层次分析法建模方法及其应用.ppt

层层次分析法 建模方法及其应应用 2012年7月4日 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 目录 一、数学建模核心思想 二、层次分析法的产生背景 三、层次分析法的基本步骤 四、层次分析法的应用实例 五、层次分析法的优缺点 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构 （原型的专业模型） （数学模型） 例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型 抽象 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构 （原型的专业模型） （数学模型） 例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型 抽象 2、数学模型（抽象模型） 即对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目 的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 一、数学建模核心思想 1、原型 原型的结构 数学的结构 （原型的专业模型） （数学模型） 例如：飞机模型 房屋模型 沙盘地形模型 抽象 2、数学模型（抽象模型） 即对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目 的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 3、数学建模即用数学工具建立数学模型的过程。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外 报考学校：重点、非重点、工科类、综合类 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 二、层次分析法的产生背景 1、日常生活中决策问题的困扰 买衬衫：棉的、丝的、麻的、花的、白的、红的 请吃饭：中餐、西餐、家宴、饭店 去旅游：苏杭、海南、云南、西藏、国外 报考学校：重点、非重点、工科类、综合类 毕业去向：考研、找工作、考公务员、出国 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 二、层次分析法的产生背景 2、层次分析法的提出 人们在作比较、判断、评价、决策时，经济、社会 、人文等因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量 化，人的主观选择会起着相当主要作用，这就给用一般 的数学方法解决问题带来本质上的困难。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 二、层次分析法的产生背景 2、层次分析法的提出 人们在作比较、判断、评价、决策时，经济、社会 、人文等因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量 化，人的主观选择会起着相当主要作用，这就给用一般 的数学方法解决问题带来本质上的困难。 T.L. Saaty等人在七十年代提出一种能有效地处 理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（ Analytic Hierarchy Process.简称AHP），这 是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方 法。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型 最高层 目标层 中间层 准则层 最底层 方案层 目标层 准则1准则2准则3 方案1方案2 方案3 Your company slogan 目标层O(选择旅游地) P2 黄山 P1 桂林 P3 北戴河 准则层 方案层 C3 居住 C1 景色 C2 费用 C4 饮食 C5 旅途 例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择. 层次分析法建模方法及其应用 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 2、构造成对比较矩阵（正互反矩阵） 两两相互比较，对比时采用相对尺度，以尽可能地减 少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 2、构造成对比较矩阵（正互反矩阵） 两两相互比较，对比时采用相对尺度，以尽可能地减 少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 （1）符号说明 表示层次结构中某一层中第 个因素 表示 ， 对上一层某因素的影响之比 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 （2）用19比较尺度法确定 的取值 尺度 含义 1 与 的影响相同 3 比 的影响稍强 5 比 的影响强 7 比 的影响明显强 9 比 的影响绝对地强 2、4、6、8 与 的影响之比在上述相邻等级之间 19的倒数 与 的影响之比与上述相反（“强”改为“弱” ） Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 （3）正互反矩阵 其中 Your company slogan A是正互反阵 要由A确定C1, , Cn对O的权向量 选 择 旅 游 地 层次分析法建模方法及其应用 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 补充： 若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 补充： 若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。 设 阶正互反矩阵 的特征根为 ， （1）当 时， 为一致阵。因素 对上层因 素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一 化的特征向量表示。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 补充： 若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。 设 阶正互反矩阵 的特征根为 ， （1）当 时， 为一致阵。因素 对上层因 素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一 化的特征向量表示。 （2）当 时， 不一致。（可在一定范围内允 许使用），权向量用 的最大特征根的归一化的特征 向量表示。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 补充： 若正互反矩阵 满足 则 称为一致性矩阵，简称一致阵。 设 阶正互反矩阵 的特征根为 ， （1）当 时， 为一致阵。因素 对上层因 素的权重即权向量用 的对应于特征根 的、归一 化的特征向量表示。 （2）当 时， 不一致。（可在一定范围内允 许使用），权向量用 的最大特征根的归一化的特征 向量表示。 注意：必须对不一致的正互反矩阵进行一致性检验， 以保证其在一定范围内可以使用。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 3、计算权向量并做一致性检验（相邻层次间） （1）计算权向量 可以通过“幂法、和法、根法、特征根法、对数最小 二乘法、最小二乘法” 求矩阵的特征根和特征向量。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 3、计算权向量并做一致性检验（相邻层次间） （1）计算权向量 可以通过“幂法、和法、根法、特征根法、对数最小 二乘法、最小二乘法” 求矩阵的特征根和特征向量。 现介绍最简便的“和法”，即取列向量的算术平均： 将 的每一列向量归一化得 对 按行求和得 将 归一化 即为近似特征向量 计算 ，作为最大特征根的近似值。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 举例说明： Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 举例说明： 列向量 归一化 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 举例说明： 列向量 归一化 按行 求和 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 举例说明： 列向量 归一化 按行 求和 归一化 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 举例说明： 列向量 归一化 按行 求和 归一化 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 举例说明： 列向量 归一化 按行 求和 归一化 注：精确计算可得 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 （2）一致性检验 一致性指标 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 （2）一致性检验 一致性指标 随机一致性指标 ，即 的平均值。 n 1 234567891011 0 0 0.5 8 0.9 0 1.1 2 1.2 4 1.3 2 1.4 1 1.4 5 1.4 9 1.5 1 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 （2）一致性检验 一致性指标 随机一致性指标 ，即 的平均值。 构造一致性比率 n 1 234567891011 0 0 0.5 8 0.9 0 1.1 2 1.2 4 1.3 2 1.4 1 1.4 5 1.4 9 1.5 1 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 （2）一致性检验 一致性指标 随机一致性指标 ，即 的平均值。 构造一致性比率 若 ，则 的不一致程度在容许范围内。 若 ，则误差较大，需要调整 。 n 1 234567891011 0 0 0.5 8 0.9 0 1.1 2 1.2 4 1.3 2 1.4 1 1.4 5 1.4 9 1.5 1 Your company slogan “选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验 准则层对目标的成对比较阵 最大特征根=5.073 权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 一致性指标 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1 通过一致 性检验 层层次分析法建模方法及其应应用 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要 自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合 一致性检验。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要 自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合 一致性检验。 不妨设层次结构有三层，第一层目标层有一个因素，第 二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要 自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合 一致性检验。 不妨设层次结构有三层，第一层目标层有一个因素，第 二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。 第二层对第一层的权重为 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 4、计算组合权向量并做组合一致性检验 最底层各方案对目标层的权向量称为组合权向量。需要 自上而下地将各层次间的权重进行合成，并逐层进行组合 一致性检验。 不妨设层次结构有三层，第一层目标层有一个因素，第 二层准则层有n个元素，第三层方案层有m个元素。 第二层对第一层的权重为 第三层对第二层各准则的权重为 可构成矩阵 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 （1）计算组合权向量 由上述权向量可计算第三层对第一层的组合权向量为 即 矩阵与 矩阵的乘积可得 矩阵（ 维列向量） Your company slogan 组合权向量 记第2层（准则）对第1层（目标） 的权向量为 同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 方案层对C1(景色)方案层对C2(费用) 层层次分析法建模方法及其应应用 方案层对C3(居住) 方案层对C4(饮食)方案层对C5(旅途) Your company slogan 第3层对第2层的计算结果 k1 0.595 0.277 0.129 3.005 0.0030.00100.0050 3.002 0.682 0.236 0.082 2 3 0.142 0.429 0.429 3 3.009 0.175 0.193 0.633 4 3 0.668 0.166 0.166 5 组合权向量 RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110 方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T 层层次分析法建模方法及其应应用 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 三、层次分析法的基本步骤 （2）进行组合一致性检验（逐层进行） 若第三层对于第二层的一致性指标为 随机一致性指标为 第二层对第一层的一致性比率为 则第三层对第一层的组合一致性比率为 若 ，则认为整个层次的比较判断通过一致性检验。 Your company slogan 层次分析法的基本步骤小结 1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标 准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。 2）构造成对比较阵 用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。 3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*） 组合权向量可作为决策的定量依据。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 四、层次分析法的应用实例 应用领域：经济计划和管理、能源政策和分配、人 才选拔和评价、生产决策、交通运输、科研选题、产业 结构、教育、医疗、环境、军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析模型是关键一步，要有主要决策层参 与。 构造成对比较矩阵是数量依据，应有经验丰富、判 断力强的专家给出。 Your company slogan 国家综合实力 国民 收入 军事 力量 科技 水平 社会 稳定 对外 贸易 美、俄、中、日、德等大国 工作选择 贡 献 收 入 发 展 声 誉 关 系 位 置 供选择的岗位 例1 国家 实力分析 例2 工作选择 Your company slogan 过河的效益 A 经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3 节 省 时 间 C1 收 入 C2 岸 间 商 业 C3 当 地 商 业 C4 建 筑 就 业 C5 安 全 可 靠 C6 交 往 沟 通 C7 自 豪 感 C8 舒 适 C9 进 出 方 便 C1 0 美 化 C1 1 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D3 （1）过河效益层次结构 例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择 Your company slogan 过河的代价 A 经济代价 B1 环境代价 B3 社会代价 B2 投 入 资 金 C1 操 作 维 护 C2 冲 击 渡 船 业 C3 冲 击 生 活 方 式 C4 交 通 拥 挤 C5 居 民 搬 迁 C6 汽 车 排 放 物 C7 对 水 的 污 染 C8 对 生 态 的 破 坏 C9 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D2 （2）过河代价层次结构 例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择 Your company slogan 待评价的科技成果 直接 经济 效益 C11 间接 经济 效益 C12 社会 效益 C13 学识 水平 C21 学术 创新 C22 技术 水平 C23 技术 创新 C24 效益C1水平C2 规模C3 科技成果评价 例4 科技成果 的综合评价 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 五、层次分析法的优缺点 1、优点 （1）系统性：层次分析把研究对象作为一个系统，按照分 解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分 析（用经典的数学工具分析现象的因果关系）、统计分析 （以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律） 之后发展起来的系统分析的重要工具。 Your company slogan 层层次分析法建模方法及其应应用 v 五、层次分析法的优缺点 1、优点 （1）系统性：层次分析把研究对象作为一个系统，按照分 解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分 析（用经典的数学工具分析现象的因果关系）、统计分析 （以随机数学为工