高中数学第一章推理与证明1.2.2分析法学案北师大版选修.docx

1.2.2分析法1.了解分析法的思维过程、特点.(重点)2.会用分析法证明数学问题.(难点)基础初探教材整理分析法阅读教材P9P11，完成下列问题.1.分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.2.分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：3.综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，即可证明结论成立.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)分析法就是从结论推向已知.()(2)分析法的推理过程要比综合法优越.()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.()【解析】(1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.(3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型应用分析法证明不等式已知ab0，求证：.【精彩点拨】本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件.【自主解答】要证，只需证b0，同时除以，得1，同时开方，得1，只需证2，即证，即证bb0，原不等式成立，即0，求证：a2. 【证明】要证a2，只需证2a，即证，即a24 4a22 4，只需证2 .只需证42，即a22.上述不等式显然成立，故原不等式成立.用分析法证明其他问题(2016合肥高二检测)求证：以过抛物线y22px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x相切.【精彩点拨】【自主解答】如图所示，过点A，B分别作AA，BB垂直准线于点A，B，取AB的中点M，作MM垂直准线于点M.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM|AB|.由抛物线的定义有|AA|AF|，|BB|BF|，所以|AB|AA|BB|，因此只需证|MM|(|AA|BB|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y22px焦点的弦为直径的圆必与直线x相切.1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.再练一题2.已知1，求证：cos sin 3(cos sin ). 【证明】要证cos sin 3(cos sin )，只需证3，只需证3，只需证1tan 3(1tan )，只需证tan .1，1tan 2tan ，即2tan 1.tan 显然成立，结论得证.探究共研型综合法与分析法的综合应用探究1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1).【精彩点拨】可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来.【自主解答】由已知条件得消去x，y得2a，且a0，b0，c0.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1，因，只需证a1，即证2abc.由于2a，故只需证bc，只需证b3c3(bc)(b2c2bc)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20.因为上式显然成立，所以(a1)2(b1)(c1).综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.再练一题3.已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：.【证明】要证，即证3，即证1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证c2a2acb2.A，B，C成等差数列，2BAC，又ABC180，B60.c2a2b22accos B，c2a2b2ac，c2a2acb2，成立.构建体系1.要证明2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.比较法D.归纳法【解析】由分析法和综合法定义可知选B.【答案】B2.已知a0，b0，且ab2，则()A.aB.abC.a2b22D.a2b23【解析】ab22，ab1.a2b242ab，a2b22.【答案】C3.0B.ab0且abC.ab0且abD.ab(ba)0【解析】()3()3ab33abab2a2bab(ba)0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_. 【解析】因为abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.当且仅当abc时等号成立.【答案】95.已知a，b，cR且不全相等，求证：a2b2c2abbcca.【证明】法一：(分析法)要证a2b2c2abbcca，只需证2(a2b2c2)2(abbcca)，只需证(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)0，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，因为a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(ca)20.又因为a，b，c不全相等，所以(ab)2(bc)2(ca)20成立.所以原不等式a2b2c2abbcca成立.法二：(综合法)因为a，b，cR，所以(ab)20，(bc)20，(