《概率论部分例题》PPT课件.ppt

(3) 解 (1) (2) 设 P(A)= 0.4, P(B)= 0.3, P(AB)= 0.6, 求P(AB), 例3 = 0. 4 + 0. 3 - 0. 6 = 0. 1 ; 由加法公式 B AB AB A = 0. 4 - 0. 1 = 0. 3 ; 余概公式 = 0. 4 + ( 1- 0. 3 ) - 0. 3 = 0. 8 ; B 1.1.2 解 设 P(A)= P(B)= P(C)= 1/4 , P(AC)= P(BC)= 1/6 , P(AB)= 0， 例4 1-(1/4 + 1/4 + 1/4 - 0 - 1/6 - 1/6 + 0 ) = 7/12 . 由概率的非负性可知 对偶律 余概公式 加法公式 求事件 A , B, C 全不发生的概率. 1.2.2 (1) A 包含的样本点数n! 由于每个粒子落入格子有N种方式n个粒子落入N个格子有Nn 种 (2)A = 恰有n个格子中各有一个粒子； (1) A = 指定的n个格子中各有一个粒子； 解 例1(分房模型) 有n个不同的粒子，每个粒子都以同样的概率落入 N（ ）个格子的每一格子中，试求下述事件的概率： 123 . N (2) 先选出n个格子-N个格子中选取n个有 种 即 的样本点数为 。 n个 1.3 (2) 先任取一只, 作测试后不放回, 在剩下的中再任取一只. 一个盒子中装有10个大小、形状完全相同的晶体管， 其中 3 只是次品. 例2 按下列两种方法抽取晶体管： (1) 先任取一只, 作测试后放回盒中, 再任取下一只； 有放回抽样 无放回抽样 试分别对这两种抽样方法, 求从这10只晶体 管任取 2 只中，恰有一只是次品的概率. 解设 A = 抽取的 2 只晶体管中恰有一只是次品 (1)有放回抽样： 由于每次都是从10只中取 10 10 种取法 即 的样本点数 n = 10 2， 第 1 次取到合格品，且第 2 次取到次品 第 1 次取到次品，且第 2 次取到合格品 A: 7 3 3 7 共有 7 3 + 37 = 42 种取法 古典概型 (2)无放回抽样： 第 1 次是从10只中取, 第 2 次是从 9 只中取， 10 9 种取法 即 的样本点数 n = 109， A: 共有 7 3 + 37 = 42 种取法 古典概型 1.3 将n个球随机放入N（Nn ）个盒子中，试求 每个盒子中至多一个球的概率？（盒子的容量不限） 解 例5 每个盒子里放一个的方法一共有 将n个球随机放入N（Nn ）个盒子中，一共有 种不同的放法。 1.3.1 将15名学生随机地平均分到3个班，这15名学生中有 3名优秀生。问（1）每班分到一名优秀生的概率； （2）3名优秀生分到一个班的概率。 解 例6 15名学生随机地平均分到3个班的分法总数为 设 A每班分到一名优秀生 B3名优秀生分到一个班 (1)优秀生的分法有 种,其他学生分法有 种 。 (2)优秀生的分法有 种,其他学生分法有 种。 1.3.2 设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控期 为 L 单位时间，该期间内随时可提取尿样化验. 问该人员 复吸且被检验出的概率是多少？ 例7 设该人员随 时可能复吸，且复吸后 S 单位时间内尿样呈阳性反应， 解 x 复吸时刻; y 提取尿样的时刻, (x, y) 样本点, 样本空间 = (x,y )| 0 x L , 0 y L ， 则 的度量 = L 2. L L S y = x 0 x y A= 该人员复吸且被检验出 A= (x, y )| 0 y -x S , 则 A 的度量 = A 1.3.3 现从这 20 套题 中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套， = , 例3 有 20 套试题，其中7套已在考试中用过. 12 A1 发生后的缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A2 所含样本点个数 解 设 Ai =第 i 次取到的是未曾用过的试题 ， 问在第一次取到 的是未曾用过的试题的情况下, 第二次取到的也是未曾用过的试题 的概率是多少？ i =1, 2. 方法 1) P(A1) P(A1A2) 13 20 方法 2) 的 点数 2019 = 1.4.1 现从中连续取3次 ，每次不放回地取 1 件， 例4 设有 100 件产品，其中有 5 件次品. 则所求概率为： 解 设 Ai =第 i 次取到的是次品, 求第 3 次才取到正品的概率. i =1, 2, 3. 推广到多个事件的乘法公式: 当 P(A1A2An-1) 0 时，有 P(A1A2An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1) 1.4.2 求： (1) 它是由机器甲生产出来的概率；, (2) 它是由哪一部机器生产出来的可能性大. 现从总产品 中随即地抽取一个零件, 发现是不合格品, 已知机器 甲、乙、丙生产的零件分别有 10 %、5 % 和 1 % 不合格, 其中机器甲生产 的占40 % ,机器丙生产的占35 % , 机器乙生产的占25 % , 解 设 B1, B2 , B3 分别表示事件: 任取的零件为甲、乙、丙机器生产, A =抽取的零件是不合格品, 由条件知 例7 三部自动的机器生产同样的零件, (1) 所求概率为 P(B1|A), 由 Bayes公式 0. 714 ; 代入数据得 (2) 类似(1)的计算可得 P(B2|A) 0. 063 , P(B3|A) 0. 223 比较可知是机器甲生产出来的可能性大. 1.4.3 例8：8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校 准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中 靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。 求：所用的枪是校准过的概率。 解：设 A=射击时中靶，B1=枪校准过, B2=枪未校准， 则 B1,B2 是一个划分，由贝叶斯公式，得 1.4.4 P(A1A2A3 ) 对于独立事件，许多概率计算可得到简化： 例2 三人独立地去破译一份密码, 已知各人能译出的概率分别为 1/5, 1/3, 1/4, 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解 将三人编号为1, 2, 3, 所求为 P(A1 A2 A3 ) 记 Ai = 第 i 个人破译出密码 i =1,2,3 注意独立性的概念在计算概率中的应用 已知 P(A1)= 1/5, P(A2)= 1/3, P(A3) = 1/4， = 1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 1.5 例4 设 A、B、C 是三个事件，且 P(A)=0. 3 , P(C)= 0. 6 , P(B|A)= 0. 4 , P( BC )= 0. 72 , B与 C 相互独立，求 P(AB ). 解由于 B与 C 独立， 故 P(BC)= P(B)+ P(C) - P(B)P(C) = P(B)1-P(C) + P(C) = 0.4 P(B) + 0.6 = 0. 72 , P(B)= 0. 3 , P(AB )=P(A)+ P(B) - P(AB)分析 = P(A)P(B|A) = P(A)+ P(B) - P(A)P(B|A ) ? 所以 P(AB )=P(A)+ P(B) - P(A)P(B|A ) = 0. 3 + 0. 3 + 0. 30. 4 = 0. 48 1.5 1. P(B|A) 0 2. P(A|B)= P(A) 3. P(A|B)= 0 4. P(AB)= P(A)P(B) 1. P(B|A) 0 2. P(A|B)= P(A) 3. P(A|B)= 0 4. P(AB)= P(A)P(B) 设 A、B为互斥事件，且 P(A) 0, P(B) 0, 下面四个结论中 ，正确的是： 设 A、B为独立事件，且 P(A) 0, P(B) 0, 下面四个结论中 ，正确的是： 做个小练习： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系 P(A|B)= P(AB)/P(B)= 0 独立性 1.5 被两人击中而击落的 概率为 0.6,求飞机被击落的概率. 三人击中的概率分别为 0.4、0.5、 0.7 . 若三人都击中飞机必定被击落. 设 A= 飞机被击落 ， 由全概率公式 P(A)= P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3) 则 A = AB1 + AB2 + AB3， 解 依题意， P(A|B1)= 0.2, P(A|B2)= 0.6, P(A|B3)= 1， 三人同时对飞机进行射击, 为求P(Bi ) , 设 Hi = 飞机被第 i 人击中 , i =1,2,3 可求得: 将数据代入计算得: P(B1)=0.36， P(B2)=0.41， P(B3)=0.14 ， = 0.360.2 + 0.410.6 + 0.141 = 0.458 即飞机被击落的概率为0.458 . 飞机被一人击中而击落的概率为 0.2 , P(A)= P(B1)P(A|B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3)于是 Bi= 飞机被 i 个人击中 i =1,2,3， 1.5 例：设某射击手每次打中目标的概率是0.05，现在连续 射击100次，求击中目标次数的概率。 又设至少命中5次 才能参加下一步的考核，求该射手不能参加考核的概率 。 解 ： 设X为100次射击中击中目标次数，则 设A=该射手不能参加考核，则 2.2 例1 设随机变量 X 的概率密度为 (1) 确定常数 A； (2) 求 X 的分布函数 F(x); 解(1) (3) 求 P(0X1). 由概率密度定义知 当 x 1)=1- P(X1)F(1) P(0X 80|X 50); 事件 X 80X 50， P(X 80|X 50) - 0.05 x x ) x ) 2. 5)及 P(-1.64 X 2. 5)= 1-(2. 5) P(X 250) = 1- P(X 250) = 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 . 例6 某地区8月份降雨量 X 服从 =185mm , = 28mm 的正态分布， 并求该地区明年 8 月份降雨量 超过250mm的概率. 2.4.2 例8 公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以 下来设计的. 问门高度应如何确定? 解 设车门高度为 h cm, 按设计要求应有 P(Xh)0.01或 P(X 0. 99 ， h=170+13.98 184 . 设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01. 若 XN( , 2 )时，要求满足 P(X x0)= p 的 x0 ： P(X x0)= p 2.4.2 已知1987 年全国普通 高校统考物理成绩XN(42,36), 这表明有16%的考生成绩超过48分， 如果某考生得48分,求有多 少考生名列该考生之前? 例9 (确定超前百分位数、排定名次) 解 由条件知即求 P(X48)， 查表可知 即84%的考生名列该考生之后. = 1-(1), 2.4.2 即成绩高于甲的人数应占考生 的16.9%, 对于录取考试人们最关心的是 自己能否达到录取分数线？ 自己的名次？ 某公司招工300名(正式工280,临时 工20名), 例10 (预测录取分数和考生名次) 解 设考生成绩为X,最低分数线为 x0, 166, X N(166,932)， (1)(预测分数线) 考后由媒体得知： 考试总平均成绩为166分,360分以上的高分考生有31人. 考生甲得 256分,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？ 有1657人参加考试,考试满分为400分. 高于此线的 考生频率为 300 / 1657 高于360分的考生频率为 (2)(预测甲的名次) 当 X=256 时, P(X256) 这表明高于256分的频率应为0.169, 排在甲前应有 甲大约排在281名. 故甲能被录取, 但成为正式工的可能性不大. P(X360) 2.4.2 设 X 具有概率密度 求导可得 当 y 0 时, 注意到 Y = X 2 0，故当 y 0时，FY ( y) = 0; 解 设Y 和X 的分布函数分别为FY ( y) 和 FX (x)， 例3 则 Y=X 2 的概率密度为 Y 服从自由度为1 的 分布 求Y=X 2 的概率密度. 2.5 试证 X 的线性函数 Y=aX+b (a 0) 也服从正态分布. 证 X 的概率密度为 例4 设随机变量 X(, 2 ), 显然 y = g(x) = a x+b可导且g =a 保号 Y=aX+b 的概率密度为由定理知 Y = aX+b N(a +b, (|a| )2 ) 即 注 取 , 验证函数可导且单调 求反函数及其导数 代入定理公式即得函数的密度 注意取绝对值 有 确定y的取值范围 2.5 求 Y = 1- e X 的概率密度. 解 例5 设 X 的概率密度为 显然 y = g(x) = 1- e x 可导, 且g = - e x 保号, Y = 1- e X 的概率密度为由定理知 即 注意取绝对值 2.5 先转化为分布 函数, 再求导 已知 X 的概率密度为 求Y = sinX 的概率密度. 例6 利用分布函数求概率密度： 函数 y = g(x) = sinx 在0,上为非单调函数， 解故不能用定理求. x0, 时, y 0 时, 01) . 解 (1) 0， 其他. (2) 求： 0 1 x y y = x (3) P(X+Y1) 已知边缘密度和条件密度 0 x y y = x y = 1 - x 3.3 解 暂时固定 当 时, 当 时, 故 暂时固定 3.3 暂时固定 暂时固定 当 时, 当 时, 故 3.3 当 时, 综上当 时, 当 时, 暂时固定 3.3 4. 设(X,Y)的概率密度是 A =24. 解 (1) 故 求 (1) A的值 (2)两个边缘密度(3) 3.3 解 (2) 当 时 当 时, 暂时固定 3.3 注意取值范围 综上 , 当 时, 3.3 3.3 综上 , 注意取值范围 3.3 (2) 当 时, 故 暂时固定 3.3 当 时, 故 暂时固定 3.3 X 1 2 3 1/3 1/6 a 1/ 9 b 1/18 Y 1 2 试确定常数 a 与 b , 使X与Y相互独立. 先求(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布列: 解 例1 已知随机变量 (X,Y)的联合分布列为 X 1 2 3 1/3 1/6 a 1/9 b 1/18 Y 1 2 1/3 + a + b 1/3 1/2 1/ 9 + a 1/18 + b 要使X与Y 相互独立, 只需 2/ 9 1/ 9 3.4 则X, Y 的密度函数 分别为: 设他俩到达的 时间是独立的， 解 设X,Y 分别为经理和秘书到达办公室的时刻, 某经理到达办公室的时间均匀分布在812时之间,例6 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时之间. 求他俩到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率. 由于X, Y 相互独立, 依题意所求概率为 0 x y 9 7 8 12 G y - x = -1/12 y- x=1/12 G y - x = -1/12 y-x =1/12 B A C C B 被积函数为常数 直接求面积 先到的人等待另一人到达的 时间不超过5分钟的概率 3.4 = 0. 1 + 0. 2 + 0. 4 + 0. 3 例8 设随机变量X 的分布列为 pk X -1 0 1 2 0.1 0. 2 0.4 0.3 求 E(2X - 1), E(X 2). 解 E(2X -1) 例9 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 求 EX,E(XY). 解 EX E(XY) = 1. 4 ; 4.1 而商场每 销售一单位商品可获利500元, 若供大于求, 则削价处理, 每单位 商品亏损100元; 例12 某种商品每周的需求量 XU10,30, 若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位商品 可获利300元.要使商场获得最大的收益,问应进货多少? 解 设应进货量为 a ( 1至 30 间的某一整数),利润为Y, 则 连续 故当 a =23. 33 时, EY 最大, 故应进货 23 吨. 4.1 我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取 值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 小结 保线性运算 七条性质: 独立性与积 保序性 绝对值性质 柯西许瓦兹不等式 E(XY )2 EX 2 EY 2 4.1 课堂练习课堂练习 1 某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能打 开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把 去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试 开次数的数学期望. 2 2 设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为 4.1 1