电路PPT课件第7章 二阶电路.ppt

第七章第七章 二阶电路二阶电路 7-1 LC电路中的正弦振荡 7-2 RLC串联电路的零输入响应 7-3 RLC串联电路的全响应 7-4 GCL并联电路的分析 本章内容概述本章内容概述 含有两个独立的动态元件的线性电路，要用线 性、常系数二阶微分方程来描述, 故称为二阶电路。 本章重点讨论含电感和电容的二阶电路的零输 入响应和在直流电源激励下的全响应。 为了简单起见，本章只讨论RLC串联和并联电 路的响应，响应是否出现振荡取决于特征根的值。 本章电路响应的分析是归结为求解二阶微分方 程或两个联立的一阶微分方程。 学习重点为：电路微分方程的建立；特征根的 意义，微分方程解答的物理含义等。 C + uC=U0 i=0 L 7-1 7-1 LC LC 电路的正弦振荡电路的正弦振荡 uL = uC = L di dt u uC C (0) = (0) = U U 0 0 i i L L (0) = 0(0) = 0 uL= uC = U0 0 uC = U0 iL = 0 di dt 0 电流开始上升 i, 电容开始放电 uC ( (1 1) ) 初始时刻初始时刻 C + uC i L + uL 1. 1. LC LC 电路的物理分析电路的物理分析 设电容的初始储能为： 电流最大 i = Im (2) (2) 当当u u C C = = 0 0 ， u uL L = = 0 0时，时， di dt = 0 电容储存的电场能量全部转化为电感储存的磁场能量, 因为电感电流不能跃变。 电感开始输出能量 i，电容开始反向充电 |uC | (3) (3) 当当 i i = = 0 0 时时 , , u uC C = = - -U U0 0 磁场能量全部转成电场能量 因为uC不能跃变， 电容放电 |uC |，| i | duC dt 0 uC= 0 i= Im uL= 0C + L + uC= -U0 i= 0 uL C + L + (4) (4) 当当u u C C = = 0 0 时，时，i i = = I I 电场能量全部转成磁场能量 |uC |，| i | (5) (5) 当当u u C C = = U U0 0 时时 , , i i = = 0 0 磁场能量全部转为电场能量， 电路回到初始时刻的状态。 C + uC = 0L i = - I uC= U0 i= 0 C + L 设 L = 1H， C = 1F uC(0) = 1V iL(0) = 0初始状态 列出描述电路的两个联立一阶微分方程。 2. 2. LCLC电路的数学分析电路的数学分析 设 L = 1H， C = 1F uC(0) = 1V iL(0) = 0 i = C = duC dt duC dt i t0 i = sint LC LC 电路的零输入响应是按正弦规电路的零输入响应是按正弦规 律变化的等幅振荡，称为自由振荡。律变化的等幅振荡，称为自由振荡。 初始状态 列出描述电路的两个联立 一阶微分方程： 解微分方程，得 i = sint uC = cost uC = cost 0t uC uC = L = didi dtdt C + uC i L + uL 2. 2. LCLC电路的数学分析电路的数学分析 i t0 i = sint uC = cost 0t uC C + uC i L + uL C i L R 解微分方程，得i = sint uC = cost 电容元件中的电场能量一电容元件中的电场能量一 部分转化为磁场能量，存储在部分转化为磁场能量，存储在 电感元件中；另一部分被电阻电感元件中；另一部分被电阻 元件消耗掉。元件消耗掉。 2. 2. LCLC电路的数学分析电路的数学分析 3. 3. RLCRLC电路的能量分析电路的能量分析 7-2 7-2 RLCRLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 求零输入响应 uS = 0 KVL： uL + uR+ uC = uS di dt L + Ri + uC = uS + + RCRC d d2 2u uC C d dt t 2 2 LCLC d du uC C d dt t + + u uC C = = u uS S + + RCRC d d2 2u uC C d dt t 2 2 LCLC d du uC C d dt t + + u uC C = = 0 0 uC(0) = ? 两个初始条件 duC dt t=0 = i(t )C t=0 = i(0) C = ? L i R + uS - C + uC - 1. 1. 列出列出 RLCRLC电路的微分方程电路的微分方程 i = C duC dt uL = L di dt VCR： 有 整理 R、L、C 取值不同，根号里的值有四种不同情况。 设解为 uC(t) = Kest 代入微分方程 LCs2Kest + RCsKest + Kest = 0 ( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0 特征方程的根（固有频率） 2 2L L R R = = - - 2 2L L R R ( ( ) ) 2 2 LCLC 1 1 - - s s 1, 2 1, 2 = = RCRC ( (RCRC) ) 2 2 - - 4 4LCLC 2 2LCLC - - + + RCRC d d2 2u uC C d dt t 2 2 LCLC d du uC C d dt t + + u uC C = = 0 0 特征方程 LCsLCs 2 2 + + RCsRCs + 1+ 1 = = 0 0 2. 2. 解解 RLCRLC电路的二阶微分方程电路的二阶微分方程 L i R + uS - C + uC - 根号里数值的四种不同情况的比较根号里数值的四种不同情况的比较 过阻尼过阻尼 s1、s2 为两个 不相等的负实数 临界阻尼临界阻尼 s1、s2 为两个 相等的负实数 欠阻尼欠阻尼 s1、s2 为 一对共轭复数 无阻尼无阻尼 R = 0 s1、s2 为 一对共轭虚数 称为阻尼电阻 2 2L L R R = = - - 2 2L L R R ( ( ) ) 2 2 LCLC 1 1 - - s s 1, 2 1, 2 = = RCRC ( (RCRC) ) 2 2 - - 4 4LCLC 2 2LCLC - - 2L R ()2 LC 1 - 令 = 0 3. 3. RLCRLC串联电路零输入响应分析串联电路零输入响应分析 阻尼状况阻尼状况 s s1 1 、s s 2 2 通解的形式通解的形式 过阻尼过阻尼 不相等的负实数 s1= 1、s2= 2 临界阻尼临界阻尼 相等的负实数 s1= s2 = 欠阻尼欠阻尼 一对共轭复数 无阻尼无阻尼 一对共轭虚数 通解中的系数 K1、K2，由电路的初始条件确定。 s1 = 2L R = 1+ 2L R ()2 LC 1 s2 = 2L R = 2 2L R ()2 LC 1 1 1 2 2 uC(t) = K1es1t+ K2e s2t = K1e-1t+ K2e -2t 通解的形式 解出K1、K2 ，得 u uC C ( (t t) ) = = K K 1 1 e e 1 1t t + + K K2 2 e e 2 2 t t s1, s2 为两个不相等的负实数(1) (1) 过阻尼情况过阻尼情况 由初始条件 uC(0)、iL(0) 确定系数。 = 1K1e 1 t 2 K2e 2 t duC dt 电路响应电路响应 u u C C ( (t t) ) 为非振荡性的衰减。为非振荡性的衰减。 3. 3. RLCRLC串联电路零输入响应分析串联电路零输入响应分析 解：解：(1) (1) 若以若以 u u C C ( (t t) ) 为求解变量为求解变量 例例1 1：已知图示电路中t 0 时 时 uS = 0 R = 3 L = 1 2 H C = 1 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求：uC(t)及iL(t) t0 + RC d2uC dt 2 LC duC dt + uC = 0 + d2uC dt2 duC dt + uC = 0 1 8 3 4 + 6 d2uC dt 2 duC dt + 8 uC = 0 s2 + 6s + 8 = 0 s1, 2 = -636 - 32 2 2 -62 = s1 = -2 s2 = -4 过阻尼情况 阻尼电阻 Rd = 2 = 2.828 L C R Rd L i R + uS - C + uC - uC(t) = K1e -2t + K2e - 4t uC (0) = K1 + K2 = 2 解得 K1 = 6，K2 = 4 uC(t) = 6e -2t 4e - 4t V t0 iL(t) = iC(t) = C duC dt = 3e -2t + 4e - 4t t0 0 4 t -3 1 iL uC 0 6 t -4 2 uC(0) = 2V iL(0) = 1A K1 + K2 = 2 2K1 4K2 = 4 联立 duC dt |t=0 = 2K1 4K2 = = 4 C iL(0) s1 = -2 s2 = -4 s1,2 = - 2L R 2L R ()2 LC 1 - = -39-8 = -31 s1 = -2 s2 = -4 uC(t) = K1e-2t + K2e-4t = 6e-2t - 4e-4t V t0 iL(t) = C duC dt = -3e-2t + 4e-4t A t0 解解: :（2 2）不列微分方程）不列微分方程 过阻尼情况 阻尼电阻 Rd2 = 2.828 L C R Rd L i R + uS - C + uC - 已知图示电路中t 0时时 uS = 0 R = 3 L = 1 2 H C = 1 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求: uC(t)及iL(t) t0 例例1 1： + d2i dt2 di dt + i = 0 1 8 3 4 + 6 d2i dt2 di dt + 8i = 0 s2 + 6s + 8 = 0 s1 = -2 s2 = -4 iL(t) = K1e-2t + K2e-4t (3)(3) 若以若以i i L L ( (t t) )为求解变量为求解变量 uR + uL + uC = 0 等式两边微分 + RC d2i dt2 LC di dt + i = 0 已知图示电路中t 0时时 uS = 0 R = 3 L = 1 2 H C = 1 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求: uC(t)及iL(t) t0 解：解： L i R + uS=0 - C + uC - 例例1 1： iL(t) = K1e-2t + K2e-4t + 2V - 1A + uL(0+) - 3 t = 0+时电路 iL(0) = K1 + K2 = 1 di dt |t=0 = -2K1 - 4K2 = L uL(0) uL(0+) = -31-2 = -5V 解解: : -2K1 - 4K2 = -10得K1 = -3, K2 = 4 iL(t) = -3e-2t + 4e-4t A t0 = 2 + 4( 3 2 e-2t - e-4t - 1 2 )= 6e-2t - 4e-4t V t0 L i R + uS - C + uC - 已知图示电路中t 0时时 uS = 0 R = 3 L = 1 2 H C = 1 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求: uC(t)及iL(t) t0 例例1 1： uC(t) = uC(0) + 1 Cidt 0 t = 2 + 4( 3 2 e-2t - e-4t)| 0 t 无振荡衰减无振荡衰减 s1 = s2 = 2L R = 解的形式uC(t) = K1e- t + K2te- t = (K1 + K2t )e- t K K1 1 = = u uC C (0)(0) duC dt |t=0 = K2e-t (K1 + K2t)e-t|t=0 = K2 K1 = C iL(0) K K2 2 = = C C i i L L (0(0 ) ) + + u uC C (0)(0) s1, s2为两个相等的负实数： (2) (2) 临界阻尼情况临界阻尼情况 即即 R R = 2= 2 L L C C 2 2L L R R ( ( ) ) 2 2 LCLC 1 1 = = 解解： 例例2:2:已知RLC串联联电路中t0时时 C = 1F L = 1H R = 2 uS = 0 iL(0) = 1A uC(0) = 0 求uC(t) t0 s1,2= - 2L R 2L R ()2 LC 1 - = -1-1 = -1 2 21 uC(t) = (K1 + K2t )e-t K1 = 0 K2 = 1 duC dt |t=0 = K2K1 = C iL(0) = 1 uC(t) = t e-t V t0 0t uC L i R + uS - C + uC - 临界阻尼情况 s1 = 2L R = + jwd+j 2L R ()2 LC 1 ( s2 = 2L R = jwd j 2L R ()2 LC 1 ( 解的形式 uC(t) = e- t ( K1coswd t + K2sinwd t ) K K 1 1 = = u uC C (0)(0) C iL(0 ) = K1 + wdK2 = duC dt |t=0 = e - t (K1coswdt + K2sinwd t) +e- t( wdK1sinwd t + wd K2coswd t)|t=0 u uC C (0)(0) K K2 2 = = w wd dC C i i L L (0)(0) + + w wd d s1, s2为共轭复数 (3) (3) 欠阻尼情况欠阻尼情况 即即 R R 2 2 L L C C 2 2L L R R ) ) 2 2 LCLC 1 1 ( ( uC(t) = e- t (K1coswdt + K2sinwdt ) K1 = K12 + K22 e - t ( K12 + K22 coswdt + K2 K12 + K22 sinwd t ) K2 K12 + K22 sinq = K1 K12 + K22 cosq = q = arctan K1 K2 利用公式coscos ( ( b b ) ) = = coscos coscos b b + + sinsin sinsin b b u uC C ( (t t) ) = = K K 1 1 2 2 + + K K2 22 2 e e - - t t ( ( coscos q q coscos w wd d t t + + sinsin q q sinsin w wd d t t ) ) = K12 + K22 e - t cos(wdt -q ) = Ke- t cos (wd t + ) K12 + K22 K2 K1 q q K = K12 + K22 = -q = - arctan K1 K2 式中 u uC C( (t t) ) = = K Ke e - - t t coscos ( ( w w d d t t + + ) ) 也可直接写成 用初始条件确定K和 结论：结论： u uC C ( (t t) ) 是衰减振荡，是衰减振荡，R R比较小，称为欠阻尼。比较小，称为欠阻尼。 衰减因子 wd 衰减振荡角频率 0 uC t Ke- t -Ke- t K = K12 + K22 K K1 1 = = u uC C (0)(0) K1 K2 = -arctan u uC C (0)(0) K K2 2 = = w wd dC C i i L L (0)(0) + + w wd d 解：解：由零输入响应的形式可知，电路应为欠阻尼欠阻尼情况。 零输入响应的一般形式为 uC(t) = e t (K1coswd t + K2sinwd t ) = = 2 2L R 解得：L = 1H， C = F 7 1 固有频率 例例3 3：已知: R = 4，RLC串联电路的零输入响应为 求：L 和 C。 4. 4. R R = 0 = 0 无阻尼无阻尼 特征根 s1, s2 为共轭虚数 s1 = j= jw0 LC 1 s2 = -j= -jw0 LC 1 解的形式 u uC C ( (t t) ) = = K K1 1 coscos w w0 0 t t + + K K2 2 sinsin w w0 0 t t K1 = uC(0) uC(t) = Kcos(w0t + ) K = K12 + K22 = - arctan K1 K2 无衰减等幅振荡无衰减等幅振荡 Cw0 iL(0 ) K2 = C L(0) duC dt |t=0 = w0K2= i uC(t) = K1cosw0 t + K2sinw0 t K1 = K12 + K22 K12 + K22 cosw0t + K2 K12 + K22 sinw0 t K1 K12 + K22 cosq = K2 K12 + K22 sinq = q = arctan K1 K2 利用公式利用公式cos(cos( - - b b ) ) = = coscos coscos b b + + sinsin sinsin b b uC(t) = K12 + K22 cosq cosw0 t + sinq sinw0 t = K12 + K22 cos (w0 t -q ) = K cos (w0 t + ) K12 + K22 K2 K1 q q K = K12 + K22 = -arctan K1 K2 式中 设 L = 1H C = 1F uC(0) = 1V iL(0) = 0 i = C = duC dt duC dt LCLC电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡。电路的零输入响应是按正弦规律变化的等幅振荡。 初始状态 描述电路的两个联立一阶微分方程 解微分方程，得 i = sint uC = cost i t0 i = sint uC = cost 0t uC uC = L = di di dt dt C + u C i L + uL 7-3 7-3 RLC RLC 串联电路的全响应串联电路的全响应 + RC d2uC dt2 LC duC dt + uC = US uC(0) = ? duC dt |t=0 = ? uC(t) = uch + ucp + RC d2uch dt2 LC duch dt + uch = 0 s1 = -1 s2 = -2 设电路为过阻尼 uch(t) = K1e -1t + K2e -2t uC(t) = K1e -1t + K2e -2t + US 设ucp(t) = Q 与激励形式一样 若为直流激励，则 Q = US K1，K2由初始条件确定 根据特征根的四种不同情况， 写出齐次方程解的形式 L i R + uS - C + uC - 例：例：求图示电路中uC(t) t0 已知uC(0) = 0 iL(0) = 0 + RC d2uC dt2 LC duC dt + uC = US + d2uC dt 2 duC dt + uC = 2 设ucp(t) = Q 代入原方程 s2 + s + 1 = 0 s1,2 = -11-4 2 = - 1 2 j 2 3 uch(t) = e K1cos - 1 2t 2 3 t + K2sint 2 3 + K2sint + 2 2 3 uC(t) = e K1cos - 1 2t 2 3 t uC(0) = K1 + 2 = 0 解：解： 为欠阻尼情况 1Hi 1 + US = 2V - 1F + uC - t0 C iL(0)duC dt |t = 0 = - 1 2 K1 + 2 3 K2 = 2 3 K1 = -2 K2 = -3 uC(t) = e-2cos - 1 2t 2 3 t -t + 2 2 32 3 3 sin = -2.3e cos( - 1 2t 2 3 t - 30) + 2 V t0 例：例：求：图示电路中uC(t) t0 已知：uC(0) = 0 iL(0) = 0 1Hi 1 + US = 2V - 1F + uC - t0 解：解： uC(0) = K1 + 2 = 0 uC (t) = eK1cos - 1 2t 2 3 t + K2sint + 2 2 3 确定系数 7-4 7-4 GCLGCL并联电路的分析并联电路的分析 iC + iG+ iL = iS Cdu C dt + GuC + iL = iS + GL d2iL dt2 LC diL dt + iL = iS 如果是零输入响应 i i S S = = 0 0 + GL d2iL dt2 LC diL dt + iL = 0 iL(0) = ? diL dt |t=0 = ? LCs2 + GLs + 1 = 0 s1,2 = -GL(GL)2 - 4LC 2LC 2C G = - 2C G ()2 LC 1 - 根据固有频率四种情况写出解的形式 阻尼电导阻尼电导Gd = 2 L C iS + - iCiGiL CG L uC 特征方程 + GL d2iL dt2 LC diL dt + iL = IS GCLGCL并联电路并联电路 2C G s1,2 = - 2C G ()2 LC 1 - RLCRLC串联电路串联电路 s1,2 = - 2L R 2L R ()2 LC 1 - + RC d2uC dt2 LC duC dt + uC = US 阻尼电导 Gd = 2 L C 阻尼电阻 Rd = 2 C L 利用对偶规则可得利用对偶规则可得 GCL GCL 并联二并联二阶电路的解。阶电路的解。 互为对互为对 偶关系偶关系 例：例： 图示电路中，欲使电路产生临界阻尼响应， 则 C 应为何值？ 解：解：Gd = 2 L C 阻尼电导 欲使电路产生临界阻尼响应，应满足G = Gd 由于 G = 1S 2 = 1 L C 故 得 C = 0.5 F iS 1 2H CR L 解：解： 例：例：RLC并联电路的零输入响应为 uc(t) = 100e-600t cos 400t， 若电容初始贮能是 1 30 J， 求R，L，C以及电感的初始电流。 uC(0) = 100V 1 30 wC(0) = 1 30 CuC2(0+) = 1 2 C = 2 30uC2(0+)= 2 301002 = 6.67F 由零输入响应的形式可知，电路应为欠阻尼情况。 零输入响应的一般形式为零输入响应的一般形式为 u uC C( (t t) ) = = e e - - t t ( (K K 1 1 coscos w wd d t t + + K K2 2 sinsin w wd d t t) ) = - jwd 2C G s1, 2 = - 2C G ()2 LC 1 - K1 = 100, K2 = 0, = 600, wd = 400 rad/s iRiL RL + - iC CuC = - jwd 2C G s1,2 = - 2C G ()2 LC 1 - = 2C G = 600 G = 60026.6710-6 = 80.