③应用举例课后限时作业.doc

课后限时作业（二十三）（60分钟，150分）(详解为教师用书独有)a组一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.已知等腰abc的腰为底的2倍，则顶角a的正切值是 ( )a. b. c. d.解析：依题意，结合图形可得故选d.答案：d2.abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cos b=( )a. b. c. d.解析：abc中，a、b、c成等比数列，且c=2a,则选b.答案：b3. 用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为 ()a8 cm2 b6 cm2 c3 cm2 d20 cm2解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为6 cm2，选b.答案：b4.据新华社2006年5月18日报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是 ( )a.米 b.米 c.米 d.米解析：如图所示：a=75,c=45,所以b=60.又ac=20米，由正弦定理可知,所以 (米).选a.答案：a5.在abc中，tan asin2b=tan bsin2a，那么abc一定是 ( )a.锐角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等腰三角形或直角三角形解析：因为tan asin2b=tan bsin2a，所以,即所以所以2a=2b或2a=-2b,即a=b或a+b=.选d.答案：d6.某观察站c与两灯塔a、b的距离分别为300米和500米，测得灯塔a在观察站c北偏东30，灯塔b在观察站c正西方向，则两灯塔a、b间的距离为 ( )a.500米 b.600米 c.700米 d.800米解析：如图所示，ac=300，bc=500，bca=90+30=120.在abc中，由余弦定理得ab2=ac2+bc2-2acbccosbca.即(米）.选c.答案：c二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.已知a，b，c为abc的三个内角a，b，c的对边，向量m=(,-1),n=(cos a,sin a).若mn，且acos b+bcos a=csin c,则角b= .解析：由题知cos a-sin a=0,即tan a=,所以a=.又acos b+bcos a=csin c,由正弦定理可知sin acos b+cos asin b=sin2c,即sin(a+b)=sin2c=sin c,所以sin c=1,c=,所以答案：8.已知abc的三个内角a、b、c成等差数列，且ab=1，bc=4，则边bc上的中线ad的长为 .解析：由abc的三个内角a、b、c成等差数列可得a+c=2b，而a+b+c=可得b=.由ad为边bc上的中线可知，bd=2，由余弦定理可得ad=.答案：9.在abc中，已知bc=8，ac=5，三角形面积为12，则cos 2c= .解析：由三角形面积公式，得|bc|ca|sin c=20sin c=12,即sin c=.于是cos 2c=1-2sin2c=.答案：10.国际数学家大会会标是以我国古代数学家越爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos 2的值等于 .解析：由题知直角三角形的斜边长为5，设较短的直角边长为x,则另一边长为1+x,由勾股定理得52=x2+(1+x)2,解得x=3.所以sin =,cos 2=1-2sin2=.答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45+的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值.解：设a，c分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在b处追上，则有ab=14x,bc=10x,acb=120.所以（14x）2=122+(10x)2-240xcos 120.所以x=2,ab=28，bc=20，所以.所以所需时间为2小时，.12. 某观测站在a南偏西20方向的c处，由城a出发的一条公路，走向是南偏东40，在c处测得公路上距c 31千米的b处有一人正沿公路向城a走去，走了20千米后到达d处，此时cd间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城a?解：如图所示，设acd，cdb，在cbd中，由余弦定理得cos ，所以sin .而sin sin(60)sin cos 60cos sin 60.在acd中，所以ad15(千米)所以这人再走15千米就可到达城a.b组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.设a，b，c分别是abc的三个内角a,b,c所对的边，则a2=b(b+c)是a=2b的( )a.充要条件 b.充分而不必要条件c.必要而充分条件 d.既不充分又不必要条件解析：设a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，若a2=b(b+c),则sin2a=sin b(sin b+sin c),则,所以sin(a+b)sin(a-b)=sin bsin c.又sin(a+b)=sin c,所以sin(a-b)=sin b,所以a-b=b，a=2b.若abc中，a=2b，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2=b(b+c),所以a2=b(b+c)是a=2b的充要条件，选a.答案：a2. 某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为 ()a. b2 c2或 d3解析：如图，由题意得abc30. 因为ac，bc3，abx，ac2ab2bc22abbccos 30，所以()232x23x.解得x2或x.答案：c二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔b在北偏东60，行驶4小时后，船到达c处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km.解析：如图所示，易知ac=60 km，bac=30，b=45.在abc中，由正弦定理得所以 (km).答案：4.在平面直角坐标系xoy中，已知abc的顶点a（-4，0）和c（4，0），顶点b在椭圆上，则= .解析：易知a、c为椭圆的左、右焦点，如图所示.由正弦定理可知又由椭圆的性质知ab+bc=10，ac=8，所以答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.如图，已知abc是边长为1的正三角形，m、n分别是边ab、ac上的点，线段mn经过abc的重心g，设mga=.(1)试将agm、agn的面积（分别记为s1与s2）表示为的函数；（2）求的最大值与最小值.解：（1）因为g是边长为1的正三角形abc的重心，所以mag=.由正弦定理得则同理可求得(2) 因为所以当或时，y取得最大值.当时，y取得最小值=216.6. (2009海南、宁夏)为了测量两山顶m，n间的距离，飞机沿水平方向在a，b两点进行测量a，b，m，n在同一个铅垂直平面(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和a，b间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算m，n间的距离的步骤解：法一：需要测量的数据有：a点到m，n点的俯角1，1，b点到m，n的俯角2，2；a，b间的距离