空间向量解立几题.ppt

利用空间向量解决立体几何问题 立体几何研究的对象是空间图形，通过这部分知识的学习，来 培养学生空间观察和公理化体系处理数学问题的思想方法，这也是 学生进入高校学习时所必须具备的重要数学基础，因此历年高考立 体几何试题突出空间图形的特点，侧重于对直线与直线、直线与平 面、平面与平面的各种位置关系的考查。而近几年高考题则更科学、 更灵活地体现了这些，并有与其他章节综合的态势。 一、地位与作用 其中，依据定义、定理，对几何中各元素间的关系或几何体的 某些特性的存在与否进行判定与论证是高考的重要内容之一，常以 判断正误的形式出现在选择题或填空题中；另外，考查空间线线、 线面、面面平行与垂直以及它们间所成的角与距离是高考中更为突 出、更为重要的内容，既可以在选择、填空题中出现，又综合地体 现在解答题中；立体几何的学科特点决定了立几综合问题的基本模 式是论证与计算，尤其是空间夹角与距离的量化是空间图形位置的 极至与精髓，当然也还可能出现开放性、探索性问题。近几年中， 立几部分在高考中的分值都在20分以上，2003年为26分，往往是3 4个选填题和1个解答题，涉及夹角与距离的占50%到80%，可见 其极其重要的地位和作用。 二、考纲要求 2003年数学高考考试说明（新课程版）对这部分的考试要求是： （九 B）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射 影等概念；掌握直线与直线、直线和平面、平面和平面所成的角、 距离的概念，对与异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或 在坐标表示下的距离。掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个 平面平行、垂直的判定定理和性质定理。 三、空间角与距离的向量解法 1.空间角的范畴 分类定 义 范 围求法（通用公式）备 注 异面 直线 所成 角 略 两异面直线方向向 量所夹锐角或直角 直线 与平 面所 成角 略 直线的方向向量与 平面法向量所成锐 角的余角 二面 角 略 向量线性运算包括：线段 式和坐标式运算两种，坐 标式运算更为简便 两平面“一正一 负”法向量所成角 （或两法向量所成 角或其补角） 平面角的两边形 成的向量的夹角 2. 空间距离的范畴 （1）分类：空间距离指两个空间图形（点、线、面）之间的距离 主要包括：点与点间、点与线间、点与面间、线与线间、线与面 间 、面与面间的距离，它们归根结底是点与点间的距离，但并不是 在 计算时都转化为点与点间距离求解；空间距离中点到面的距离是 重点，是最为突出的空间距离；异面直线间的距离是难点，但在 向量方法上两者的求法从形式到本质都是相同的。 （2）空间距离公式： 两点间距离公式 （向量在向量方向上的射影的模长） 点到面的距离公式或异面直线间的距离公式， 其中 为法向量 A B A B 1.求异面直线间的距离 如图，已知a，b为两异面直线，CD为a，b的公垂线段， A，B分别为a，b上的任意两点an，bn， 则 n = = =| | 即异面直线a，b间的距离 3.典型例题分析 (一) 能用向量坐标式计算的空间角与距离问题 思路及步骤： 建 系标 点向 量 坐 标 计 算 法向量 （二）不能（或不方便）建立空间直角坐标系的立几问题 利用向量线段式运算 思路与方法： 未知向量 夹角 已知长知 夹角向量 转 化 说明：上述转化常通过基底来实现 1.向量融数形于一体，具有代数形式和几何形式“双重身份”， 具有线性运算、数量积、向量积、混合积，既有线段表达式， 又有坐标表达式，是解决问题的一种重要工具，是高考必考内容； 2.向量本身的特点决定了它与立体几何、解析几何、三角函数等 内容的自然融合，是知识的“交汇点”，也是高考命题的指导思想 和热点； 3.空间向量为立体几何中夹角与距离的求解提供了通法，有很强的 规律性、实用性和优越性，本单元教学中要注意把握：学生能熟练 地进行空间基向量的选取、能合理地建立空间直角坐标系（右手系） 、深刻理解夹角公式的通用性和（点到面）距离公式的由来以及在 此基础上的熟练运用； 4.高考立几问题多是以中档题目出现，是绝大多数学生的得分点， 在高二学习过程中宜按高考要求牢固掌握，为时间仓促的高三复 习节约时间。 应用： 例1 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AAl=4， AC=BC=2，ACB=900，E为AB的中点，求异面直线 EC与AB1的距离 解：如图建立空间直角坐标系，则 A(2,0,O)，Bl(0,2,4)，E(1,1,O)， =(-2,2,4), =(1,1,0), =(-1,1,0). 设=(x，y，z)，且 , 设=0 ， =0 ， -2x+zy+4z=O,x+y=O， 即z=x,y=-x，令x=1，则 =(1，-1，1) ， 异面直线EC与ABl的距离 = 2求点面距离 如图已知平面，A ，B，为平面的法向量， 过A作AC平面于点C，则 = = =| | 即点A到平面的距离为 其中B为平面内任一点，为平 面的法向量 例2 已知ABCD为边长为4的正方形，E，F分别为AB和AD的中点 ，过平面外一点G作GC面ABCD于C，且GC=2，求点B到面 GEF的距离 解如图建立空间直角坐标系，则G(0，O，2)， F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O) =(2,- 2,0), =(2,4,-2), =(2,0,0). 设面GEF的法向量为 =0 =0 2x一2y=O，2x+4y-2z=0，z=y，z=3y令y=1，则 =(1,1,3) ， 点B到面GEF的距离为 = 3求线面距离 如图，直线a平面,因直线a上任一点到平面的距离 与直线a到平面的距离相等，故直线a与平面的距离为 其中点A为直线a上任一点，B为面内任一点，为 面的一法向量 例3在棱长为2的正方体AC,中，G为AA1的中点，求 BD与面GB1D1的距离 解如图建立空间直角坐示系，则 B(2,2,O),G(2,0,1)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2) =(2,2,0), =(2,0,- 1), =(0,0,2),设面GB1D1的法向量 =(x,.y,z), 则 =0 =0 2x+2y=0，2x-2=O，即y=-z，z=2x令x=1则 =(1,-1，2) BD与面GB1D1的距离为 = 4求面面距离 如图，平面平面，因平面上任一点到的距离等于两 平面的距离，故两平行平面间的距离 ，其中点A为面内任一点，B为面内 任一点， 为面或面的法向量 例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 1)求证：面ABC面AlClD； 2)求面ABIC与面AlClD的距离 解 如图建立空间直角坐标系， 则A(1，O，0)，B(1，1，O)， C(0，1，0)， D(0，0，O)，A1(1 ，0，1)，B1(1，1，1)，Cl(O，1