高数A习题课-向量.ppt

编辑：孙学峰 制作：彭豪 二、 作业讲析 三、 典型例题讲解 四、 练习题 一、 内容总结 一、 内容总结 1.向量的加法与数乘运算 运算律：交换、结合、分配 称为向量a在基本单位向量 i, j, k下的基本分解式或坐标表示式. ax、ay 、az为 坐标，分别是a在三坐标轴上的投影. 2.向量的分解 a = ax i + ay j+ az k， b =bxi + by j+ bz k a b = (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a = (ax ) i + ( ay ) j + ( az) k a = ax i + ay j+ az k 若在三维空间中不建立直角坐标系，同样可 研究向量的分解及向量的坐标运算。 设, , 为三个线性无关向量,a为任意向量， 则存在唯一一组数x,y,z,使得 a = x+ y+ z 3.数量积、向量积、混合积 设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), c = (cx , cy , cz),则 a b = ax bx + ay by + az bz a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k 复习数量积、向量积、混合积的运算性质、几何意义、物理意义。 4.平面 建立平面方程的基本方法：点法式、截距式、一般式。 点到平面的距离的向量式表达。 平面之间的位置关系。 二、 作业讲析（练习册 P32 1.1） 五、已知PA =(2,-3, 6) ，PB =(-1,2,-2) ， |PC|= ，且PC 平分APB，求向量PC。 B PA C D 解： |PA|=7, |PB|=3.记APB=2，利用数量积易求得 如图，过B作PA的平行向量BD交PC于D，显然 |PB|= |BD|=3.于是PD=PB+BD=PB+3/7PA 六、已知一向量的模为2，且与x轴和y轴的正向成等角，与z轴 正向的夹角则是它们的两倍，求该向量。 解：依题意只需求出向量的方向角即可。可设它的三个方向角 分别为,2,于是有 三、 典型例题讲析 例1.设|a|=2, |b|=1,= .若向量m=a+b与向量n=a-b垂直,求. 解：mn= aa-ab+ba-bb=4+-2=5-2=0 故=2/5 例2.设a,b,c为不共线的三向量，那么它们能构成三角形a+b+c=0的 充要条件是ab=bc=ca. 证：必要性:利用向量积的性质得（a+b+c)a=ba+ca=0 即ab=ca.同理可证ab=bc. 充分性：由条件ab=bc=ca知，三向量a,b,c共面， 于是有不全为0的1,2,3,使得1a+2b+3c=0 在上式两边与a,b作叉积得2ab+3ac=0, 1ab+3cb =0 1= 2= 3且非零。于是得a+b+c=0。 例3.设(ab)c=1,求(a+b)(b+c)(c+a). 解： (a+b)(b+c)(c+a) = (ab)+(ac)+(bb)+(bc)(c+a) = (ab)c+ (ac)c+(bc)c+(ab)a+(ac)a+(bc)a = (ab)c+0+0+0+0+(ab)c=2 例4.设a,b,c为两两正交的向量，且|a|=1, |b|=2，|c|=3. 求向量d= a+2b+3c的长度。 解： dd=(a+2b+3c)(a+2b+3c） = aa+2ab+3ac+2ba+4bb+6bc+3ca+6cb+9cc = 12 +422 +932 =98 |d|= 例5.设a,b是两个非零向量， |a|=2, = = |a|cos = 1 例6.求过y轴并和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离的平面方程 。 解：所求平面过y轴，故可设其方程为Ax+Cz=0. 平面和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离，故有 于是A=-C或A=-3C，故所求平面方程为 x-z=0或3x-z=0 例7.证明平面1: 2x -y +1 = 0, 2: x +2y +z+1 = 0, 3: 3x +y +z+2 = 0属于同一平面束(相交于同一直线), 并求束里经过点P(1,0,1)的平面方程。 解：显然1与2不平行，过其交线的一切平面方程 （除2外）均可表示为 2x -y +1 +( x +2y +z+1)=0 （1） 显然3是上述方程中取1的结果，即1、2、 3 属同一平面束。 将P(1,0,1)的坐标代入（1）式解得=-1 故所求平面方程为x-3y -z= 0 例8.对于平面Ax+By+Cz+D=0，若规定法向量n=(A,B,C) 所指一侧为平面的正侧，另一侧为负侧，那么D的符号就 决定了原点在平面的侧位。试讨论之。 解：首先研究D的几何意义。 D=A(-x)+B(-y)+C(-z) =nMO = |n| |MO|cos 当原点在平面正侧时,D0;在平面负侧时,D= ,求|mn|. 2.向量x同时垂直于a=(2,3,1)和b=(1,-1,3),且与c=(2,0,2) 的数量积为-10，求x. 3.证明a=(-1,3,2),b=(2,-3,4), c=(-3,12,6)在同一平面上， 并将c用a,b表示出来. 4.证明：若三向量a,b,c不共面,d同时垂直于a,b,c,则d=0. 5*.证明： (ab)c= (ac)b- (bc)a. 6.已给平面 1:A1x+B1y+C1z+D1 =0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0, 试用矩阵 的秩为条件，判断平面的相交、平行与重合。 7.求过 x 轴和点 M(1, 2, 3) 的平面方程. 8.设平面 过点P(-1, 0, 1), Q(1, 2, 1)且与 平面1：x+y+z+1=0垂直， 求平面(称为PQ到1的 投影平面)的方程 . 9*.四平面y-z=0, x-y=0, x+z-1=0, y=0围成一立体， 求立体体积. 10*.平面6x+y=6, 2x+y=6, x+y+z=6, y=0,z=0围成