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感悟“空间与图形”的 教学策略 抚顺市教师进修学院 李江萍 感悟“空间与图形”教学策 略 n一、课程标准的要求 n二、教学中注意的问题 n三、“空间与图形”的教学策略 n四、教学案例分析 一、课程标准的要求 （一）“空间与图形”的教育价值 学习 “空间与图形”课程将有助于学 生更好地理解人类赖以生存的空间； 有助于学生发展直觉思维，形成创新 意识；有助于学生推理能力、解决问 题能力和情感态度的发展。 “空间与图形”的内容和课程的目 标 突出空间与图形的现实背景，把课程内容 与学生的生活经验有机地融合，与数学课 程中的分支进行整合，从而拓展空间与图 形的学习背景，使学生更好地认识、理解 和把握自己赖以生存的空间，发展学生的 几何直觉、空间观念和推理能力（包括合 情推理与演绎推理）；通过对基本图形的 基本性质的论证，使学生体会证明的必要 性，理解证明的基本过程，掌握用综合法 证明的格式，初步感受公理化思想；注重 使学生经历观察、操作、推理、想象等过 程，倡导自主探索、合作交流与实践创新 的学习方式，以真正实现空间与图形的教 育价值。 “空间与图形”的设计原则： n第一、将几何学习的视野拓宽到学生的生 活空间，力求几何课程与学生的日常生活 和活动经验巧妙融合。 n第二、几何课程的范畴应该更宽广，它不 仅应包括人们习惯的标准的平面图形，还 应包括大量空间问题，以及丰富多彩的图 形世界。 n第三、推理能力的培养内容的设计要突出 用观察、操作、想象、推理等多种方式探 索图形的性质、图形的运动、图形的位置 、图形的度量等， “空间与图形”的设计原则： n第四、应注意将合情推理与演绎推理结合 起来，把证明作为探索活动的自然延续和 必要发展，全面发展学生的推理能力。 n第五、在以计算机技术的广泛应用为特征 的信息化社会里，空间与图形对社会发展 的贡献越来越大。 空间与图形领域中的变化 n “空间与图形”的内容包括了“ 图形的认识” n“图形与变换” n“图形与坐标” n“图形与推理”等。 削弱了演绎推理为主的证明，淡化了证明的 技巧 人教社教材中 空间与图形领域中的变化 n（1）加强数形结合思想的渗透，体现各 部分知识之间的横向联系。 n（2）循序渐进地培养推理能力，作好由 实验几何到论证几何的过渡。 n（3）从感性到理性，从静到动提高对图 形的认识能力。 n n空间与图形新旧教材目录对照表 二、教学中注意的问题 n（一）把握好教学要求 n1.对于有关概念的处理 n2.有关推理能力的培养 n（二）应从学生的已有生活经验出发 n（三）培养学习兴趣 （1）对于有关概念的处理 注意与前两个学段的衔接，注意学生 已有的知识经验，注重概念间的联系 ，在对比中加深理解。 图形认识初步 1注意与前两个学段的衔接 这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念前两 个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个 学段数学中空间与图形的内容、要求，了解它们与这一部分内 容的联系与区别。 从课程标准看，与这一章的内容相对应，前面两个学段是要直 观认识一些简单几何体和平面图形，能辨认从不同方向看到的 物体的形状和相对位置，认识一些简单几何体的展开图，在对 它们形状、大小、位置关系的探索过程中，发展空间观念；能 区分直线、射线、线段的概念并体会它们的一些性质，结合生 活情景认识角并知道周角、平角等概念。在这一章，要通过丰 富的实例，认识一些常见的几何图形，进一步认识点、线、面 、体，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步建立空 间观念，发展几何直觉；进一步认识直线、射线、线段和角， 理解它们的概念，了解有关的一些性质，并能初步应用。 了解这些联系与区别，教学时便可以在学生知识的基础 上，把前面两个学段学过的内容螺旋上升的提高一步， 同时避免完全的重复。 2注重概念间的联系，在对比中加深理解。 本章是空间与图形的起始章，涉及的概念比较多，大多 数概念，前两个学段又都接触过，实际上，许多概念之 间都有着密切的联系和区别，把握了这些联系和区别， 就能更好的理解这些概念。 例如，直线、射线、线段三个概念联系密切，它们都是 直的，正是因为此，在以后讲平行、垂直时，定义了直 线与直线平行、垂直后，就不再定义直线与射线、线段 的平行、垂直了；同时它们之间又有区别，端点个数不 同，因而长度有有限与无限之分。 研究线段的和、差、中点与研究角的和、差、角平分线 ，其内容方法都很相似，教学时把它们进行对比，效果 会更好。例如，“点M是线段AB的中点”，可以写成 AM=MB1/2AB，在讲角平分线时，可以让学生仿照 线段中点表示方法，写出OB是AOC的平分线的式子 AOB=BOC=1/2AOC，从而使学生更容易理解 和掌握。 3把握好教学要求 在本章，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生 对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些 基本图形的特征，这并不意味着要用严格的几何推理 的方式来展开学习，还是要强调在实际背景中理解图 形的概念和性质，经历探索图形性质的过程。 例如“通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、体”就是 要求学生在实际背景中认识、理解这些概念，而不是通过 形式化的描述让学生接受概念。以“点”为例，“点”是没有 大小的，这是抽象后的概念，学生很难理解，教科书是通 过天上的星星、地图上的城市和电视屏幕由点组成等来说 明点的概念，并进一步通过一个“在某张地图上，北京只 是一个点，而在另一张地图上，北京却占了整个版面”的 思考来体会点的抽象含义的。 在本章，还通过从不同方向看立体图形和展开立体图形来 介绍立体图形与平面图形的相互转化，对这部分内容，也 要注意把握好教学要求。课程标准“视图与投影”部分包括 “会画基本几何体的三视图，会判断简单几何体的三视图 ，能根据三视图描述基本几何体或实物原型”“了解直棱柱 、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型 ”“了解基本几何体与其三视图、展开图之间的关系”的内 容。 在本套教材的处理中，这些要求是要逐步达到的，这一章 仅仅是个开头，大部分内容是安排在第29章“视图与投影” 中的。在本章，没有给出严格的三视图的概念，只要求能 从一组图形中辨认出是从什么方向看得到的图形，能说出 从不同方向看一些最基本的几何体（长方体、正方体、圆 柱、圆锥、球）以及它们的简单组合所能得到的图形（对 于语言难以表达的，可画出示意图，基形状正确即可，不 作尺寸要求），而不是像机械制图那样精确的图形。对于 展开图的内容，是在前面学段学过的长方体、圆柱、圆锥 的展开图的基础上进一步认识一些简单直棱柱的展开图， 能从一些给出的展开图辨认出它们能否折叠成给定的立体 图形，引导学生从展开图入手来了解一些几何体的特征。 四边形 n本大节的难点是平行四边形和各种特殊平行四边形 之间的区别和联系，因为它们的概念之间重叠交错 ，容易混淆。学生往往搞不清楚它们的共性、特性 及其从属关系，有时掌握了它们的特殊性质，而忽 视了共同性质。如有的学生不知道正方形是矩形， 又是菱形，也是平行四边形，应用时常犯多用或少 用条件的错误。教学时不仅要讲清矩形、菱形、正 方形的特殊性质，尤其要强调它们与平行四边形的 从属关系和共同性质。也就是在讲清每个概念特征 的同时，要强调它们的属概念。所以解决这个难点 的关键是抓好概念教学，弄清这些概念之间的关系 。而要弄清楚这些关系，最好是用图示的办法。例 如，教科书小结中给出了各种四边形以及它们之间 的关系的图形，研究正方形时也给出了它与矩形、 菱形之间包含关系的图形。教学中要重视这些图形 的使用，使学生弄清这些图形之间的关系 弄清了这些图形之间的关系，还要进一步向学 生说明概念的内涵与外延之间的反变关系，即 内涵越小，外延越大，反之外延越小，内涵越 大。例如，正方形的定义中，包含四边形、平 行四边形、矩形、菱形所有的特征，它的外延 很小，而四边形的外延很大。弄清了各种特殊 平行四边形的定义，各种四边形之间的从属关 系也就清楚了，它们的性质、判定定理也就不 会用错了，也可以根据它的特征，自己推出所 有性质。 突出图形性质的探索过程，重视直观操作和 逻辑推理的有机结合 在本章，重点研究了一些特殊四边形，由于涉 及的图形比较多，因此，本章涉及的图形的性 质和判定方法也比较多。在教科书呈现时，注 意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和 逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察 度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探 索图形的性质。 例如，通过度量，归纳出平行四边形对边相等、对角 相等的性质；利用平行四边形的旋转，探究发现平行 四边形对角线互相平分的性质；通过扭动平行四边形 框架，探究发现矩形的四个角都是直角、对角线相等 的性质；利用菱形的轴对称性，探究发现菱形四条边 都相等、对角线互相垂直、对角线平分对角的性质； 通过制作一些框架，探究发现平行四边形、矩形、菱 形的一些判定方法等。在学生通过观察、操作、变换 探究出图形的性质后，还要求学生能对发现的性质进 行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起， 使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自 然延续。 重视知识间的联系与综合 本章内容涉及了“空间与图形”中“图形的认识”“图形与变 换”“图形与坐标”“图形与证明”等各个部分的内容。在教 材编写时，力求注意各个部分内容的联系与综合，围绕 对于特殊四边形的认识，有机地整合各个部分的内容。 例如，利用平移由平行四边形引出菱形的概念，利用图 形的旋转发现平行四边形、矩形的性质，利用菱形的轴 对称性探究菱形的性质等都体现了“图形与变换”与“图形 的认识”的整合。再如，前面讲的利用逻辑推理发现图形 的性质也体现了“图形与证明”与“图形的认识”的整合。 教科书还安排了一个选学栏目“观察与猜想 平面直角坐 标系中的特殊四边形”，包括利用特殊四边形的性质在平 面直角坐标系中表示它们的顶点坐标，利用图形的顶点 坐标证明一些特殊四边形的性质等，这些也都体现了“图 形与坐标”与“图形的认识”“图形与证明”的有机整合。 再有，本章中各种特殊四边形的研究是按照一定的 逻辑顺序展开的，如由平行四边形到矩形、菱形， 再到正方形，这些知识本身之间联系非常紧密，在 教材编写时，也充分注意到这一点。比如注意在原 有属概念基础上通过附加一些条件（种差）扩大概 念的内涵、减少概念的外延来引出新的种概念，在 原有属概念的性质和判定方法的基础上来研究种概 念的性质和判定方法。教学时，也要充分重视到这 一点。 重视渗透数学思想方法 在这一部分内容中，较多地应用矛盾转化的思想去处理问 题。研究四边形的问题，经常是通过辅助线，把四边形的 问题转化为三角形的问题。例如，通过连接对角线，把平 行四边形分割成两个全等的三角形，由全等三角形的性质 得出平行四边形的性质。反过来，在研究三角形的中位线 时，又通过构造出平行四边形，利用平行四边形的性质得 出三角形的中位线定理。对于梯形的问题，则是常常通过 平行移动梯形的一个腰或一条对角线，把梯形的问题转化 为平行四边形和三角形的问题。在教学时，要让学生了解 这些思想，引导学生添加适当的辅助线，把未知转化为已 知，用已经掌握的知识来解决新问题，提高学生分析问题 解决问题的能力。 圆 n 突出图形性质的探索过程，重视直观 操作和逻辑推理的有机结合 圆是日常生活中常见的图形之一，也是平 面几何中的基本图形，本章重点研究了与 圆有关的一些性质。教科书在编写时，注 意突出图形性质的探索过程，重视直观操 作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段 ，如观察度量、实验操作、图形变换、逻 辑推理等来探索图形的性质。 重视渗透数学思想方法 教学中不仅要教知识，更重要的是教方法，本章重涉 及的数学思想方法也比较多。例如，圆周角定理证明 中的通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证 明；研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时的 分类的思想；研究正多边形的有关问题是通过把问题 转化为解直角三角形来解决的；正多边形的画图是通 过等分圆来完成的；等等。通过这些知识的教学，使 学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特 殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和 解决问题的能力。 注意把握好教学要求 本章教学内容与以往教材内容相比，删减幅度比较大 （原义教大纲教材53课时，现在17课时），教学时要 注意把握好教学要求。教学内容应当限制在课标和教 材所出现的范围，按照课标要求删减的内容，教学中 不要再拣回，以免影响学生对基础知识的学习。对于 推理论证的要求，课程标准中在本章没有明确规定。 教科书中是按照整套教科书对于推理证明的要求来处 理的。在本章，要求学生对于一些圆的有关性质进行 证明，并利用这些性质去证明一些相关的结论。但要 注意，这里的证明也要控制难度，对于一般学生，控 制在教科书“综合应用”的题目难度内，对于学有余力 的学生，可以要求他们完成“拓广探索”栏目的习题。 相似 n教学中不仅要教知识，更重要的是教方法，教科 书在编写时，也充分注意数学思想方法的渗透。 本章主要涉及的数学思想方法有类比的方法，矛 盾转化的方法等。 n相似内容是全等内容的拓展与延伸，教科书在编 写时，也充分注意相似与全等之间的一般与特殊 的关系，在讨论相似的相关内容时，注意和全等 的知识作类比。例如类比研究全等图形的性质得 到相似多边形对应角相等、对应边的比相等的性 质；类比研究全等三角形的SSS、SAS方法， 发现相似三角形的判定方法；通过把多边形分割 为三角形，类比研究多边形内角和的方法，利用 相似三角形的面积关系得到相似多边形面积比等 于相似比的平方等等。在证明相似三角形的判定 定理时，通过作全等三角形，把要证明的问题转 化为我们已经解决的问题，从而把问题从未知转 化为已知，从复杂转化为简单，等等。 从课程标准上看，本章内容与原来大纲不仅在知识内容上有 所删减，在教学要求上也有很大的降低。从教材内容上看， 与以往教材内容相比，从篇幅上，从课时上，从教材编排方 式上，都有很大的变化。目前只是突出最基本、最重要的基 础知识和最基本的技能。教学时要注意把握好教学要求。教 学内容应当限制在课程标准和教材所出现的范围，按照课程 标准要求删减的内容，教学中不要再拣回，以免影响学生对 于基础知识的学习。例如，为了突出对于相似多边形以及相 似三角形这个全章的重点内容，教科书对于比例和成比例线 段的相关内容，只是在小学的基础上，给出了成比例线段的 基本概念，学生能够理解它的基本含义即可。对于平行线分 线段成比例定理，教科书没有介绍，而是直接给出了它的应 用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角 形和原三角形相似”（教科书对其过中点的特殊情况进行了证 明）。在此基础上，证明了相似三角形的三个判定定理。 新教材教学中存在的问题(一 ） n“注入式”教学盛行，大量采取“概念 例题练习习题”的教学模式， 概念教学一带而过，强调细枝末节， 不注重知识的形成过程及思维过程教 学，讲解例题就是归纳题型，然后就 让学生进行大运动量的机械重复训练 . 具体表现：（1）误认为学数学不是让学生理解数学知 识的意义，而是学生会解题就行，知识教学一带而过， 强调知识的应用，导致题海的必然发生. （2）误认为教材内容就是知识发生发展的全部过程， 没有发掘出教材系统前后的本质联系，导致教师的教学 过程就是照本宣科溜教材.比如有些教师不展示概念产生 的合理的过程，不分析公式的推导过程，只要学生死记 概念和公式，到时会用就行，根本就谈不上让学生去真 正理解概念和公式的本质了. （3）误认为教师的思维逻辑就是学生的思维逻辑，没 有充分关注学生知识基础和思维特点，导致教师教学过 程与学生思维错位或脱节. （4）不敢暴露学生的错误，忽视教学中的陷阱，给人 感觉学生上课一听就懂，但是真正做题时却错误不断. 案例分析：七年级上册 第四章图形认识初步-121页 4.1.2点、线、面、体 （2）.有关推理能力的培养 n对于推理能力的培养，按照“说点 儿理”“说理”“简单推理”“符号表 示推理”等不同层次分阶段逐步加 深地安排。 n从七年级开始渗透推理的初步训练， 图形认识初步-在本章，由于已经进入第三学段，因 此已不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出 图形的概念和性质，还要“说点儿理”，把它作为通过实 验探究得到结论的自然延续。直线和线段性质的应用、 余角和补角的性质的得出等都有说点理的成分。教学中 要注意利用这里“说点儿理”的因素，为后面逐步让学生 养成言之有据的习惯做准备。 平行线与相交线-本章对于推理的要求还处在入门阶 段，只是结合知识的学习，识图、画图、几何语言的训 练从“说理”过渡到“简单推理”例如，在推导“对顶角相 等”这个结论时，采用了用语言叙述的方式进行“说理”， 在推导平行线的性质（由性质1得出性质2）时，教科书 展示了一个简单推理的过程 三角形-在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生 已有的水平，另一方面又可以为学生正式学习证明作准备为 达到上述要求，在编写时注意了以下内容的处理： （1）由“两点之间，线段最短”说明“三角形两边的和大于第三 边”； （2）由平行线的性质与平角的定义说明“三角形的内角和等于 180”； （3）由“三角形的内角和等于180”得出“三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和”； （4）由“三角形的内角和等于180”得出多边形内角和公式； （5）由多边形内角和公式得出多边形外角和公式； （6）由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六 边形可以镶嵌平面 上述内容都包含了推理，教科书注意分析得出结论的思路，通 过多提问题，留给学生足够的思考时间，让学生经历得出结论 的过程 全等三角形-本章正式出现证明及证明的格式。七年级两 册教科书中安排了一些说理的内容，就是为现在正规练习证明 作准备的。要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推 理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教科书做了一些 努力。 1注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确， 过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证 明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进， 每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内 容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何 证明的坡度。 2在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每 个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个 三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或 两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安 排的问题还会涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生会 分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。 解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些 安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考 。只有学生动脑思考了，才能真正解决推理入门的问 题。课堂上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲 ，学生听的局面。教师课堂上多提些问题，并注意留 给学生足够的思考时间。 证明一个几何中的命题有以下步骤： 根据题意，画出图形； 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明 的过程。 在一般情况下，分析的过程不要求写出来。有些题 目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只 要写出“证明”一项就可以了。 分析证明命题的途径，这一步学生比较困难， 需要在学习中逐步培养学生的分析能力。 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当 然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是 定义、公理、已经学过的重要结论。 在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形 满足某些条件不一定全等。判断一个命题是假 命题，只要举出一个反例。找反例对学生来说 是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现 反例。教师要根据学生的情况进行指导，尽量 多发现几个反例，使学生学会举反例。 轴对称-本章的前一章是全等三角形，已经要求学生 “用符号表示推理”，即证明。因此，在这一章，不仅 要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的 结论，还要求学生对这些结论进行证明，使推理证明 成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明 的必要性 学过等腰三角形后，推理的依据逐渐多了，题目的复 杂程度也增加了，因此，如何寻找证明的思路也成为 本章教学的一个难点。教学时，要克服这一难点，关 键是要加强证明题前分析的教学，帮助学生学会分析 证题思路，找出证明的途径。因为学过的定理多了， 从已知出发可以有多种途径选择，分析问题时要结合 结论一起考虑，采用“两头凑”，教学时可向学生介绍 这种方法。 另外，以前学生证明问题时，主要考虑利用全等三角 形，也总习惯于找全等三角形。虽然涉及利用等腰三 角形性质的问题都可以利用全等三角形来解决，但要 注意纠正这种不顾条件，一概依赖全等三角形的思维 定势。可结合具体问题让学生自己分析，寻找证明方 法。对于可以直接利用等腰三角形性质、判定，垂直 平分线的性质的问题，应当让学生选择简便方法。在 与等腰三角形有关的一些命题的证明过程中，会遇到 一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高 、底边上的中线是常见的辅助线。虽然“三线和一”， 但添加辅助线时，有时作那条线都可以，有时不同的 做法引起解决问题的复杂程度也不同，需要具体问题 具体分析，这一点要注意。 四边形-从培养学生的逻辑思维能力来说，“四边形”这一阶段处于 学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段。 这一章内容比较简单，证明方法也相对比较单一，学生前面已经进 行了一些推理证明的训练。但这种训练只是初步，要进一步的巩固 和提高。教学中同样要重视推理论证的教学，进一步提高学生的思 维能力。教科书在这方面也还是很重视的。在推理与证明的要求方 面，除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以 外，有一些图形的性质是直接由已有的结论经过推理论证得出的。 另外，为了巩固并提高学生的推理论证能力，本章的定理证明中， 除了采用了规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明方法 。这种方法不是先有了定理再去证明它，而是根据题设和已有知识 ，经过推理，得出结论。另外也有一些文字叙述的证明题，要求学 生自己写出已知、求证，再进行证明。这些对学生的推理能力要求 较高,难度也有增加，但也能激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维 ，对发展学生的思维能力有好处。教学中要注意启发和引导，使学 生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展。 另外，在解决有关四边形、平行四边形和梯形的问题时 ，反复运用了平行线和三角形的有关知识，因此本章内 容是平行线和三角形知识的深入和运用。但是，获得新 知识后，要注意运用它们。随着知识的丰富，学生解决 问题的途径也就增多了，在学完本章四边形的知识之后 ，就要引导学生直接运用这些知识解决有关问题，避免 再通过添加辅助线转化为平行线或三角形来解决，防止 学生总在熟悉的三角形中兜圈子，不会运用新知识来解 决问题。 圆-从培养学生的逻辑思维能力来说，“圆”这一阶段处于学 生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶 段，不仅要求学生能熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法 的推理过程，而且要求了解反证法。教学中要重视推理论证 的教学，进一步提高学生的思维能力。教科书在这方面也还 是很重视的。在推理与证明的要求方面，除了要求学生对经 过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外，有一些图形 的性质是直接由已有的结论经过推理论证得出的。另外，为 了巩固并提高学生的推理论证能力，本章的定理证明中，除 了采用了规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明 方法。这种方法不是先有了定理再去证明它，而是根据题设 和已有知识，经过推理，得出结论。这些对激发学生的学习 兴趣，活跃学生的思维，对发展学生的思维能力有好处。教 学中要注意启发和引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上 ，推理论证能力有所提高和发展。 新教材教学中存在的问题（ 二） n强调题型训练，注重解题技巧，一味追求“ 巧解”，忽视解题的基本思想与方法的教学. n少数教师，特别是青年教师，过分强调“巧 解、妙解”，忽视解题的基本思想与方法（ 通法）的教学.一味追求巧解，必然缺乏对基 本思想方法的挖掘和相应的训练，从而冲淡 和掩盖对基本方法的渗透.有些教师一味“巧 解”，课堂上好像能迎得学生一时的喝采， 但学生真正从巧解中学到了什么呢？ 新教材教学中存在的问题（三） n课堂教学形式化，以“少讲少练”代替“精讲精练”， 以“满堂问”代替“满堂灌”. n课堂教学的形式化是新课改中最大的问题之一.只图 课堂气氛活跃，忽视基本知识和基本技能的培养和 训练，在课堂教学中，主要精力用在了如何让课堂 气氛“热闹”上，主要原因是对新课程的精髓还没有 真正理解，在数学教学中存在严重的形式主义.以“少 讲少练”代替“精讲精练”，上课时随便写几道题让学 生做，或美其名曰培养学生的自学能力，让学生自 己探究，教师不讲或不引导学生学习.以“满堂问”代 替“满堂灌”，以问代讲，一问到底的所谓“双向交流” 太多太滥. n 数学课堂教学中的“形式化”还表现在：所有的教学 内容都要通过实际例子创设问题情境；所有的数学 内容的学习都要用探究法、发现法；有活动总比没 有活动好；一定要小组合作才是合作学习；滥用多 媒体等等. 新教材教学中存在的问题（四） n只重视自己的教法而忽视对学生进行学法指导 ，不重视学生良好的学习习惯的养成. n许多青年教师忽视了对学生进行学法指导，对 学法指导缺乏深刻的认识和研究，使教学效果 不能长时间巩固.学法指导重在提高学生自己获 得知识的能力.另外，不重视对学生良好学习习 惯的培养，不重视解题格式的规范.少数教师平 时不重视数学思想方法的教学，而想利用所谓 的专题讲座突击几次让学生掌握数学思想方法 ，这是不实际的.重要的数学思想方法是在平时 教学中通过潜移默化来理解与掌握的，从而达 到灵活应用的目的. （二）应从学生的已有生活经验出 发 n注意留给学生探索和交流的空间，培养探 究能力和创新意识。 n强调数学思想方法的学习和运用 ： n（1）模型化思想：解直角三角形复 习 n（2）数形结合的思想 n（3） 转化思想 n（4）类比思想 （三）培养学习兴趣 n一是数学在实际中广泛应用的展 示， n二是数学美的展示。 n注意对现代信息技术的应用 新教材教学中存在的问题（五） n以教师教学用书或优秀教案代替自己的备 课教案，为了解题或教学方便，把已经删除的内容 重新捡回来加重学生课业负担. n有些教师认为教学用书或优秀教案是有经 验的老师或权威所写，因此在教学中，只看教学 用书或优秀教案，不钻研课标、教材，不精 心设计课堂教学，以教师教学用书或优秀教 案代替备课教案，从而导致课堂教学脱离本班的 教学实际，教学无针对性.不少教师不喜欢自己动 手做题，上课前溜览一下教师教学用书或优 秀教案中的习题解答，像这样的教师怎能在课堂 教学中讲出精彩呢？怎能讲出教材内容的精华呢？ 讲自己的和讲别人的是大不一样的.许多教师不学 习新课标，为了教学的方便或应付考试，把新教材 中没有但老教材中曾经有现已删除的内容重新捡回 来，照旧用老办法、老观点解决新问题，加重了学 生学习负担.比如补充二元二次方程组，相交弦定 理等等. 三、“空间与图形”的教学策 略 n1、让学生经历空间与图形知识的形成与 应用过程 n2、教学活动中提倡自主、合作、探究的 学习方式 n3、尊重学生的个体差异，满足多样化的 学习需要 n4、教学活动必须尊重学生已有的知识与 经验，注重知识之间的联系，引导学生进 行知识建构 三、“空间与图形”的教学策 略 n5、教师应该是空间与图形课程 资源的创造者与开发者 n6、充分运用现代信息技术手段 展示过程 n7.重视“实践与综合应用”的内容 1、让学生经历空间与图形知识 的形成与应用过程 n案例1 “三角形的三边关系”的教学回 顾 n上课几分钟后，我已经导入了课题，让学生探讨 了什么样的图形叫三角形。接着我让学生画三角 形：“同学们，现在我们来画一个简单一点的三角 形，假设它的边是厘米、厘米、厘米。”话 音刚落，一个学生嚷了一声：“画个厘米、厘 米、厘米的不更简单？”这可不是我预料中的事 ，可我转念一想，就以此为题，让同学们认识三 角形的三边关系不也很好吗？于是我说：“那同学 们就画一个边长分别为厘米、厘米、厘米 的三角形吧。” 开始时同学们都自己画，可是过了一会儿学生们 都自觉地分成小组热烈讨论开了。看来他们已经 发现三角形三边之间的微妙关系了。 几分钟后，他们开始相信自己的画法没错，都异 口同声道：“不能组成三角形。” “有这么回事？”我故作惊讶，“我很想知道它的奥 妙所在，你们能告诉老师这三条边为什么不能组 成三角形吗？” “能！”大家很自信。 小组里的学生都拿出自己的学具开始演示。很快 就有人告诉我：当三角形的两边之和小于第三边 时，不能组成三角形。 我刚刚对这个结论予以肯定，有的学生就提出：“ 并不小于呀。”“可不是吗，”好几个人都有了意 见，“他的总结不完整。” 我见火候已到，赶紧趁热打铁：“快思考一下，怎样就 完整了？” 小组又进入了热烈的讨论中，后来发现：当三角形的两 边之和等于第三边时，也是不能组成三角形的。于是大 家对三角形的三边关系作了这样的总结：“当三角形的 两边之和大于第三边时，才能组成三角形。” 为了把学生的思维引向更为宽阔的天地，我向他们抛出 了一道题：一个三角形的三条边分别是x厘米、厘米 、厘米，那么x最大不能超过多少？最小不能低于多 少？通过做题，你又发现了什么？ 经过努力，大家得出这样的结论：三角形的任意边，必 定小于其他两条边的和，而大于其他两条边的差。 就这样，学生在强烈的求知欲引导下，自主研究 ，学习了三角形的三边关系。 当我告诉大家这是今天要学习的内容时，他们高 兴地笑了。 布置作业时，我是这样要求的，在完成三角形三 边关系这节课后，再作一个三角形三边关系演示 器，用以演示自己的发现。 课后不少学生真的就做好了演示器，还是活动的 呢。有的是一条边固定，另两条能伸缩；有的是 三条边都能伸缩；还有的两边固定，一边伸缩 点评 数学教学是数学活动的教学，是师生之间 、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此教 学就不能象过去那样由教师唱主角，教师要充分 激发学生的主人意识，因势利导捕捉学生闪现的 教学契机创设问题情境。这堂课教师抓住了学生 所随口说的“画个1厘米、2厘米、3厘米的不更 简单？”，引导学生通过实践、思考、探索、交 流，在动手操作中经历知识的形成与应用过程， 进而认识三角形之间的关系。在教学中，教师亲 切的话语，巧妙的引导设计，平等的态度，促进 学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个 性地学习。 课件案例-八年级下册18.1勾股定理 2、教学活动中提倡自主、合作、 探究的学习方式 n案例 “相似三角形”教学片段 （自主探索与合作交流的例子） 师：请大家在课本上随便选一幅图，用手边的放 大镜去看一看，能发现什么？ （点评 教师以贴近学生生活背景题材提出需要 研究的对象，有益于学生主动从事数学活动； 而没提出具体的研究课题又可以让学生广开思 路，自主地选择希望研究的内容，不过这对教 师来说是个挑战。） （学生活动一会儿） 师：发现什么了？ 生1：线段变长了；生2：三角形变大了；生3：四边形 也变大了；生4：圆也变大了。 （学生的“发现”是多种多样的，有可能超越教师预料 的范围，这对教师而言也是一种挑战。） 师：太好了，我们得到了这么多的发现。不过我还想知 道一些更确切、更具体的信息，比如说我们现在使用的 是三倍的放大镜 生1：那线段放大为原来的三倍长。 生2：三角形的每一条边也变成原先边长的三倍，而且 面积也变大了，可能是三倍，也可能更多，从图上看好 像不止三倍。 生3：四边形也一样，边长是原先边长的三倍， 而且也好像不止三倍，可能多一点。 生（几个学生齐声）：圆也放大了，圆周变长了 ，面积变大了。多少倍很难说。 师：画个图吧。（分别作三角形、四边形、圆及 其放大的相应图形）我也感觉好像看不出每个图 形的面积放大了多少倍。不过我们是否可以用已 有的数学知识去解决它呢？ （学生思考，讨论） 生5：三角形面积好像放大倍。四边形好像也 一样，大概面积也放大为倍。（上黑板作图并 解释） 师：很好。那么圆呢，也一样？ 生4：圆周变长了，肯定圆的面积要变大，具体 多少倍应当可以算出来。 生1：这里是说线段放大三倍，圆周不是线段， 不一定也放大三倍吧？ 师：这问题提得不错，大家觉得呢？ 生2：圆周长肯定也放大三倍。因为圆的半径r是 线段，而圆周长等于r，所以也放大三倍。 生4：对！那面积肯定也入大倍，因为圆的面积是r 。 师：很好。看起来我们已经不用实地测量就能算出上面 每个图形的面积都放大了倍。 师：到此为止我们做得很好。先依靠放大镜去声“发现 ”问题，再凭经验猜测它的结论，最后用已有的数学知 识去解决它。下面我们再拿起放大镜，还是看这些图形 ，看有没有新的发现？ （仍然是一般性地提出问题，以促进学生做发散性思考 。这样的问题适合每一个学生发挥自己的特长。） （学生活动一段时间后） 生6：三角形还是放大成三角形，四边形还是放大成四 边形，圆还是放大成圆。 生7：而且形状也相同。 师：你说的“形状相同”是什么意思？ 生7：正三角形还是放大成正三角形，正方形还是放大成 正方形，圆还是放大成圆。 师：一般的三角形呢？ 生7：放大后的三角形跟原先的三角形形状相同，短边还 是短边，长边还是长边，有一点像照相，每一条边都是按 比例增加的。 师：他看到了一个新的现象，在放大镜下，有些东西是不 变的。比如图形的形状、图形各边长之间的比例关系，是 这样呢？ 生8：是这样的，因为每一条边都放大相同的倍数，所以 各边之间的比例关系不变。 师：还有不变的吗？ 生9：从图来看（手指着黑板上的图）三角形、四边形的 内角大小没变。（许多学生表示同意）实际上所有角的大 小都不变，变大的只是角两边的长度。 师：很有意思，现在我们发现在放大镜下有的东西变大了 ，而有的东西没变。而且图形大小的变化是因为线段被放 大了，图形形状没变是因为角的大小不变。 点评 这是一个较典型的自主探索的教学例子。教学中， 教师并不急于采取手段干扰学生的认知过程以便其回到“ 正确的轨道”上来，尽管学生的思维可能会偏离教学主题 ；也不要求每一个学生都得到课本上或者自己心目中“标 准”的、“最佳”的答案，而是尽量给学生以从事数学活动 的素材和机会，使其在活动中获得并表达自己对学习内容 的理解。同时，学生之间、师生之间的相互交流又使学生 有机会反思自己的认知我的理解是什么？我是怎么理 解的？我的思路有哪些值得改进的地方？对同一个对象不 同的学生有自己的认知角度、认知方式和认知结果，重要 的是给每一个学生以主动活动的机会，并提供有价值的认 知方法和结果，让他们去感受，去选择。-多边形内角和 3、尊重学生的个体差异，满足 多样化的学习需要 n案例2 “折叠活动”（轴对称图形） n把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图 形（如图），想一想展开后会是一个什么 样的图形，这个图形有什么特点，再想一 想我们的生活有没有类似这样的图形。 点评 折纸剪对称图形是学生儿时就 会的一种活动，用它来呈现轴对称图 形是教师的睿智的作用。 -轴对称 案例4 “三角形的内角和”教学片段 师：三角形的三个内角之间有什么关系呢？同学们，我们 在小学学过三角形，下面请同学位想一想后回答。 生1：小学课本上讲过，三角形的三内角和为180o。 生2：我用量角器量出三个内角的度数分别为40o、58o、 81o，计算得出三角形的内角和等于179o。 师：度量有误差，很难得出准确答案，如何排除误差干扰 来验证结论呢？请同学们动脑动手用三角形纸片试一试， 看能不能通过什么方法来验证三角形的内角和等于180o。 生5：可以将三角形纸片的两个内角撕下来拼粘在第三个 内角的顶点处，刚好构成一个平角，这说明三角形的内角 和等于180。（如图1） 生6：我是用折纸法把三个内角拼在一起。也得到一个 平角。（如图2） 生7：我也是用折纸法，但我折后按折痕剪下来拼成一 个长方形。（和图2相同） 点评 教师给学生提供了动手操作的机会，这一简单的 自主探索活动，调动了学生的学习兴趣与参与热情，实 践能力得到了提高。学生们通过动脑动手，用多种方法 来验证这个结论，丰富了学生教学活动的经验，提高了 思维水平。 4、教学活动必须尊重学生已有的知识与经 验，注重知识之间的联系，引导学生进行 知识建构 n课例 “四边形认知图式的构建”教学片 段 n师：今天我们来总结复习四边形这一章的内容 ，大家可以按照自己喜欢的方式,如图表式,框 架式，联络图式来组织知识构图。 n师：谁能说说你的知识结构图的构思？ n生1：我首先按学习的顺序找出图形，然后找出 它们之间的联系，得出了图形(略)，这是一种 从属关系，也叫集合关系。 n生2；我按照四边形的发展顺序，从平行四边形 开始，到正方形结束，得出了图形（略），这 是一种演变关系。 师：同学们都说得很好，老师也画出了一种知识结构图 ，让我来说说我的结构图是怎样构建的图形（展示下图 ）。 我首先找出我们学过的知识点有正方形、矩形、菱 形、平行四边形、等腰梯形、梯形、任意四边形及 它们的判定定理，再找出各知识点的内在联系，它 们之间的内在联系是用角、边和对角线联系起来， 从任意四边形到正方形，一共分为五个等级，每上 升一级，需添加一个适当的