形式 动量在空间直角坐标系中的投影形式 2、质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。 令 为质点系的总质量，定义质点系质量中心（质 心）C的矢径为 则 质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积，动量的 方向与质心速度的方向相同。 11.1 质点及质点系的动量 质点系动量在直角坐标系oxyz下的投影表达式为： 例1长为 ，质量为 的匀质细杆，在平面内绕 点转动， 角速度为 ，求细杆动量。 O O 解：细杆质心的速度 则细杆的动量为 方向与 相同 11.1 质点及质点系的动量 例2 如图匀质滚轮，质量为 ，轮心速度为 ， 则动量为 例3 如图绕中心转动的匀质 轮，无论有多大的速度 和质量，由于质心不动 ，其动量总是零。 11.1 质点及质点系的动量 11.2 力的冲量 作用在物体上的作用力与其作用时间的乘积，称为力的冲量 。 1）力 是常矢量 ： 2）力 是变矢量 ： 力的元冲量 力 在有限时间间隔内的冲量为 冲量的国际单位是 1、力的冲量 设力 在直角坐标系下的解析投影式 则冲量在x,y,z三个轴上的投影式分别为 2、合力的冲量 11.2 力的冲量 共点力系的合力的冲量等于力系中各分力的冲量的矢量和。 如果有 这n个力组成的共点力系作用在物体上， 合力为 ，则共点力系的合力在时间间隔 内的冲量为 11.2 力的冲量 11.3 动量定理 1、质点的动量定理 微分形式： 质点动量的微分等于作用于质点上所有力的元冲量的矢量和 。 或 积分形式： 质点动量在有限时间间隔内的改变等于作用在质点上的所有 力在这段时间间隔内的冲量的矢量和 2、质点系的动量定理 设质点系有n个质点，第i个质点的质量为 ，速度为 ， 外界物体对质点的作用力为 ，称为外力，质点系内其他质 点对该质点的作用力为 ，称为内力。 根据质点的动量定理有 这样的方程共有n个，将这n个方程两端分别相加，得 因为质点系内质点相互作用的内力总是大小相等，方向相反 ，且成对地出现，相互抵消，因此内力冲量的矢量和等于零。 1）微分形式： 11.3 动量定理 又因 ，于是质点系动量定理的微分形式为 即 质点系动量定理的微分形式：质点系的动量对时间的一阶导 数等于作用在该质点系上的所有外力的矢量和。 向直角坐标系oxyz投影可得： 质点系的动量在某坐标轴上的投影对时间的一阶导数，等于 作用在该质点系上的所有外力在该轴上的投影的代数和。 11.3 动量定理 2)积分形式: 质点系动量定理的积分形式：在某一段时间间隔内，质点系 动量的改变，等于在这段时间间隔内作用于质点系上的所有 外力的冲量的矢量和。 投影到直角坐标轴上得： 在某一段时间间隔内质点系的动量在某一轴上的投影的增量 等于作用于质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量在 同一坐标轴上投影的代数和。 11.3 动量定理 电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是m1，转 子的质量是m2，转子的轴线通过定子的质心O1。制造和安装的 误差，使转子的质心O2对它的轴线有一个很小的偏心距b（图 中有意夸张）。试求电动机转子以匀角速度 转动时，电动 机所受的总水平力和铅直力。 b b t W1 W2 O1 O2 x y Fx Fy 例例 题题 11-111-1 11.3 动量定理 运运 动动 演演 示示 例例 题题 11-111-1 11.3 动量定理 解解: :取整个电动机（包括定子和转子）作为研取整个电动机（包括定子和转子）作为研 究对象。选坐标系如图所示。究对象。选坐标系如图所示。 质心质心 C C 的坐标为的坐标为 b b t W1 W2 O1 O2 x y Fx Fy 质心质心 C C 的运动微分方程为的运动微分方程为 例例 题题 11-111-1 11.3 动量定理 从而求得质心加速度在坐标系上的投影从而求得质心加速度在坐标系上的投影 把上式代入式把上式代入式(1)(1)和和(2)(2)，即可求得，即可求得 F Fx x = = m m 2 2 b b 2 2 cos cos t t F Fy y = ( = (m m 1 1 + + m m 2 2 ) )g g m m 2 2 b b 2 2 sinsin t t b b t W1 W2 O1 O2 x y Fx Fy 例例 题题 11-111-1 11.3 动量定理 物块物块A A可沿光滑水平面自由滑动可沿光滑水平面自由滑动 ，其质量为，其质量为m m A A ；小球小球B B的质量为的质量为 m mB B ，以细杆与物块铰接，如图以细杆与物块铰接，如图 所示。设杆长为所示。设杆长为l l，质量不计，质量不计， 初始时系统静止，并有初始摆初始时系统静止，并有初始摆 角角 0 0 ；释放后，细杆近似以释放后，细杆近似以 规律摆动（规律摆动（k k为已知常数），求为已知常数），求 物块物块A A的最大速度。的最大速度。 A A B B 例例 题题 11-211-2 11.3 动量定理 运运 动动 演演 示示 例例 题题 11-211-2 11.3 动量定理 取物块和小球为研究对象，其上取物块和小球为研究对象，其上 的重力以及水平面的约束力均为铅垂的重力以及水平面的约束力均为铅垂 方向。此系统水平方向不受外力作用方向。此系统水平方向不受外力作用 ，则沿水平方向动量守恒。，则沿水平方向动量守恒。 细杆角速为细杆角速为 ， 当当 时，其绝对值最大，此时时，其绝对值最大，此时 应有应有 ，即，即 。 v v v v r r A A B B 解：解： 由此，当细杆铅垂时小球相对于物块由此，当细杆铅垂时小球相对于物块 有最大的水平速度，其值为有最大的水平速度，其值为 例例 题题 11-211-2 11.3 动量定理 当此速度当此速度v v r r 向左时，物块应有向右的绝对向左时，物块应有向右的绝对 速度，设为速度，设为v v，而小球向左的绝对速度值而小球向左的绝对速度值 为为v v a a = =v v r r v v。根据动量守恒条件，有根据动量守恒条件，有 解出物块的速度为解出物块的速度为 当当 时，也有时，也有 。此时小球。此时小球 相对于物块有向右的最大速度相对于物块有向右的最大速度 k k 0 0 l l ，可可 求得物块有向左的最大速度求得物块有向左的最大速度 A A B B v v v v r r 例例 题题 11-211-2 11.3 动量定理 图示单摆图示单摆B B的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平 移的滑块移的滑块A A上，设上，设A A，B B的质量分别为的质量分别为m m A A ，m m B B ，运动开始时运动开始时 ， 。试求单摆试求单摆B B的轨迹方程。的轨迹方程。 A A B B x x y y x x O O 例例 题题 11-311-3 11.3 动量定理 解解：以系统为对象，其运动可用滑块以系统为对象，其运动可用滑块A A的坐标的坐标x x和单摆摆动的角度和单摆摆动的角度 两两 个广义坐标确定。个广义坐标确定。 解出解出 单摆单摆B B的坐标为的坐标为 m mB B g g A A B B x x y y x x O O 则则 由于沿由于沿x x方向无外力作用，且初始静止，系统沿方向无外力作用，且初始静止，系统沿x x轴的动量守恒，质轴的动量守恒，质 心坐标心坐标x x C C 应保持常值应保持常值x x C C0 0 。 m mA A g g 例例 题题 11-311-3 11.3 动量定理 消去消去 ，即的到单摆即的到单摆B B的轨迹方程：的轨迹方程： 是以是以 x x= = x x C C0 0 , , y y=0=0 为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑块上的单摆也为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑块上的单摆也 称为椭圆摆。称为椭圆摆。 A A B B x x m mB B g g m mA A g g y y x x O O 例例 题题 11-311-3 11.3 动量定理 轨轨 迹迹 演演 示示 例例 题题 11-311-3 11.3 动量定理 3、质点系动量守恒定律 如果作用于质点系的外力的主矢恒为零时，质点系的动量保 持不变，即 若 则 从而 如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零 ，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。 即若有 则 以上结论称为质点系动量守恒定律 质点系的内力可以改变质点系中各质点的动量，但不能改变 质点系的总动量，只有外力才能改变质点系的总动量。 11.3 动量定理 11.4 质心运动定理 1、质量中心 质心位置在直角坐标系的投影形式 x x y y O O A A B B 曲柄滑块机构如图所示。设曲柄曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OAOA受力偶作用以匀角速受力偶作用以匀角速 度度 转动，滑块转动，滑块B B沿沿x x轴滑动。若轴滑动。若OA=AB=lOA=AB=l，OAOA及及ABAB皆为均质皆为均质 杆，质量皆为杆，质量皆为m m 1 1 ，滑块滑块B B的质量为的质量为m m 2 2 。试求支座试求支座O O处的水平约处的水平约 束力。束力。 例例 题题 11-411-4 11.4 质心运动定理 解：选取整个机构为研究对象解：选取整个机构为研究对象，其水平其水平 方向只承受方向只承受O O处约束力的作用。处约束力的作用。 此系统质心坐标为此系统质心坐标为 x x y y O O A A B B F F x x F F y y F FN N 将将x x C C 对时间取二阶导数对时间取二阶导数 代入上式代入上式（a a），求得求得 （a a） 列出质心运动定理在列出质心运动定理在 x x 轴上的投影式轴上的投影式 例例 题题 11-411-4 11.4 质心运动定理 整个系统在铅垂方向除有重力外，整个系统在铅垂方向除有重力外，O O，B B两两 处受有处受有y y方向约束力方向约束力F F y y 和和F F N N 。列出质心运动定理列出质心运动定理 在在y y轴上的投影式轴上的投影式 质心质心y y C C 对时间取二阶导数，代入上式对时间取二阶导数，代入上式 ，求得，求得 以整个系统为研究对象，只能求出以整个系统为研究对象，只能求出O O，B B两处两处y y向约束向约束 反之和，而不能分别求出各自的值。反之和，而不能分别求出各自的值。 F F x x x x y y O O A A B B F F y y F FN N 例例 题题 11-411-4 11.4 质心运动定理 曲柄滑块机构如图所示。设曲柄曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OAOA受力偶作用以匀角速受力偶作用以匀角速 度度 转动，滑块转动，滑块B B沿沿x x轴滑动。若轴滑动。若OA=AB=lOA=AB=l，OAOA及及ABAB皆为均皆为均 质杆，质量皆为质杆，质量皆为m m 1 1 ，滑块滑块B B的质量为的质量为m m 2 2 。试求此系统的质心试求此系统的质心 运动方程、轨迹以及此系统的动量。运动方程、轨迹以及此系统的动量。 x x y y O O A A B B 例例 题题 11-511-5 11.4 质心运动定理 设设 t t=0 =0 时时OA OA 杆水平，则有杆水平，则有 =t =t 。 由式由式 质心质心C C的坐标为的坐标为 解：解： x x y y O O A A B B F F x x F F y y F FN N 例例 题题 11-511-5 11.4 质心运动定理 上式也就是此系统质心上式也就是此系统质心C C的运动方的运动方 程。由上二式消去时间程。由上二式消去时间t t，得得 即质心即质心C C的运动轨迹为一椭圆，如图中虚的运动轨迹为一椭圆，如图中虚 线所示。应该指出，系统的质心一般不在线所示。应该指出，系统的质心一般不在 其中某一物体上，而是空间的某一特定点其中某一物体上，而是空间的某一特定点 。 v v C C x x y y O O A A B B F F x x F F y y F FN N C C 例例 题题 11-511-5 11.4 质心运动定理 为求系统的动量，由动量定理投影式为求系统的动量，由动量定理投影式 ，得，得 此例中此例中 由质心公式得由质心公式得 系统动量的大小为系统动量的大小为 则得系统动量沿则得系统动量沿x x，y y轴投影轴投影 ： v v C C x x y y O O A A B B F F x x F F y y F FN N C C 例例 题题 11-511-5 11.4 质心运动定理 2、质心运动定理 由动量定理的微分形式 对于质量不变的质点系 或 质点系的质量和其质心加速度的乘积，等于作用于质点系的所 有外力的矢量和。这就是质心运动定理。 质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的 运动。 11.4 质心运动定理 动画动画 11.4 质心运动定理 动画动画 11.4 质心运动定理 质心运动定理的直角坐标投影形式：质点系的质量和质心加速 度在某一坐标轴上的投影的乘积等于作用在质点系上的所有外 力在同一坐标轴上投影的代数和。 3、质点系质心运动守恒定律 即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心 作惯性运动。 （1）若 ，则 常量 11.4 质心运动定理 即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿 该轴作惯性运动） （2）若 ，则 ， 以上结论，称为质点系质心运动守恒定律 。 11.4 质心运动定理 如图所示，设电动机没用螺栓固定，定子的质量是如图所示，设电动机没用螺栓固定，定子的质量是 m m1 1 ， 转子的质量是转子的质量是 m m2 2 ，转子的轴线通过定子的质心转子的轴线通过定子的质心 O O1 1 。制造和安制造和安 装的误差，使转子的质心装的误差，使转子的质心 O O2 2 对它的轴线有一个很小的偏心距对它的轴线有一个很小的偏心距 e e 。各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀角速度各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀角速度 转转 动时电动机外壳的运动。动时电动机外壳的运