等比数列前n项和说.ppt

人民教育出版社高中数学第一册（上）第三章 教学思路与认识 l教材分析 l教法选取 l学法指导 l程序设计 l教学反思 一. 教材分析 1.教材背景分析 数列 数列极限 数学归纳法 微积分、级数 函数 不等式 交汇 等比数列的前n项和 等差数列 等比数列 通项 递推基本概念 基本数学思 想、方法载体 一般数列问题及实际应用题 求和 重要知识点交汇考查 一. 教材分析 2.教学目标 知识目标：使学生掌握等比数列前n项和公式及归纳、猜想、 证明法，理解错位相消法，并能灵活运用公式 能力目标：通过公式的推导过程，培养学生类比、归纳、猜 想 、分析、综合等方面的能力，善于运用特殊与 一般、分类与整合、方程的数学思想思考和解题 ，提升学生的逻辑思维能力 情感目标：通过公式的探索发现过程，学生亲历结论的“再 创造”过程，体验成功与快乐，感悟数学美 通过分类讨论的教学和猜想之后还需证明培养 学生思维的严谨性 通过发散思维的教学，培养学生思维的批判性、 灵活性 一. 教材分析 3.重点和难点 重点：等比数列前n项和公式、推导及应用 难点：等比数列前n项和公式推导思路的获得 突破关键 二. 教学方法 启发引导探究发现法： 展示数学游戏 提出问题 启发引导 发现公式 类比猜想 激 励 分析寻找 证明猜想发现错位相消法 深 化 反 思 示范 演练 实现目标 教 师 学生(独立思考、合作交流) 一 . 开篇变“棋盘上麦粒历史典故”成“数学游戏问题” 原因：更加有趣又贴近生活 蕴涵两个等比数列，公比分别为与q 1 开门见山，体现分类讨论思想,直击学生易错点 二. 教学方法 与教材相比较： 二 . 一改直接采用错位相消这一传统做法，先归纳、猜想 再证明进而发现错位相消法 原 因 : 注重了知识的再创造过程，有效克服了技巧性强， 学生被动接受的困难 使用数学一通法（归纳、猜想、证明），重视了数 学思想方法的渗透 二. 教学方法 二. 教学方法 三 . 引出错位相消法之后，进一步深化思维目标，和式两 边同乘以q-1，q2是否也可以起到化简的目的？择优选 取 原 因 : 有利于理解错位相消法的本质 有利于发展学生思维批判性、灵活性 二. 教学方法 采用多媒体技术，体现直观性，激发 学习兴趣、激活学生思维，在解决重、难点 等方面起到辅助作用 三. 学法指导 新课标理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心” ， 指导学生学会“探究式发现法”的学习方法，从类比猜想 中探索研究从而找到问题的思路和方法 “治学之道” 求知之法 改变学生被动 的学习状态 三. 学法指导 学生的思维波动过程: 激发 活跃 高潮 再掀高潮 缓和 学生的学习环节: 类比猜想 分析证明 反思发现 演练提高 使学生不断形成勤于思考,实践“探究式发 现法”这一学习数学的重要方法 四. 程序分析 第一环节:创设情境 引出问题 第二环节:启发引导 探索发现 第三环节:发散思维 深化目标 第四环节:课堂演练 巩固提高 教 学 过 程 第一层：分析问题 第二层：展示发现过程 第三层：展示证明过程 第一方面：反思证明过程 第二方面：集思广益 第三方面：公式的灵活应用 第五环节:总结反馈 布置作业 回 顾: 1. 什么是等比数列？ 2. 公比对等比数列有何影响？ 3. 项与项之间的关系如何？ 四四. .程序设计程序设计 第一环节 创设情境、提出问题（1） 目 的：建立联系 扫清障碍 突破难点 为发现错位相消法埋下伏笔 四四. . 程序设计程序设计 第一环节 创设情境、提出问题（2） 甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙 100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返 还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢 谁亏？ 数学游戏问题： 四四. . 程序设计程序设计 第一环节 创设情境、提出问题（3） 应用问题数学化，具体问题一般化 分析：数学建模 an：100 ，100 ，100100 q=1 bn： 1 ， 2 ， 22 229 q=2 S30 = 100+100+100 与 T30 = 1+2+ 22 + +229 比较大小 ，求和问题如何化简？ an ： q=1，等比数列求和问题化归成等差数列求和问题 bn ： q=2，学生陷入沉思中 四四. . 程序设计程序设计 明确问题 等比数列an 第一环节 创设情景、提出问题（4） 当 q=1时 ，Sn= a1+a2+a3+an-1+an= na1 当 q1时，Sn= a1+a2+a3+an-1+an =？如何化简 二者能否合并? 四. 程序设计 第二环节：启发引导 探索发现（1） 第一层:分析问题 启发:等比数列an的前n项和Sn也可以构成一 个新的数列Sn。自然的化简Sn的问题就成了求新 数列Sn的通项问题。 引导:归纳、猜想、证明是学生学习数列获得 的一种重要方法，是解决数列问题的通法。能否 利用此法解决问题呢？ 顿时打破沉思状态 四. 程序设计 第二环节：启发引导 探索发现（2） 第二层次 展示探索公式发现的过程： 1. 引导学生从等比数列通项公式的推导方法出发，即通过 观察a1、a2、a3、a4的特点归纳an 的一般形式，联想求和公式 的思考方法。 投影演示等比数列通项公式的推导过程 a1 = a1 a2= a1q a3 = a2q =a1q2 a4= a3q =a1q3 an=an-1q =a1qn-1 四四. . 程序设计程序设计 第二环节：启发引导 探索发现（3） 2. 设等比数列的前n项和为Sn，请学生写出S1、S2、S3、S4的表达 式 即S1= a1 S2= a1 + a2 = a1+ a1q = a1（ 1+q） S3= a1 +a2 +a3 = a1+ a1q + a1q 2= a1（ 1+q+ q2） S4= a1+ a2 +a3 +a4 = a1+ a1q + a1q 2+ a1q 3= a1（ 1+q+ q2+ q3 ） 四四. . 程序设计程序设计 第二环节：启发引导 探索发现（4） 3. 我们发现q 1时,随着n的增大Sn的形式愈加复杂， 能否用简洁的形式来表示Sn呢？ 引导学生观察S3，发现S3中有一项1+q+q2， 我们在哪个公式见过这一项呢？ 人教版高一数学第一章复习参考 题A组12题充要条件问题，第二章单调性习 题5复习参考题A组9题研究函数y=ax3的单 调性问题，我们都补充了a3-b3公式 四四. . 程序设计程序设计 第二环节：启发引导 探索发现（5） 引导学生在S3= a1（ 1+q+ q2）的分子分母同乘以 1-q (q 1)会得到什么结论？ S1 、S2 、S4是否有同样的变形？ 4. 让学生尝试变形： 四四. . 程序设计程序设计 第二环节：启发引导 探索发现（6） 四. 程序设计 第二环节：启发引导 探索发现（7） 第三层次 展示公式的证明过程： 分析：欲证 成立 只需证SnqSn=a1（1qn） (q 1) 由 Sn=a1+ a1q+ a1q2+ a1q3+a1qn-2+ a1qn-1 qSn= a1q+ a1q2+ a1q3+a1qn-2+ a1qn-1 + a1qn 得： Sn （1q）= a1a1qn 第二环节：启发引导 探索发现（8） 四四. . 程序设计程序设计 故: 等比数列an前n项和 二者不能兼容 体现分类讨论的必要性 2301 (分)10737418. 23 (元) 远大于3000元 数学游戏问题答案： 第一方面 :探求公式其它推导方法 由前面证明过程的分析SnqSn这一思路正是用等比 数列的重要性质，出现众多公共项，我们把这种方法叫 错位相消法. 那么 与 是否可以起到同 样的化简效果？体现思维的批判性，择优选取，揭示化 简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要作用。 第三环节：发散思维 深化目标（1） 四四. . 程序设计程序设计 第三环节：发散思维 深化目标（2） 四四. . 程序设计程序设计 Sn= a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 (1) qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn (2) =a1q-1+ a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2 (3) q2Sn= a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1 (4) (1)(2) (1) (3) (1) (4) 效果如何 有何启发 四四. . 程序设计程序设计 第三环节：发散思维 深化目标（3） 第二方面:公式的灵活应用: 1、注意q=1与q1两种情形 2、q1时， 3、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题问题。 第四环节：课堂演练 巩固提高（1） 四四. . 程序设计程序设计 例一：“棋盘上的麦粒”（以2为底的幂）历史典故 大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白 相间共64格，传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调 的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣 和奥妙之后，决定要重赏发明人他的宰相西萨班达依 尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第 一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四 粒麦子以此类推每一格上的麦子数都是前一格的两 倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答 应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？ 解： a1=1， q =2， n=64 由： 得出 第四环节：课堂演练 巩固提高（2） 四四. . 程序设计程序设计 =18 446 744 073 709 551 615 （粒） 人们估计，如果把这些麦粒依次排列,它的长度就相 当于地球到太阳距离的2万倍。若按万粒400克计 算，可达7000亿吨。而我国现年产量在1亿吨左右. 第四环节：课堂演练 巩固提高（3） 四四. . 程序设计程序设计 练习: 等比数列 an中 a1= 8，an=0.5 , q=0.5 ,求Sn； a1= 2，S3= 26 , 求a3 , q; a1=2 , S3=6 , 求q. 练习题设计:由易到难,循序渐进, 考察公式灵活应用 针对易错点考察分类讨论思想的应用 第五环节：课堂小结 布置作业 一 .师生小结：由学生从知识、思想方法、解决问题的办法 等方面进行小结，老师适时补充，以推动学 生建立完整的知识框架结构. 二 .布置作业： A.研读课文、整理笔记、课后习题3.5(1)(2)、用函数观点看待Sn B.思考题(投影给出) 四四. . 程序设计程序设计 思考一：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。问截 n 次后截去的总长是多少？ 庄子天下篇 （除用公式外，引导学生用间接法） 思考二：探索求和公式的其它推导方法，提示如： 方程法、借助等比定理法 四. 程序设计 思考题（供学有余力的同学完成） 请同学用提示公式作答 板书设计 3.3等比数列的前n项和 例1： * 公式的发现过程 公式的推导证明过程 练习* * * * * * * * * * * * * * * * * 解： * * * * * * * * * * * * * * * * 五. 教学反思 二. 本节课涉及多种思想方法，是数学教学走向本质的一大 尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题. 一. 本节课的设