职高数学拓展模块(人教案)：椭圆的定义及标准方程.ppt

1 1 例题与练习 归纳小结 仙女座星系 星系中的椭圆 “传说中的”飞碟 装饰中的椭圆 数 学 实 验 1取一条细绳， 2把它的两端固定在 板上的两点F1、F2 3用铅笔尖（M）把 细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形 观察做图过程思考： 1绳长与F1、F2之间的距离关系 ? 2在变化过程中,什么始终为定值? F1F2 演示 一椭圆的定义 平面上到两个定点 的距离的和（2a） 等于定长（大于 |F1F2 |）的点的轨 迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭 圆的焦点。 两焦点之间的距离 叫做焦距（2c）。 F1F2 M 椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述： 二椭圆方程推导的准备 1建系设点 2列等式 3等式坐标化 4化简 5说明 M F1F2 方程推导 解：取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图). 设M(x,y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a，则F1,F2的坐标别 是(c,0)(c,0) 。 y o x M F1F2 将方程移项, 两边平方, 得 o y x 由椭圆的定义，椭圆就是集合 两边再平方，得 整理得 两边除以 得 -这就是椭圆方程 二椭圆的标准方程1 它表示： 1椭圆的焦点在x轴 2焦点是F1(-c，0)、F2(c，0) 3 c2= a2 - b2 F1F2 M 0x y 二椭圆的标准方程2 它表示： 1椭圆的焦点在y轴 2焦点是F1(0，-c)、F2(0，c) 3c2= a2 - b2 F1 F2 M 0 x y 1、椭圆的标准方程有焦点在x轴和在y轴两种。 2、椭圆标准方程的等号左边是两项的完全平方 和，等号右边是1。 3、椭圆标准方程中的a，b及c有着特定的含义， 且是一组三角勾股数ac0,ab0,a2-c2=b2,a最大. 4、由标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方 程中含字母x，y项的分母的大小来确定，焦点在 分母大的项对应的字母所在的坐标轴上。 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴 (2) a =4，c= ，焦点在 y 轴上 (3)两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2） 并且经过点（ -1.5 ，2.5） 解: (1)因为焦点在x轴上,所以设所求方程为 a=4, b=1 所求方程为 (2) 因为焦点在y轴上,所以设所求方程为 a=4, b=1 所求方程为 (3) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方 程为 由椭圆的定义知, 求一个椭圆的标准方程需求几个量？ 答：两个。a、b或a、c或b、c。且a2=b2+c2 注意：“椭圆的标准方程”是个专有名 词，就是指上述的两个方程。形式是固定的。 又 所以所求椭圆方程为 例2.判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2 、b2，写出焦点坐标 答：在 x轴。（-3，0）和（3，0） 答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5） 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1） 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上。 例3.将下列方程化为标准方程，并判 定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 在上述方程中，A、B、C满足什么条件 ，就表示椭圆？ 答： A、B、C同号，且A不等于B。 例4 (1)方程 表示椭圆,求k的取值范围. 变式:若焦点在y轴上,求k的范围 解: 因为 表示椭圆, 所以 即 16k24 k的取值范围是(16, 24) 解: 因为 表示椭圆, 所以 即 16k24 k的取值范围是(16, 24) 解: 将椭圆方程5x2-ky2=5化为标准方程 焦点是(0, 2) c2 = 4, b2=1, 1=4 k= - 1 (2)椭圆 的一个焦点是(0,2), 求k的值. 例5 已知B、C是两定点，|BC|=6，且 ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 。 分析：1判断：和是常数；常数大于两个定 点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。 2取过两个定点的直线做 x 轴，它的 线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系 ，从而保证方程是标准方程。 3根据已知求出a、c，再推出a、b写 出椭圆的标准方程。 解：如图，以BC所在直线为x轴，以线段 BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有 |AB|+|AC|=10， 但当点A在BC上，即y=0时，A、B、C、三 点不能构成三角形，所以A的轨迹方程是 即点A的轨迹是椭圆，且 1 2c=6，2a=16-6=10， c=3，a=5，b2=52-32=16 A BC o x y 解题程序： 1根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆 2象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所在 直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平 分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保 证椭圆的方程是标准方程。 3设椭圆标准方程，即用待定系数法 4写出椭圆的标准方程 练习： 1 已知三角形ABC的一边 BC 长为8， 周长为18，求顶点A的轨迹方程 答： 1、本节课我们了解了椭圆的概念和椭圆的形成 过程。 2、给出了椭圆的准确定义并推出了椭圆的标准 方程。 3、椭