计算机控制系统的数学描述2(差分方程,脉冲传递函数).ppt

1、差分方程的一般形式 系统的输出Z传递函数与系统输入Z传递函数之比，当初 始条件为零时，称为系统的Z传递函数。一般可表示为 3.2 差分方程 连续系统的动态过程，用微分方程来描述； 离散系统的动态过程，用差分方程来描述。 利用Z变换基本性质中延迟移位定理，可写成差 分方程,一般形式为： （3.25） 若系统的Z传递函数写成超前形式 当初始条件为零时 2、差分方程的求解 （1）迭代法 若看作数学问题求解，需考虑初始条件。 例3.8 已知差分方程为 设初始条件 ，求 。 解：将差分方程式写成递推形式 令 ，则 设 故 令 继续令 k =3,4,- ，可求出k为任何整数时的输出 。 迭代法的缺点，难以写出通式 。 （2）Z变换法 在求解数学问题时，采用Z变换法也需考虑初 始条件。 在利用Z变换的左移定理时，即 例3.9 用Z变换法解以下差分方程 初始条件为 ， 。 解：对上述差分方程两端做Z变换，得 查Z反变换表，得 3.3 脉冲传递函数 1、脉冲传递函数（Z传递函数）的定义 在初始条件为零时，系统输出Z传递函数与输 入Z传递函数之比，称为系统的脉冲传递函数，与连续系 统一样，它仅取决于系统本身的结构参数，与输入信号无 关。 （3.26） 若已知系统的脉冲传递函数 ，系统输出的Z传递 函数为 （3.27） 上述关系，如图3.2所示 输入信号 经采样后为 ，其Z变换为 ，但其输出为 连续信号 ，为了用脉冲传递函数表示，可在输出端虚设一个 与输入开关同步的采样开关，如图3.2（b）所示，这样系统变成了 离散系统。 （a） （b） 图3.2 脉冲传递函数 脉冲传递函数 的求法： 对 做拉氏反变换 ，求得脉冲响应。 对 采样，求得采样信号 （离散系统脉冲 响应）。 对采样信号 进行拉氏变换，得 以上3式均可通用。 2、差分方程与脉冲传递函数 已知差分方程为 或 延后形式 ： 超前形式 ： 如果差分方程为 如果差分方程为 并设所有初始条件均为零，得 3、开环脉冲传递函数 （1）单个环节脉冲传递函数 （a） （b） （c） （d） 图3.3 单个环节脉冲传递函数 （a）连续输入与连续输出 （3.28） （b）连续输入与采样输出 （3.29） 星号交换原则1：等号两边都取星号，即 （3.30） （c）采样输入与采样输出 星号交换原则2：等号两边都取星号，对已有星号的可 以移出括号之外，注意 （d）采样输入与连续输出 （3.31） 注意，此时 中包含有零阶保持环节 。 第2种、第4种情况，只能写出输出的表达式，不能写出它 的脉冲传递函数。只有当输入信号和输出信号均有采样开 关，即它们均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传 递函数。 能否得到脉冲传递函数，与采样开关的设置有关，也与观 察的角度有关。 （2）串联环节的脉冲传递函数 （b） （a） 图3.4 串联环节的脉冲传递函数 对第1种情况： 类似，几个环节串联，且它们之间均有采样开关隔开， 则可得 对第2种情况，两个连续环节之间无采样开关，这样在 输入与输出两个采样开关之间的连续函数为 ，可看作一个独立环节 。 类似，对几个无采样开关串联连接的情况， 星号变换规则3：在串连环节中，每一项需要进行星号变 换，或二个采样开关之间的环节为独立环节(离散形式)。 这一点可通过实例说明： 设 : ， 注意： （3）有零阶保持环节时的开环脉冲传递函数 图3.5 有零阶保持环节的开环脉冲传递函数 实际上，采样信号要加到一个连续环节上时，一定要通过 零阶保持环节。对计算机系统来说，计算机输出一定要通 过D/A变换器（即零阶保持环节）。 什么是零阶保持环节？即保持一个采样周期的采样信号， 如图3.6所示。 t T oo t 图3.6 单位阶跃函数 其中 为单位阶跃信号 （4）并联环节的脉冲传递函数 + + + + 图3.7表示2种并联环节连接的结构图 (a) (b) 图3.7 并联环节结构图 对图（a） 其中 同理 这样 对图（b） 结论：采样开关的位置可以等效移动 4闭环系统的脉冲传递函数 求取闭环系统脉冲传递函数时，应注意2点： （a）两个相邻采样开关之间的环节，为一个独立环节 ； （b）若闭环系统的输入信号未被采样（误差信号被采 样除外），则整个闭环系统的脉冲传递函数将写不出来。 求图3.8所示系统的闭环脉冲传递函数 + 图3.8 采样系统结构图 解： 闭环系统脉冲传递函数 分子是 与 之间是所有独立环节Z变换的乘 积，分母是1加闭环回路所有独立环节Z变换的乘积（这里 只有 一个独立环节 ），这是求闭环系统的 一种方法。 星号变换方法： 例3.10 试推导图3.9所示系统的闭环脉冲传递函数 + 图3.9 离散系统结构图 前向通道所有独立环节Z变换的乘积 1+闭环回路所有独立环节Z变换的乘积 注意几点： 输入 也作为一个连续环节看待。 若 存在(被采样)，则公式（3.32）可写出闭环 系 统的脉冲传递函数 ，否则，就写不出来。 结论：闭环系统的输出Z变换可按以下公式写出： （3.32） 星号变换方法： 则，闭环系统脉冲传递函数为 5有干扰作用时闭环系统的输出传递函数 图3.9A 有干扰作用闭环系统结构 + + + （a）只考虑 时 （3.33） 其中 （3.34） （b）只考虑 时 （3.35） （3.36） 从上式可见， 和 作用点不同，产生的输出响应 也不同，但它们的分母是相同的。因为它们作用在同一回 路，所以闭环系统的特征方程式是相同的。 当输入信号 与其他环节组合在一起时，需要作特殊处 理才能求得闭环系统的脉冲传递函数，例如： 用“星号”变换方法求解 两边取“星号”