毕业论文--高考线性规划最值题型求解.doc

学 生 毕 业 论 文（ 2010届）题目（中文） 高考线性规划最值题型求解 （英文） The best kinds of questions the value of college entrance examination for solving linear programming 系别： 数学与信息技术系 姓名： 学号: 专业： 数学与应用数学 班级： 指导教师： 诚 信 声 明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日摘要：一般地,在线性规划约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.解决线性规划问题的数学思想,从本质上讲就是数形结合思想.某些数学问题从表面看与线性规划无关,但是创造性地运用线性规划思想来出来,却能使问题出乎预料地获得解决,而且可提高思维速度,简缩解题长度.历年来,线性规划试题在各地高考中多次出现,题型多变,有选择题,有填空题,还有大题出现,综合考查了同学们灵活运用所学知识解决问题的能力.本文章仅对高考线性规划最值题型的求解进行剖析,以期对大家有所启发.关键词：线性规划；最值；高考；选择题；填空题；大题；Abstract：In general, the linear programming constraints of linear objective function under the condition of the maximum or minimum value of the issue, collectively known as the linear programming problem. Solve linear programming problems of mathematical thinking, in essence, is the idea Shuxingjiehe. A Some mathematical problems on the surface and linear programming has nothing to do, but the creative thinking out of the use of linear programming, but the problem can be resolved unexpectedly, but also can improve the speed of thinking, problem-solving abbreviated length. Over the years, the linear Planning around the entrance examination questions several times in the emergence of diverse kinds of questions, there are multiple-choice questions, there are fill-in, there is a big issue there, integrated looked at the students make flexible use of what they have learned problem-solving abilities. This article only entrance line Questions in planning the best value solution for analysis, with a view to inspire all of us.Key words: Linear programming; Extreme Value; College entrance examination; Multiple-choice; Fill in the blanks; subject ;目录1. 引言（1）2. 中学线性规划的定义及其学习意义（1）2.1 定义 （1）2.2学习线性规划的必要性 （1）3. 高考线性规划的产生及其发展背景（1）4. 利用线性规划解题（2）4.1几种题型（2）4.2线性规划求解的几种情况（2）4.3解法分析（2）4.3.1 图解法 （3）4.3.2 待定系数法 （4）4.3.3 其他灵活方法 （4）5.线性规划的典型例子在高考命题中的体现（4）5.1 选择题 （5）5.2 填空题 （7）5.3 大题 （9）6.小结（10）7.结束语 （11）参考文献 （12）致谢 （13）高考线性规划最值题型求解1.引言高考是国家选拔人才的考试.数学是众多学科中的一个重要科目.它是高考考生学习中的重点和难点.随着知识总量的不断激增，知识体系越来越膨胀.知识更新速度也越来越快.人类不得不把知识划分成多个板块来研究和学习，线性规划就是其中一个板块.简单的线性规划是新课程高中数学必修5中的模块.即求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思维是新课标下高考数学命题的指导思想；在知识网络的交汇点设置考题是高考命题的创新主体.线性规划知识的发生、发展过程易与其他相关知识交汇，由于是通过求解以提高学生解决实际问题的能力，因此备受新高考命题者的青睐.2.中学线性规划的定义及其学习意义2.1定义线性规划实质上是一种数学建模，中学数学涉及到的数学建模一般是建立线性规划模型，通过分析综合数据和资料，建立线性的目标函数和约束条件，在这组线性约束条件下，把一个线性函数（目标函数）极小化或极大化的问题.2.2学习线性规划的必要性线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较为广泛的一个分支，它是一门研究如何使用最少的人力、物力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门科学，在化学、航空、钢铁、造纸、石油、环保和其他工业方面有着广泛的应用.因为它可以为我们提供最合乎经济原则的利学工作方法，所以在当前“知识经济”的潮流中越来越发挥出重要作用.现实世界的情况往往简化为线性的描述，或者近似的用线性描述.线性规划几乎被广泛应用于实际生活的各个方面.线性规划是高等院校的数学专业内容，但我们注意到，“简单线性规划问题”已经被直接加入了高中数学教材，它是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，它不仅可以应用在对实际问题进行建立模型上，也在解不等式组等上取得广泛应用，甚至在一些初中数学教材中已体现线性规划这一思想，这是一种数形结合的数学建模思想的渗透，也是新大纲对数学知识应用的重视.因此，学习和研究线性规划成为学生和老师重要的一课.3.高考线性规划的产生及其发展背景简单线性规划2000年进入高中数学教材.2004年江苏高考卷中首次出现了线性规划试题，2006年高考天津卷、安徽卷、广东卷和重庆卷中都有线性规划试题.仔细分析这些试题，可以看出高考题更多关注的是线性规划的本质，这给简单线性规划教学以诸多启示.从2006年高考题可以看到，试题中出现的线性规划形式更加多样.在2006年高考中出现了约束条件中含参变量的情况，这应该引起我们的重视.2007年高考全国卷、湖北卷、福建卷、天津卷、陕西卷、重庆卷和浙江卷等都有线性规划试题.线性规划体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想. 而综观2008年的全国各地高考试题，几乎都涉及了线性规划，而且题型也越来越开放，从单一的、静态的线性规划发展到较全面的、动态的线性规划.在2009年各地的高考中线性规划试题多次出现，题型多变，有选择题，有填空题，还有大题出现，综合考查了同学们灵活运用所学知识解决问题的能力.4.利用线性规划解题4.1几种题型（1）求不等式的取值范围，主要依靠图解法得到；（2）求不等式变量组合的取值范围，包括整式类型的组合、分式类型的组合和二元二次类型的组合等；（3）求解某些实际问题（常见的有生产安排问题、混合配料问题、配套生产问题、运输问题、截料问题、投资问题、连续加工问题等）；（4）求由线性不等式或线性等式所围成区域面积问题；（5）判断可行域等.4.2线性规划求解的几种情况(1）线性规划有最优解时，可能有唯一最优解，也可能有无穷多个最优解，但当最优解不唯一时，一定有无穷多个最优解；(2）线性规划没有最优解时，也有两种情况，一是可行域为空集，二是目函数值无界（求最大时无上界，求最小时无下界）；(3)有界可行集必有最优解；(4）当线性规划有最优解时，一定可以在可行域的某个极点上取到，当有唯一解时，最优解就是可行域的某个极点.当有无穷多个解时，其中至少有一个是可行域的一个极点.4.3解法分析4.3.1图解法图解法就是通过作图的方法求得线性规划问题的解，或者判断线性规划问题无解.图解法仅限于两个变量，由于两个变量只需要平面作图，简单易行.三个变量也可用图解法，需要作三维空间立体图，相当麻烦，而四个或五个变量是无法直接使用图解法的.在中学的数学学习过程中，我们一直强调数形结合，著名数学家华罗庚教授说过：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”线性规划在中学数学中是直线方程的应用，同时也是二元一次不等式组的一个应用，因为线性规划中的图解法充分体现了这些应用.图解法是线性规划的几何解法，只适用于含有两个决策变量的线性规划问题，使用这种解法就是在平面直角坐标系下画出满足约束条件的可行域，在该区域中找出使目标函数最小（大）的最优解的方法.图解法比较直观，是典型的数形结合，前面例1.1正是利用了这一解法.下面我们通过实例来说明图解法.例1.解线性规划max s.t 解析：第一步：取平面直角坐标系，如图1在直角坐标系中作约束条件不等式组中取等式时的直线： 第二步：确定约束条件所围成的平面区域，即可行域。由于符合以下条件：满足约束条件的所有点都在直线的左下方的半平面内 图1 (只要将点(0,0)代入，若使得不等号成立. 则满足不等式的点都与点（0，0）在同一侧，即在直线下方，否则在相反的一侧)； 按同样步骤，将点(0,0)代入，判断不等式的符号是否成立可以得到满足它们的点所在的半平面，同时由于，所在的点都在第一象限.因此同时满足上述约束条件的点组成的区域是这5个半平面的公共部分（图中的阴影部分）就是该线性规划的可行域.第三步：在可行域上寻找使目标函数取得最大值的点，即最大的可行解.首先根据目标函数作出它的梯度方向,在图中作出该向量，同时作出的一族平行线，称为目标函数的等值线(与梯度向量垂直，图中用虚线表示).问题要求目标函数最大值，必须在可行域内找一点使最大，将目标函数等值线沿梯度方向推至临界，此时目标函数值最大，为14.因此，此线性规划问题的最优解（即此目标函数的最大值）为临界等值线与可行域的交点A(4,2)，最优解为，最优值为14.这道题中，由于所求的是目标函数的最大值，所以将等值线沿着梯度方向推进临界，但当所求的是目标函数的最小值时，则将等值线沿着梯度方向的负方向推进，在临界取得最小值另外，利用图解法解线性规划时应尽量做到精确，假若图上的最优点不易辨析，不妨将几个极点（临界点）的坐标都求出来，然后逐一检查.4.3.2待定系数法图解法运用起来十分直观，但对作图的要求也很严格，作图时要尽量精确.有些线性规划问题，可以避开用作出可行域的解题方法，而可借助待定系数法，使问题转化为求不等式中变量组合的范围问题.我们来看一个例子.例2.求解线性规划max s.t 解析：不妨假设，得所以 当且仅当即时成立.也即，此线性规划的最优解为，最大值为10.待定系数法将“形”转化为“数”，而图解法将“数”转化为“形”，两者灵活互用，实现数形结合.4.3.3其他灵活方法(具体问题具体分析)5.线性规划求最值的题型在高考命题中的体现线性规划问题经过几年的探索,逐渐从简单的线性规划求最值问题向综合性问题转变,是近几年高考必考内容之一.线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题.5.1 选择题（1）（2004年浙江）设,其中变量x和y满足条件, 则z的最小值为（ ）. （A）1 （B）-1. （C）3. （D）-3.解析：设 .，得又 即 . ,即z的最小值为1，故选A.（2）（2006年天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）.（A）2 （B）3. （C）4. （D）9解析：由约束条件可作出可行域.如图2所示 作直线作一组与平行的直线.则当过点B（1，1），Z值最小.即目标函数的最小值为3，故选B.（3）（2006年广东）在约束条件下 ， 图2 当3s5时，目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（ ）.（A）6，15 （B）7，15 （C）6，8 （D）7，8解析：该题将约束条件右边，通常是常数的地方换成了参数s.由于可行域由和围成，而在y轴上的截距为4，所以应分成两部分讨论，随着s的增加目标函数值从7增加到8；当，和不再相交，s的增加对目标函数不再有影响.故目标函数最大值的变化范围为7，8，故选D.（4）（2007年全国）下面给4个点中，位于，表示的平面区域内的点是（ ）.（A）（0，2） （B）（-2，0） （C）（0，-2） （D）（2，0）解析：二元一次不等式某一侧的半平面区域.由于对同一半平面的所有点（x,y），从的正负可以判断表示哪一侧的半平面区域.一般在C不等于零的时候，取原点作为特殊点.本题要找出位于表示的平面区域内的点，则只需要把答案中的4个点带入，满足不等式组的即可，故选C.（5）（2008年陕西）已知实数x,y满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数m等于（ ）.（A）7 （B）5. （C）4. （D）3. 解析：首先画出不等式组表示的静态平面区域，又表示直线下方部分（包含直线），整个可行区域是一个随着m变化而变化的三角形，如图3所示.求目标函数的最小值即求在轴截距的最大值,从而由图可知在直线 图3与直线的交点处取得最小值,故得交点的坐标,代入得,故选B. （6）（2009年广东）广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市的路线距离（单位：百公里）见右表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短距离是（ ）.ABCDEA05456B50762C47098.6D56905E628.650（A）20.6 （B）21. （C）22. （D）23.解析：由题意知，所有可能路线有6种： ABCDE； ABDCE; ACBDE; ACDBE; ADBCE; ADCBE.其中，路线ACBDE的距离最短，最短路线距离等于，故选B.5.2 填空题(1) （2006年重庆）已知变量x、y满足，若目标函数仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 . 解析： 画出不等式对应的平面区域，如图4所示.再由题意可知a为直线的斜率.由图可直观看出，要符合题意条件， 必须过极点（3，0）直线的斜率a必须大于直线的斜率.故该题的正确答案应为 图4(2) （2006年湖南）已知约束条件为，则的最小值是 . 解析：在平面直角坐标系中画出可行域，如图5所示，其中A（1，2），B（3，4）.将目标函数看成可行域中的点P(x,y)到原点0的距离的平方.则当点P与A重合时, 的最小值是5. 图5 图6(3) （2007年天津）设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值 为 . 解析：方法一：画出不等式对应的平面区域，如图6所示。作直线，再作一组平行直线的直线.从图中可以直观地看出当过点A（1.50，2.50）时,z取得最大值.即.方法二：画出不等式对应的平面区域，分别求出三个交点坐标，把三个点的坐标分别代入可得z的值分别为13，10，12.故最大值为13. (4) （2009年山东）某公司租凭甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品20件.已知设备甲每天的租凭费为200元，设备乙每天的租凭费为200元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租凭费最少为 元.解析：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租凭费为z元，则，甲、乙两种设备生产A、B两类产品的情况如下表所示： 产品设备 A类产品（件）B类产品（件）租凭费（元）甲设备510200乙设备620300则满足的关系为,作出不等式表示的平面区域,当的值最小,租凭费取得最低,为2300元.5.3 大题(1) （2007年山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元分和200元分，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的效益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元.由题意得，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.如图7.作直线.平移直线经过可行域内每一点，从图中可知，当平移直线经过M（100，200）点时，目标函数取得最大值.故z的最大值为. 图7 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.(2) （2009年湖北模拟）已知，求的最小值.解析:不等式组对应的可行域如图8所示.(x=y时等号成立). 令,易知直线过点时，z取最小值.从而.即当时,取得最小值为. 图8 (2)（2009年四川模拟）已知函数在区间上是减函数,求的最大值.解析:因为,所以在区间上恒成立,则，即，视其为约束条件，则目标函数为，如图9所示，在平面直角坐标系中作出可行域.直线与直线 图9的交点为.据线性规划知识得.(3)（2009年四川模拟）求函数的值域.解析:设,则动点P(a,b)的轨迹方程为.而表示斜率为-1，纵截距为y的直线.如图10所示. 总在直线的两侧或其上， 图10所以，解得，故值域为.6.小结综上可见，高考线性规划最值题型的求解方法是多种多样的.只要我们结合题意，抓住目标函数的代数式，仔细挖掘约束条件，灵活变通，选择恰当的求解方法，高考线性规划最值题型就可以迎刃而解.中学所学的线性规划只是规划论中极小一部分，但这部分内