三角高程测量严密公式探讨

南阳师范学院20XX届毕业生毕业论文（设计） 题 目： 三角高程测量严密公式探讨 完 成 人： 班 级： 学 制： 专 业： 指导教师： 完成日期： xxxxxx 目录摘要(1)1绪论(1)1.1引言(1)1.2研究问题的提出(2)1.3国内研究三角高程测量的现状(2)2三角高程测量的原理和方法(3)2.1三角高程测量的原理(3)2.2三角高程测量的应用和方法(4)3三角高程测量的公式论证(6)3.1三角高程测量解算原理和计算公式(6)3.2由对向观测垂直角及平距计算值求定两点间高差(9)3.3由电磁波实测斜距和单向观测垂直角求定两点间高差(9)3.4由电磁波往返实测斜距和对向观测垂直角求定两点间高差(10)3.5电磁波测距边与高差并非同时测定情况下的高差与平距的求定(11)3.6成绵乐客专毗河特大桥桥墩高程测量中应用案例(12)4为提高精度应采取的措施(13)4.1人以及仪器的影响(14)4.2地球曲率和大气折光的影响(14)4.3误差各方面的改正(14)5结束语(15)参考文献(16)Abstract(16)摘要：对于地面高低起伏较大或不便于作水准测量的地区，常采用三角高程测量方法测定高程。随着高精度测量仪器的普及应用，用三角高程测量代替水准测量建立高程控制网，可以大大加快野外测量的速度。本文将在分析三角高程测量原理的基础上，对三角高程测量公式进行严密探讨。推导三角高程测量严密公式；结合实例，对严密公式进行验证；探讨为提高严密三角高程测量的精度应采取的措施。关键词：三角高程测量；严密公式；测量精度1绪论 1.1引言测量是一个很古老的行业，无论是控制测量、导线测量、地形测量、还是道路测量、隧道测量、航空摄影测量等，均需要测定高程位置，因此，高程测量是各种测量中的重要组成部分。高程是指地表点在地球引力方向上的高度，也就是重心所在地球引力线的高度。世界各国采用的高程系统主要有两类：正高系统和正常高系统，其所对应的高程名称分别为海拔高和近似海拔高，统称为高程。我国采用的高程系统是正常高系统，必须确定一个高程基准面，通常采用平均海水面代替大地水准面作为高程基准面，我国选用的青岛验潮站所求的黄海平均海水面作为全国统一的高程系统的基准面。目前根据测量方法的不同，对高程测量的划分有水准测量和三角高程测量等。用水准测量的方法测定地面两点间的高差后，即可由已知高程点求得另一点的高程。应用这种方法求地面点高程其精度较高，普遍用于建立高程控制网及工程测量中测定地面点的高程位置。三角高程测量就是在测站点上安置仪器，观测照准点目标的垂直角和它们之间距离以及量取仪器高、棱镜高，采用几何三角形公式计算测站点与照准点之间的高差的测量方法。1.2研究问题的提出 水准测量的精度虽然比较高，但是其测量的工作量大，特别是对于地面高低起伏较大或者不便于作水准测量的地区，用这种方法测定地面点的高程速度缓慢有的甚至非常困难。随着测量技术的发展与测量仪器的更新换代，三角高程测量的应用越来越重要，研究也越来越深入。三角高程测量以其简便灵活、省力省金、受地形条件限制较少的优势，在一定的范围内被得到越来越多的应用。三角高程测量精度主要受竖直角测量精度和测距精度的限制，同时还受大气折光、地球曲率等因素的影响。要想三角高程测量在一定条件下得到更为广泛的应用，提高三角高程测量精度成为首要任务。1.3国内研究三角高程测量的现状由武汉大学和铁道第四勘察设计院共同完成的精密三角高程测量方法研究项目，日前通过国家测绘局主持的成果鉴定。鉴定委员会专家认为，该成果开创了国内外大范围、长距离精密三角高程测量代替二等水准测量的先例，达到了同类研究的国际先进水平，在双棱镜同时对向观测、完全不量仪器高和觇标高等关键技术及工程应用上处于国际领先水平，具有广泛应用前景。 该成果采用精密三角高程测量方法，利用两台高精度自动目标识别全站仪，经必要加装，实现了同时对向观测，削减了大气垂直折光影响。通过对测段按偶数边进行观测，无需量取仪器高和觇标高，有效避免了由此带来的测量误差。采用该方法可达到二等水准测量精度，与几何水准测量相比，大大降低了作业条件限制，显著提高了作业效率。 在进行大量野外试验的基础上，项目组将该方法成功应用于多项工程建设中，完成了宜万铁路白云山7公里隧道贯通的高程测量，达到规定精度要求。在武广铁路客运专线精密高程测量工作中，该方法发挥了巨大作用。武广铁路客运专线的很多测量工作作业区地形主要为丘陵和山地，测量线路长度超过400公里，多处跨越江河，测量条件比较复杂，测量期间天气情况也不利于观测。与常规水准测量相比，采用该方法观测，缩短了观测路线长度，提高了工作效率。根据施工单位提供的高程复测资料和项目组测量的数据进行比较，三角高程测量的每公里全中误差为1.9毫米，达到二等水准测量规范规定的每公里全中误差2毫米的要求。全线成果经工程单位复测和省级质检部门检测，达到了二等水准测量精度。2三角高程测量的原理和方法2.1三角高程测量的原理全站仪三角高程测量原理简单阐述为在两点分别架设全站仪和目标棱镜，根据由测站向照准点即目标棱镜观测分别测得竖直角和两点间斜距，然后运用三角函数关系计算出两点间的高差。因此影响三角高程测量精度的因素也主要有测站和目标棱镜的竖直角、两点间的距离，另外还受到大气折光系数、全站仪和目标棱镜的量高精度的影响。此外，由于距离远，还受到地球曲率对测量精度的影响。一般情况下，当观测距离较近时，大气折光系数和地球曲率可以忽略不考虑，此时影响测量精度的因素主要是测站和棱镜的竖直角和水平距离。近年来，由于高精度的测角和测距技术，使得三角高程代替水准测量在技术上提供了可行性。为了更好的研究全站仪三角高程在山区测量的精度问题，本文分别在两种情况下进行了精度分析。如图1所示，AB两点间的高差为HAB(不考虑地球曲率和大气折光系数的影响),将全站仪安装在A点上,对中、整平，量取仪器高度为i，B点安置目标棱镜,棱镜高度为v，通过测量得到仪器到棱镜的竖直角，以及计算出A、B两点间的水平距离SAB,由图1可知全站仪三角高程计算高差的公式为: 图1 三角高程测量示意图 (2-1) 其中为测站与目标棱镜的竖直角。2.2三角高程测量的应用和方法根据上面公式，可以判断出全站仪三角高程测量误差来源主要有三个方而，测量得到的仪器与棱镜间距离SAB，测量竖直角，还有人工量测的仪器和棱镜的高度1。 图2 三角高程测量示意图如图2所示，当我们考虑地球曲率的时候，我们以椭球而为依据来推导三角高程的基本公式。A点为测站全站仪，A、B两点为山区高程不同的两点，弧线AF和PE分别为过地面点A点和仪器高P点的水准面，PC是弧PE在P点的切线，为全站仪的水平视线，水平距离为S0，仪器高度为i1，棱镜高度为v2，R为参考椭球而上弧的曲率半径，由于地球曲率和大气折光系数的影响，由N点返回的光线正好落在望远镜的横丝上，从全站仪望远镜里实际看到的视准轴为PM, 也就是说仪器在A点实际测得的P、N间的竖直角为。有图2可以清楚的看出，A、B两点的高差公式可以写为: （2-2)由图2可以看出，公式中EF为仪器高i1，NB为目标棱镜高度v2，其中CE , MN为地球曲率和折光系数影响2，假设A,B两点间水平距离为D，则有: (2-3) 公式中为全站仪水平视线弧PN在N点的曲率半径。设，则有: (2-4)其中K为大气折光系数。通过查看以上公式发现，全站仪和目标棱镜间的水平距离D与R之比很小，可以近似忽略不计，所以可以近似的认为PC与OM垂直，既可以把三角形PCM看作是直角三角形，由此可以得出: (2-5) 将得出的结论分别带入到前面得出的全站仪三角高程测量的高差公式中则得出: (2-6)公式（2-6）中,C被称作是球气差系数.(2-4)式即为全站仪三角高程测量高差计算的基本公式，公式（2-6）中仪器高，观测竖直角以及目标棱镜高度均可通过实际测量中得出。3三角高程测量的公式论证3.1三角高程测量解算原理和计算公式由单向观测垂直角及平距计算值求定两点间高差由三角高程测量计算测站点A和照准点B之间高差的原始公式为: （3-1） 式中,R为地球椭球半径,可足够精确地取其概略值6370 km,并因距离不长可将椭球近似看做为圆球。式中垂直角12、仪器高i1和觇标高v2均由外业观测得到。水平距离S0则可由测线两端点A和B的高斯坐标归算得出。 如图3所示。弧PE,弧AF分别为过P点和A点的水准面。PC是弧PE在P点上的切线, 弧PN为光滑曲线。当位于P点的望远镜指向目标N时,由于大气折光的影响,所得的并非是PN直线方向,而是曲线弧NP方向。这就是说,仪器置于A点测得的倾斜视线为弧NP的切线方向PM,而水平视线则为PC方向。因此测得的垂直角12应为PM与PC之图 3 三角高程测量示意图间的夹角。 式(3-1)中,R为光滑曲线PN在N点上的曲率半径,若设K=R/R,并令C=（1-K）/2R，则有: (3-2) 式（3-2）中,K常称为大气垂直折光系数;而称C为球气差系数。上式作为单向观测垂直角由水平距离计算高差的基本公式,其实并不很严密。因A、B两点的垂线并不平行,设其交角为。于是PCM应为90+,而在式(3-2)的推导中所利用的以下关系式也是近似的: (3-3) 若对一般三角形PCM按正弦定律求解,则有: (3-4) 式中 当=10 km,12=3;h=0.044 m;而当12=5;h=0.121m。可见,若距离较长、高差较大,取用平距来计算会影响高差的准确求定,使求得的高差偏小。其实,式(3-2)中的水平距离PC可用过P点的水准面上的弧长弧PE或弦长来代替。其差值仅为的二次项,对于10 km的边长,边长差异仅为0.012m,若垂直角12=3,对高差的影响则不足1mm。 在实际应用中S0更可取用测线两端平均高程面上的距离,它比S0大些,从而可减小高差计算公式(3-2)不够严密的影响。可以推证当S0如此取用后,仍使求得的高差偏小些。 在一般应用中,式(3-2)中的水平距离S0还可取用由两点的平面坐标所反算的边长d03,当距离较长、高差较大、精度要求较高时,须将边长d0先归算至测区的边长归算高程面基准面上的距离,再归算至测线两端平均高程面上的水平距离。 (3-5) 式中,ym为A、B两点相对于中央子午线的高斯横坐标平均值,Hm为测线两端点到测区边长归算面的平均高程。对于国家坐标系而言,此边长归算基准面即为国家参考椭球面。将式(3-5)代入式(3-2)得出: (3-6) 式中 (3-7) d0与测线两端平均高程面上边长S0之间虽存在差异,但因影响项中还含有tan12,当高差不大时,其差异并不太大,尤其是对于工程控制网点,ym最大值也不会超过50 km。3.2由对向观测垂直角及平距计算值求定两点间高差 式(3-1)、式(3-2)中还含有观测时的大气垂直折光系数K或球气差系数C,由于实际工作中难以精确地予以测定,实测中常可通过对向观测垂直角来近似地消除球气差的影响。 对向观测垂直角求定的平均高差为: (3-8)3.3由电磁波实测斜距和单向观测垂直角求定两点间高差 电磁波测距三角高程测量是用测距4和垂直角来计算高差,经过一系列归算改正后的电磁波测距5边已可看作为测距仪发射中心P至棱镜反射中心N间的直线距离S。以i1,v2分别表示A点上的测距仪高及B点上的棱镜高,则高差的计算公式6即为 (3-9)在全站仪中,测角瞄准与测距接收的光路是同轴的,则测定垂直角的仪器高及目标高度也分别等同于i1及v2。而一般的测距仪虽不能实现同轴,这两个轴也是大致平行的。下面再来考虑角对高差的影响。在式(3-9)的第一项中,是将PCM视为直角而有: (3-10) 若顾及角,应按一般三角形而用正弦定律求解得出: (3-11) 由式(3-9)、式(3-11),得出舍去对高差的影响为: (3-12) 可知它仅为的二次项。其影响极小，因此,完全可以忽略不计,式(3-10)以至式(3-9)足够精确。按以下的由斜距求平距的习用公式求得的过点P的水准面上的平距PC则含有一次项的影响: (3-13) 若仅顾及角的一次项,平距PC应为: (3-14) 类似地,过测线另一端点N的水准面上的平距NN则为: (3-15) 将(3-15)和(3-14)两式相加并除以2,得出 (3-16)可见,当顾及过A、B两点的垂线之间所存在的交角时,由通常所采用的求平距公式7(3-16)所得的并非是过测线一端点的水准面上的平距,而是测线两端点平均高程面上的平距。3.4由电磁波往返实测斜距和对向观测垂直角求定两点间高差由往返测斜距S12、S21和往返测垂直角12、21求定往返测高差的计算公式为: （3-17） （3.18） 作为两点之间的高差,往返测高差正负号相反,若近似认为C12=C21,于是平均高差为: (3-19)3.5电磁波测距边与高差并非同时测定情况下的高差与平距的求定除全站仪外,目前使用的很多测距仪都是通过接合器与经纬仪相连接,不便于在测距的同时施测垂直角;而在精密边角控制网测定中,为保证其高精度及可靠性,常采用高精度激光测距仪如ME3000单独测定斜距,而由Wild T3经纬仪单独测定垂直角。由于斜距和垂直角并不相对应,显然就不能采用式(3-13)来得出平距。但仍可由三角高程测定的高差来得出平距。虽然在求高差的公式中也包含平距,但由于两点间高差及两点在平均高程面上的距离都具有惟一性,因此可联合利用求平距及求高差的公式进行迭代计算,在此介绍不需迭代、直接解算的解式8。由斜距和高差求得的平距为 （3-20）式中,S12为实测斜距,i1及v2分别为A点上的测距仪高及B点上的棱镜高。由双向观测的垂直角12、21及平距S0计算A、B两点间平均高差h可采用下式 （3-21）将式(3-21)代入式(3-20)得出平距S0的一个二次方程式及解式 (3-22) （3-23）将式(3-23)代入式(3-21),即可求得高差h。若还观测了返测斜距S21,类似地可得出 （3-24） （3-24）式中,q=i2-v1,i2及v1分别为在点B设站及点A设棱镜的测距仪高及棱镜高。将由式(3-23)及式(3-24)所得的S0及S0进行比较,在精度范围内则取平均值,并作为往返测所得的平距平均值代入式(3-21)而得出其高差值9。3.6成绵乐客专毗河特大桥桥墩高程测量中应用案例 在成绵乐客运专线毗河特大桥工程10施工过程中，部分高桥墩高度在7-12 m之间，对于该桥墩身的高程控制，通常的高程测量方法为:首先利用水准仪进行高程测量，在墩身模板底部标示一高程位置，并作标记，再利用钢尺上返量距确定墩顶高程位置，最终的高程测量结果存在水准测量误差和钢尺量距误差，2种误差中钢尺量距误差占的比重较大，不利于高程控制的高精度传递，而在利用钢尺量距过程中必须由人工画标志线，造成桥墩高程传递的误差累积，有时不同桥墩顶的实测高程差和设计高程之差较大，超出四等水准测量要求;在桥墩高程控制中，为了准确地将地面高程传递到墩身顶，在该桥桥墩高程控制采用了三角高程测量和常规水准测量2种方法进行，施测过程中主要以三角高程测量为主，以几何水准测量为辅。为了比较两种测量方法的精度，在该特大桥26#-29#墩身施工完成后，墩顶选择支撑垫石顶作为标志点，分别利用三角高程测量方法和几何水准测量方法测量墩顶各点高程，各墩顶实测数据见表1和表2. 表1 三角高程法测量高程数据 墩身号 26# 27# 28# 29#顶墩垫石设计高程/m490.532490.788491.044491.300三角高程测量高程/m490.530490.785491.042491.304 差值/mm -2 -3 -2 4 表2 水准仪配合钢尺法测量高程数据 墩身号 26# 27# 28# 29#顶墩垫石设计高程/m490.532490.788491.044494.300水准仪测量高程/m490.537490.772491.024491.288 差值/mm 5 -16 -20 -12 由表1和表2可知，利用三角高程测量方法所测各点高程与各点设计高程相比，误差相对较小;而采用几何测量方法所测各点高程与各点实际高程相比，误差成不均匀离散分布。究其原因:利用水准仪配合钢尺测量高程，存在2种误差:一是水准测量误差，二是钢尺传递误差。水准点和桥墩距离在600 m时，水准测量误差接近16 mm(四等水准测量要求)，钢尺传递误差最小不低于3 mm，总误差接近20 mm，故表2中差值较大;而采用全站仪中间设站进行高程测量过程中，利用TCA1201+全站仪测设，其测距精度为1(1 mm+1.5 ppm)，测角精度为，测设中竖角测设2个测回，往返测距，水准点和桥墩距离控制在600 m以内，竖角小于，根据公式可知，高差最大中误差不超过3mm，即高差最大偏差不超过6mm，所以实测中墩顶垫石设计高程和三角高程法测量结果差值较小，最大偏差均不超过6 mm;而桥墩施工完成后测得全桥高差闭合差fh= 20.75 mm，全桥四等水准限差为127.56 mm，满足四等水准要求，取得了预期效果。4为提高严密三角高程测量的精度应采取的措施4.1人以及仪器的影响无论是理想状态下还是实际存在地球曲率和折光影响下，影响三角高程测量精度的因素有仪器高和目标棱镜高的人工量测产生的误差，全站仪照准棱镜是竖直角测量误差以及测距产生的误差。当在理想状态下，我们需要注意以下几点:(1)工作中由于仪器与棱镜高度都需要测量人员来手工量测，所以测量员要有严谨的工作习惯作风，在仪器照准目标棱镜时应尽可能的照准目标，读数准确，从而减少人为误差。(2)因为人的眼睛存在视差，当观测仪器进行垂直角观测时，每个人肉眼对光的敏感度不同，所以应固定一个人进行观测。(3)不同的仪器存在一定的差别，因此应保证一台仪器完成整个工作的测量。4.2地球曲率和大气折光的影响为了分析在实际测量中应用全站仪三角高程测量精度，就必须考虑地球曲率和大气折光系数对观测结果的影响，测量中竖直角、水平距离、大气折光系数产生的测量误差会随着竖直角和水平距离的变化而影响测量精度，所以必须对计算高差中误差进行微分计算。对上而公式(2-6)进行全微分，依据误差传播定律，计算出的高差中误差为: （4-1）方程式(4-1)中分别代表了全站仪三角高程测量中竖直角、水平距离、大气折光系数、仪器高和目标棱镜高的中误差，三角高程测量高差中误差为各个中误差之和。4.3误差各方面的改正 通过上述误差分析，我们不难看出，影响角三角高程进行山区高程测量时误差包括五个部分组成，通过研究分析我们得出以下结论: (1)采用一定的测量方法，通过采用具有高测角精度和高测距精度的全站仪进行三角高程测量，其观测水平可以满足水准测量的要求。（2)随着测量仪器的不断发展，角度和距离的精度越来越高，然而能够准确的测定大气折光系数却很困难，地球曲率和大气折光系数是影响三角高程测量精度的重要因素，大气折光系数的影响将起到重要作用，所以在全站仪三角高程测量中一定要考虑这两个因素的影响，通常通过增加测站，缩短距离的方法，减小地球曲率和大气折光系数的影响11。 (3)由于大气折射率随时间、气象、地形条件等因素的变化而变化，因此，在进行三角高程测量观测时，为避免大气温度变化过大，其观测时间应为上午10时至下午3时12。 (4)竖直角观测误差。对高程误差的影响比距离MD，气体折光影响Mk，仪器高和棱镜高Mi与Mv的误差大的多，所以精确观测竖直角，采用适当的措施提高竖直角的精度。5结束语通过本文讨论可见，现有的由平距和垂直角观测值计算高差的三角高程测量公式不甚严密，如取用测站和照准点两点在其平均高程面上的平距，可抵消一部分影响，当距离较长、高差较大时就难以准确地求定高差，若利用电磁波实测斜距进行三角高程测量，则此影响可忽略不计。即通常采用的由斜距及垂直角求平距的公式所得出的正是测线两端点平均高程面上的平距。在实际的测量生产中，与水准测量比较，全站仪三角高程测量不受观测地形的限制，工作量小，减轻了劳动强度，提高了测量效率，尤其是在起伏变化较大的丘陵，山区的测量，以及在高差较大时具有优越性。高测角精度和高测距精度的全站仪越来越多的出现在测量领域，这使得全站仪在三角高程测量中的应用空间更加广阔。当距离较远时，采用水准式的测量方法，可以很好的避免由于距离远产生的人为和系统误差。（1)通过推导研究水准测量精度指标发现，测站数越多，水准路线测量的中误差越大，精度相应越小;减小测站数可提高水准测量的精度。（2)将平面反射原理应用到水准测量中，可使原本不通视的两点完成高程传递。 （3)调节好绘图平板与平面镜的垂直位置关系后，利用调节使水准泡居中，平面镜处于铅垂位置的方法，有效可行。 (4)与传统测量方法相比，采用平面反射原理进行测量，可以减少测站数，此方法有效减小了高差中误差，提高了精度。参考文献1何立恒，鲍其胜，魏浩翰.论全站仪三角高程测量特点、应用及发展J.勘察 科学技术,2009,(3):22-26.2孔祥元，梅是义.控制测量学(上)M .湖北:武汉测绘科技大学出版社， 1996.3施一民,电磁波测距边归算至投影而的公式论证及应用讨论J.测绘通报，2000,(12):15-18.4施一民.采用三角高程的高差进行测距边倾斜改正的直接解式J.地矿测绘， 1993,(3):12-15.5 郝向阳,赵夫来.数字测图原理与方法M.北京:解放军出版社,2002.6肖根旺.高精度三角高程测量的严密公式J.测绘通报,2004,(10):15-17.7 姜晨光.精密三角高程测量严密计算的理论研究与初步实验J.四川测绘， 1996,（3）:125-128.8 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