概率与数理统计 习题三.pdf

习题三解答 1已知在10只灯泡中有2只次品。在其中取两次，每次任取一只，定义 随机变量和如下： 考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。试分别就这两种情 况，写出和的联合分布律。 解：首先判断和的可能取值数对：， （1）放回抽样 和的联合分布律： 01 0 1 （2）不放回抽样 和的联合分布律： 01 0 1 2将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示三次 中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出和的联合分布。 解：由题意： 的可能取值为：0，1，2，3 再设为出现反面的次数，的可能取值为：0，1，2，3 并且注意到： 0123 3210 所以的可能取值为：1，3 不可能取到0或2。 和的联合分布： 0123 100 300 3甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中 率为0.5，以和分别表示甲和乙的命中次数，试求和的联合分布律。 解：首先判断， 和独立所以 分布表略。 4将两封信随机地往编号为、的四个邮筒内投。表示第 个邮筒内投入的信的数目，写出的分布律。 解 ：首先判断的所有可能取值数对： ，共9对 其它计算略 的分布律： 012 0 10 200 即： 012 0 10 200 5已知随机变量和的联合概率密度为 （1）试确定常数； （2）求的分布函数； （3）求 （4）求。 解：（1）因为即 得：。 随机变量和的联合概率密度为 （2）当时， 的分布函数 （3） （4） 6设随机变量的分布函数为 求常数。 解：利用分布函数的性质得： 所以： 所以得： ， 7设随机变量只取下列四组值：，且相应的概率依次为。 （1）确定常数；（2）列出的分布律表。 解：（1）利用所有取值概率之和等于1 得： 解之得： （2）的分布律表 01 -10 000 200 8（1）求第1题中随机变量的边缘分布律； （2）求第2题中随机变量的边缘分布律； （3）求第5题中随机变量的边缘分布律； （4）求第6题中随机变量的边缘分布律。 解：（1）因为和的联合分布律（放回抽样）： 01 0 1 随机变量的边缘分布律： 01 01 不放回抽样同理处理。 （2）因为和的联合分布： 0123 100 300 的边缘分布率： 0123 的边缘分布率： 13 （3）因为随机变量和的联合概率密度为 所以当时 关于的边缘密度为： 同理关于的边缘密度为 （4）因为 所以 求导得边缘密度函数： 同理的边缘密度函数： 9设随机变量和的联合概率密度为 求（1）和的联合分布函数；（2）边缘概率密度。 解课堂已讲： （2）求边缘概率密度可对联合概率密度进行积分即可。 10设二维随机变量的概率密度为 求：（1）和的联合分布函数；（2）边缘概率密度。 解：（1）当或时， 当时， 当时， 当时 当时， 所以和的联合分布函数： （2） 当或时， 当时， 所以边缘概率密度 同理边缘概率密度 11将某医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的定货单数分别记为 和。据以往积累的资料知和的联合分布如下表： （1）求边缘分布律； （2）求8月份的定单数为51时，9月份定单数的条件分布律。 5152535455 510.06 0.05 0.05 0.01 0.01 520.07 0.05 0.01 0.01 0.01 530.05 0.10 0.10 0.05 0.05 540.05 0.02 0.01 0.01 0.03 550.05 0.06 0.05 0.01 0.03 解：（1）由联合分布马上可求边缘分布律： 5152535455 0.180.150.350.120.20 5152535455 0.280.280.220.090.13 （2）8月份的定单数为51时，9月份定单数的条件分布律 ，其它同理 5152535455 12以记某医院一天出生的婴儿的个数，记其中男婴的个数。 设和的联合分布律为 （1）求边缘分布律； （2）求条件分布律； （3）求时，的条件分布律。 解：（1） （2）（3）易求。 13雷达的圆形屏幕半径为。设目标出现点在屏幕上服从均匀分布。 求： （1）的联合概率密度和边缘概率密度； （2）和； （3）。 课堂已讲。 答案：解：由均匀分布的定义有 （1） 的联合概率密度 边缘概率密度为 同理可求另一个边缘一度函数 （2）条件密度函数由定义易求 （3） 14设随机变量的概率密度为 （1） （2） 解：（1） 随机变量的概率密度为 所以 同理： （2） 另一个同理可求。 15已知服从参数为0.6的0-1分布，在及时，关于的条件分布律分别为 123 123 求和的联合分布律以及时的条件分布律。 解：根据条件分布率和联合分布率的关系得和的联合分布律： 123 0 1 01 0.30.7 16（1）第1题中的随机变量和是否相互独立？ （2）第4题中的随机变量和是否相互独立？ 解：（1）可放回抽样独立，不放回抽样不独立，证明略。 （2）第4题中的随机变量和不相互独立，证明略。 17设随机变量的概率密度为 （1）求边缘概率密度，并问和是否相互独立？ （2）求条件概率密度。 解：(1)因为随机变量的概率密度为 所以当时， 所以边缘概率密度 同理： （2）条件密度由联合密度与边缘密度的关系易求。 18设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中是常数。引入随机变量 （1）求；（2）求的分布律和分布函数。 解：（1）因为设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中是常数。 所以 （2）的分布律 的分布律 01 的分布函数： 19设和是两个相互独立的随机变量，且分别服从参数为与的指数分布 求（1）的概率密度；（2）的概率密度。 解：因为和是两个相互独立的随机变量，且分别服从参数为与的指数分 布 所以密度函数分别为： （1）由卷积公式当时得： ，否则当， （2）当时 密度函数分别为 20某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为 设各周的需要量是相互独立的。试求：（1）二周需要量的概率密度； （2）三周需要量的概率密度。 解：因为某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为 又各周的需要量是相互独立的 （1）卷积公式得二周需要量的概率密度 当时 即 同理三周需要量的概率密度 21设与是相互独立，其条件分布律分别为 123 123 求的联合分布律及。 本题有错误。 22一个商店每星期四进货，以备星期五、六、日3天销售。根据多周 统计，这3天销售件数彼此独立，且有如下分布 101112 0.20.70.1 131415 0.30.60.1 171819 0.10.80.1 问3天的销售总量可以取哪些值？如果进货45件，不够卖的概率是多 少？如果进货40件，够卖的概率是多少？ 解：销售总量可以取 40414243444546 如果进货45件，不够卖的概率是0.001。 如果进货40件，够卖的概率是0.006。 23设与相互独立且都服从正态分布。试验证的概率密度为 称服从参数的瑞利（Rayleigh）分布。 解：课堂已讲，见课件。 24测量一圆形物件的半径，其分布律为 10111213 0.10.40.30.2 求圆周长与圆面积的分布律。 解：圆周长的分布律 20222426 0.10.40.30.2 圆面积的分布律 100121144169 0.10.40.30.2 25已知,与独立。 （1）确定的值； （2）求出的联合分布律以及的分布律。 解：（1）由分布率的性质得： 所以 所以 （2）的联合分布 123 1 2 3 的取值为2，3，4，5，6 同理： + 其它略。 26设某种电子仪器由两个部件构成，以和分别表示两个部件的寿命 （单位：千小时），已知的分布函数为 （1）问和是否相互独立？（2）求两个部件寿命都超过100小时的概 率。 解：（1）， ， 所以，和相互独立。 （2）两个部件寿命都超过100小时的概率 27设与相互独立，它们分别服从参数为的泊松分布。证明服从参数为 的泊松分布。 证明：因为与相互独立，它们分别服从参数为的泊松分布，所以 ， 即证。 28设与相互独立，它们分别服从参数为二项分布。证明服从参数为的 二项分布。 课堂已讲，见课件。 29设的分布律为 0123 00.100.040.130.08 10.050.060.080.11 20.010.020.010.05 30.020.030.050.06 40.010.040.030.02 （1）求； （2）求的分布律； （3）求的分布律； （4）求的分布律； （5）求的分布律； （6）求的分布律。 解：（1） （2）的所有取值为0，1，2，3，4，5，6，7 其它同理可求，所以的分布律为 01234567 0.10.090.200.200.160.140.090.02 （3）的取值为：-3，-2，-1，0，8 其它略。 （4）的取值为：0，1，2，3，4 其它同理可求： 的分布律为： 01234 0.100.150.250.400.10 （5）的所有可能取值0，1，2，3 其它同理可求： 的分布律： 0123 0.440.340.140.08 （6）的分布律与的分布律相同， 即为： 01234567 0.10.090.200.200.160.140.090.02 30设和相互独立，且服从（0,2）