《建筑力学》11章静定结构的内力分析.ppt

第十一章 静定结构的内力分析 v第一节 楼梯斜梁和多跨静定梁 v 1. 楼梯斜梁 v 楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿斜梁 水平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等 ；另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如 梁的自重等。 v 一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分 布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向 荷载，如图11-1 (a)，沿梁轴线方向分布的荷载 转 换为沿水平方向分布的荷载 ，则由于是等值转换 ，所以有： 图11-1 以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁 为例进行内力分析，如图11-1 (b)所示 ， 根据平衡条件，可以求出支座反力为： ， 由平衡条件得： ， ， ， 由此即可绘出其内力图，内力图绘制 ： 以梁轴为轴线 ，内力图竖标 垂直梁轴。 如 图11-1 (d)所示。由上可知：弯矩图为抛 物 线形，跨中弯矩为 ，它与承受相同荷 载的水平简支梁完全 相同， 图与同样条件的水平简支梁的 图 形状相同，但数值是水平简支梁的 倍 。 v2多跨静定梁 v（1）多跨静定梁几何组成 v 多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁 用铰连结而成，并用来跨越几个相连跨度的 静定梁。这种梁常被用于桥梁和房屋的檩条 中，如图11-2所示。其简图如图11-3(a)所 示。 v多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本 形式，第一种基本形式如图11-3 (a)所示,其 层次图如图11-3(b)所示；第二种基本形式 如图11-4(a)所示 ，其层次图如图11-4 (b)所 示。 图11-2 图11-3 图11-4 v（2）多跨静定梁的特点 v 结构组成：组成整个结构的各单跨梁可分为基本部分和附属部分。 v 基本部分：结构中凡本身能独立维持几何不变的部分。如图11-3： AB、EF、IJ； 图11-4：AB。 v 附属部分：需依赖其它部分支承才能保持几何不变的部分。如图 11-3：CD、GH；图11-4：CD、EF、GH。 v 传力关系：荷载作用在基本部分上，基本部分受力，附属部分不 受力；荷载作用在附 属部分上，附属部分受力，基本部分也受力。 v（3）多跨静定梁的内力计算 计算方法、顺序：拆成单跨梁，先附属部分，后基本部分。 计算步骤： 画出层次图，拆成单跨梁； v 由上而下，依次绘制各单梁内力图； v 将各单跨梁的内力图联成一体，即为多跨静定梁的内力图。 v 注意：由上而下画层次图、受力传递图时，各梁上除作用有荷 载外，还有上层传来的支座反力；（多跨静定梁拆成单梁后，从附 属部分到基本部分，依次由静力平衡方程求出各支反力反向作用于 下层也为荷载。） 内力图画在原结构简图上。 v 上述先附属部分后基本部分的计算原则，也适用于由基本部分和 附属部分组成的其他类型的结构。 v【例11-1】试作出如图11-5(a)所示的四跨 静定梁的弯矩图和剪力图。 图11-5 解题步骤和方法详见教材 v第二节 静定平面刚架 v 1.平面刚架的概念 v 刚架是由梁、柱等直杆组成的具有全部或 部分刚结点的结构。如图11-7。 图11-7 v2平面刚架的特点 v （1）刚架整体刚度大，在荷载作用下，变形较小； v （2）刚架在受力后，刚结点所连的各杆件间的角度保持不 变，即结点对各杆端的转动有约束作用，因此刚结点可以承受 和传递弯矩，这样刚架中各杆内力分布较均匀，且比一般铰结 点的梁柱体系小，故可以节省材料； v （3）由于刚架中杆件数量较少，内部空间较大，所以刚架 结构便于利用。 v 3平面刚架的类型 v 静定平面刚架通常可分为简支刚架图11-7 (a)、悬臂刚架图 11-7 (b)、三铰刚架图11-7 (c)和组合刚架（多层多跨刚架）图 11-7 (d)、(e)等型式。 v 4平面刚架的支座反力计算 v 静定刚架支座反力的计算是内力计算的前提。一般悬臂刚架 无需计算反力，简支刚架取整体为研究对象，列平衡方程计算 ；三铰刚架取其中一半和整体或分别取两半部分为对象计算； 而多层多跨刚架则需首先分析几何组成，然后先计算附属部分 ，再计算基本部分。 v 5平面刚架的内力及内力图 v （1）刚架的内力及正负号确定 v求刚架的内力及内力图，内力的正负规定同前，求截面的内力仍然采用截面法， 即沿杆端截面截开，按正向假定内力 、 、 ，也可任意方向假定，取隔离体， 建立平衡方程计算。 v内力图的画法：弯矩图画在杆件的受拉一侧，不注正、负号，刚架杆件均为直杆 ，每一直杆段均可以利用分段叠加法绘制弯矩图；剪力图画在杆件的任一侧，但 应注明正、负号；轴力图画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。 v(2）杆端内力的表示：如： 、 、 、 、 、 等。 v注意：刚结点处不同方向有不同的杆端内力。 v为了明确表示刚架上不同截面的内力，特别是为了区别汇交于同一结点的不同杆 端截面的内力，在内力符号右下角采用两个脚标；第一个脚标表示内力所属截面 ，第二个脚标表示该截面所属杆件的另一端。例如 表示AB杆A端截面的弯矩， 则表示AB杆B端截面的弯矩。 v（3）内力图绘制 v静定刚架内力图有弯矩图、剪力图、轴力图。刚架的内力图由各杆的内力图组合 而成，而各杆的内力图，只需求出杆端截面的内力后，即可按照梁内力图的绘制 方法画出。 v6平面刚架计算步骤 v（1）求支座反力（由整体或部分为研究对象） v（2）求各杆端内力（由脱离体为研究对象） v（3）分段绘各杆内力图（按内力图变化特征绘制） v（4）校核内力图：（由杆件、结点处平衡条件） v第三节 静定平面桁架 v 1桁架及其特点 v 桁架是由直杆通过铰结点连接而成的链杆体系，各个杆件内主要受 到轴力的作用，截面上应力分布较为均匀，可以充分发挥材料的作用 。 v在工业建筑及大跨度公用建筑中的屋架、托架、檩条，如图11-12(a) 所示，以及桥梁结构工程中常采用桁架结构。 图11-12 v2桁架计算简图的基本假设 v 实际的桁架结点构造形式多样，比较复杂，为便于计算，桁架的计算简图 常采用下列假定： v(1) 连结杆件的各结点都是无摩擦的理想铰结点； v(2) 各杆件的轴线都是直线，都在同一平面内，并且都通过铰的中心； v(3) 荷载和支座反力都作用在结点上，并位于桁架平面内。 v(4)桁架杆件的自重可忽略不计，或将杆件的自重平均分配在桁架的结点上。 v 满足上述假定的桁架称为理想桁架，在绘制理想桁架的计算简图时，以 轴线代替各杆件，且都是只承受轴力的二力杆，以小圆圈代替铰结点，如图 11-12 (b)所示。 v 3.桁架的各部分名称，如图11-13所示 。 图11-13 v4桁架的分类 v（1） 按照桁架的外形分类 v 平行弦桁架，如图11-14(a)所示； v 折线形桁架， 如图11-14 (b)所示； v 三角形桁架， 如图11-14 (c)所示； v 梯形桁架，如图11-14 (d)所示； v 抛物线形桁架，如图11-14(e)所示。 v（2）按照桁架的几何组成分类 v 简单桁架：以一个基本铰结三角形为基础，依次增加二元体而组成的无 多余约束的几何不变体系，如图11-14(a)、(d)、(e)所示。 v 联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系组成规则组成的桁架，如图 11-14(c)、(f)所示。 v 复杂桁架：不属于前两类的桁架即为复杂桁架，如图11-14(b)所示。 图11-14 返回 v5.桁架的内力计算 v （1）桁架内力 v 正负号规定：理想桁架中各杆件均为二力杆，杆件内力只有轴力， 规定轴力以拉力为正，以压力为负。 v内力计算方法：结点法、截面法、联合法（结点法与截面法的联合应 用），截面法比较适用于求少数特定杆的内力，结点法适用于求全部 桁架杆的内力。 v（2）零杆 v 桁架中内力为零的杆件称为零杆。在计算之前先断定出哪些杆件为 零杆，哪些杆件内力相等，可以使后续的计算大大简化。零杆只是在 某种荷载作用下轴力为零的杆，不能从结构中去掉。当结构上的荷载 变化时，零杆的位置也随着改变。 v 在判别零杆时，可以依照下列规律进行： v 对于没有外力作用的两杆结点，则两杆均为零杆，如图11-15 (a) 所示；当外力沿其中一杆的方向作用时，该杆内力与外力相等，另一 杆为零杆，如图11-15（b)所示。 v 对于无外力作用的三杆结点，若其中两杆共线，则第三杆为零杆 ，其余两杆内力相等，且内力性质相同（均为拉力或压力）。如图11- 15 (c)所示。 图11-15 返回 v如图11-16所示去掉零杆后结构变得更简单 ，可使计算简化 图11-16 v3）几种特殊结点 v使用结点法时，熟悉如图11-17所示的几种特殊结点，可使计算简化，对题解 有益处： v L型结点。不在一直线上的两杆结点，当结点不受外力时，两杆均为零杆， 如图11-17 (a)所示。若其中一杆与外力F共线，则此杆内力与外力F相等， 另 一杆为零杆，如图11-17 (d)所示。 v T型结点。两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不受外力时，第三杆为零 杆，如图11-17 (b)所示。若外力F与第三杆共线，则第三杆内力等于外力F， 如图11-17 (e)所示。 v X型结点。四杆结点两两共线，如图11-17 (c)所示，当结点不受外力时， 则共线的两杆内力相等且符号相同。 v K型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在该直线同侧且与直 线夹角相等，如图11-17 (f)所示，当结点不受外力时，则非共线的两杆内力大 小相等但符号相反。 v以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。 v（4）结点法计算桁架的内力 v 结点法是指以截取的结点为研究对象，根据外力和杆件内力组成的平面汇 交力系平衡方程计算杆件内力的方法。 v实际计算时，可以先从未知力不超过两个的结点计算，求出未知杆的内力后 ，再以这些内力为已知条件依次进行相邻结点的计算。 图11-17 返回 v例11-5 试用结点法解算图11-18所示桁架 中各杆的内力 。 图11-18 解题要点：选取节点时，该节点上最多只能有两个未知力。 详解教材见 v提一下结点单杆的概念。如果在同一结点身外所有内力为未知的各杆中，除 某一杆外，其余各杆都共线，则该杆称为结点单杆。关于结点单杆有下面两 种情况： v结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，如图11-20（a）所示，则每 杆都是单杆； v结点只包含三个未知力，其中有两杆共线,如图11-20（b），则第三杆是单 杆。 图11-20 v 结点单杆有以下性质： v 结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。而非结点单杆的内力则不 能由该结点的平衡条件直接求出。 v 当结点无荷载作用时，单杆的内力必为零。或者说，无载结点的单杆必为零杆 。图11-21(a)所示桁架在荷载作用下，只有用粗线表示的各杆（杆AB杆HI)内力不为 零，其余各杆都是零杆。因为按照图中数字标明的次序，可依次判断它们是无载结点 的单杆。 v 如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架即可应用结点法按照 每次只解一个未知力的方式将各杆内力求出。计算程序应按照拆除单杆的程序进行。 图11-21 (b)所示桁架虽不是简单桁架，但可以依靠拆除单杆的方法将整个结构拆完 ，拆除次序如图11-21(c)中数字所示。各杆内力可采用结点法求出。运算直接在桁架 图上进行。因为对称，图11-21 (c)中只注明了一半。 图11-21 v（5）截面法计算桁架的内力 v 用一假想截面将桁架分为两部分，其中任一部分桁架上的各力(包括外荷载 、支座反力、各截断杆件的内力)，组成一个平面一般力系，根据平面一般力 系的平衡方程，即可求解被截断杆件的内力。 v 平面一般力系的三个独立平衡方程可求解三个未知量，所以一般情况所截断 的杆件不应多于三个，且不全平行，不全相交。如图11-22所示。 图11-22 v 提一下截面单杆的概念。如果某个截面所截的内力为未知的各杆中，除 某一杆外其余各杆都交于一点(或彼此平行-交点在无穷远处)，则此杆称为 该截面的单杆。关于截面单杆有下列两种情况： v 截面只截断三个杆，且此三杆不交于一点(或不彼此平行)，则其中每 一杆都是截面单杆(如图11-22中截面所截断的杆都是单杆)。 v 截面所截杆数大于三，但除某一杆外，其余各杆都交于一点(或都彼 此平行)，则此杆也是截面单杆(如图11-23中的a杆是截面m-m的单杆)。 v 截面单杆具有如下性质：截面单杆的内力可从本截面相应的隔离体的平 衡条件直接求出。对于第一种截面单杆，上述性质是显然的。对于第二种 截面单杆，由图11-23也容易得出上述结论。实际上，在图11-23（a）中 ，单杆a的轴力可利用其余各杆交点0的力矩方程求出；在图11-23（b）中 ，单杆a的轴力可利用沿其余各杆垂直方向的投影方程求出。 图11-23 v【例11-6】 计算图11-24所示桁架CD杆、HC杆 的内力。 图11-24 v详解见教材 v（6）结点法与截面法的联合应用 v 欲求图11-26所示a杆的内力，如果只用结点法计算，不论取哪个结 点为隔离体，都有三个以上的未知力无法直接求解；如果只用截面法 计算，也需要解联立方程。 v 为简化计算，可以先作-截面，如图所示，取右半部分为隔离 体，由于被截的四杆中，有三杆平行，故可先求1B杆的内力，然后以 B结点为隔离体，可较方便地求出3B杆的内力，再以3结点为隔离体， 即可求得a杆的内力。 图11-26 v第四节 三铰拱 v1三铰拱的基本概念 v拱式结构是工程中应用较广泛的结构型式之一，我国远在古代就在桥梁和房 屋建筑中采用了拱式结构。例如公元600605年建成的河北赵州桥以37 02m的跨度保持了近十个世纪的世界纪录。在近代土木工程中，拱是桥梁、 隧道及屋盖中的重要结构型式，如图11-29所示为1972年投入使用的永定河七 号铁路桥，这是我国当时最大跨度(150m)的钢筋混凝土拱桥。 图11-29 v（1）拱的概念 v 拱式结构是指杆轴为曲线，在竖向荷载作用下，支座处产生水平推力的结 构，如图11-30所示。 图11-30 v（2）拱的形式 v 拱的形式一般有无铰拱（图11-31（ a）、两铰拱（图11-31（b）、三 铰拱（图11-31 （c）、（d）、（e）等几种。 图11-31 v（3）拱的各部分名称，如图11-32所示， 高跨比 ： 图11-32 v2三铰拱的计算 v 为了计算简单明了，下面以拱脚在同一水平线上的三铰拱和同荷载同跨度 的水平简支梁做比较，导出三铰拱内力的计算方法，如图11-33所示。 图11-33 v（1） 计算支座反力 v 取整个结构为隔离体，根据平衡条件可得： ， ， ， ， v由于C点为铰连接，C点处的弯矩为零，故以左半跨为隔离体对C点取矩，建 立补充方程： v对于简支梁（如图11-28 (b)所示）可以按同样的方法求出： ， vC点的弯矩为： v由上述各式可以得出： v（2） 内力的计算 v 拱的内力计算时，仍按截面法计算，且截面应与拱轴垂直，该截面的位置 由截面形心的坐标x、y及该截面处拱轴切线的倾角来确定。 v 如图11-33(a)所示，设计算截面K的三个参数分别为 、 、 ，该截面上 的内力有 (内侧受拉为正）、 (绕隔离体顺时针转动者为正）和 （以压 力为正）。 v 下面分别讨论三种内力的计算方法。 v 弯矩的计算 v 取K截面以左为隔离体，如图11-33 (c)所示，对K截面取矩： v简支梁在相应位置处的弯矩也可由静力平衡条件求出，如图11-33 (d)所示： v由于 ，所以三铰拱K截面上的弯矩为： ， v剪力的计算 v如图11-33(c)所示，以 方向为y轴， 方向为x轴，建立坐标系，则 ， ， ， v相应简支梁在K截面处的剪力计算如下，如图11-33(d)所示： v由于 ，所以： v轴力的计算 v坐标系与求剪力时坐标系相同，则： v 由以上可知：支座水平推力与拱轴曲线形状无关，而只与荷载及三个铰的 位置有关；当荷载与跨度确定时， 为定值，水平推力与矢高成反比关系， 愈大，拱愈高，则推力愈小； 愈小，拱愈扁平，则推力愈大。因推力关 系，拱内弯矩、剪力较之相应的简支梁都小。因此拱结构可比梁跨越更大的 跨度；但拱结构支承不及梁的经济。拱内以轴力(压力)为主要内力。 v 三铰拱的特点：拱要比梁有更坚固的支承；拱可跨越较梁更大的跨度 ；由于拱各截面弯矩值较简支梁小，截面轴力大，所以宜用脆性材料。 v