《材料力学》05几何性质.ppt

郑州大学工程力学系编制 Geometric Properties of an Area Date1 1 静矩与形心 2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 3 平行移轴和转轴定理 截面图形几何性质 4 主惯性轴和主惯性矩 Date2 1 静矩与形心 一. 静矩： z y z 图形对 z 轴的静矩： 对 y 轴： 二. 形心： 形心图形几何中心.只取决于图形的几何形状、尺寸. y 对 z 轴 的静矩： 重心物体重力合力作用点. dA 与质量有关（物理概念） 与质量无关（几何概念） 面积与其到轴“距离”之积 （ Static Moment and Centroid of an Area ） Date3 y z 若物体均质，则二者重合为一。 考虑均质等厚薄板，其形心即为重心坐标， y z dA 形心坐标 （形心） C 用静矩表示： （重心） 平面重心坐标可由合力矩定理给出： Date4 y z 三. 性质： 1. 若物体有对称点、线、面， （合之静矩静矩之和） 形心坐标 图形对 z 轴的静矩为零2. z轴过形心 3. 静矩可分割组合 A1 A2 则其形心即在该点、线、面上 )( 代数式 Date5 z y 40 40 试确定下图形心 解 ：按组合图形解 1. 正面积法，图形分割为三 图(a) 例 C1 （y为对称轴） 40 20 20 C3 C2 mm Date6 80 80 图(b) 2.负面积法，图形分割如图(b) 40 40 负面积 C2 z y C1 mm Date7 y例 三根10号槽钢焊成一体， 求整个截面的形心 y为对称轴，形心在y 轴上 各种规格品种的型钢，几何尺寸、参数 可查型钢表 P 370 zc x x y y (形心) 解： Date8 一. 定义 z y dA y z r 极惯性矩： 惯性积 2 惯性矩 惯性积 极惯性矩 (面积与到两轴“距离”之积) 惯性矩： (面积与其到轴“距离”平方之积) ( 面积对极点的二次矩) Moment of Inertia Product of Inertia Polar Inertia Moment Date9 z y （对称轴） 二. 性质： 1. z z 说明：两侧对称的面积微分 显然该情况对全部图形都如此 2. I 可分割组合 3. 若 y 、 z之一 是对称轴 y y 则 Iyz = 0 y 坐标同值同号， z 坐标同值反号， 积分中相互抵消： Date10 例 求惯性矩 （对称轴） y z h/2 h/2 b/2b/2 解： dy y （注意：若 不在以上位置， ）z Date11 例 求惯性矩 （对称轴） y z h/2 h/2 H/2 H/2 B/2B/2 b/2b/2 惯性积 解： 因二轴为对称轴 Date12 例 求图形惯性矩 ， 求 , 解： 求 10 10 70 70 6060 20 两腰负面积 图形分割为三： 图形仍分割为三： Date13 一. 平行移轴公式： 3 平行移轴 转轴公式 移轴公式 zc yc （形心） C 二坐标轴 ， 相互平行， =+bzz C +=a y y C ( ) 其一（ ）原点在形心 Parallel Axis Rotation of Axis Date14 Note: , 必须过形心 思考：公式中， 与 是否可调换位置？ 移轴公式 Date15 20 100 20 解： 求形心位置 100 例 求图形对其形心轴的惯性矩 分割为二, 求 C zc ( yc ) 直接套用矩形公式 Date16 20 100 C C2 求 C1 但 zc 不过二者形心平行移轴 20 图形分割为二： 100 Date17 解： 例 两 16a 型槽钢组合截面， 欲使 （加缀条,螺钉或焊、铆接， 成一整体承载） x d x y y b z0 查P370: 令 Date18 例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解 ：此题求解两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理 B 建立形心坐标, 求图形对形心轴 的惯性矩。 A d x y O Date19 y1 z1绕原点逆时针旋转 角 z1 y1 转轴公式 两坐标系 原点在同一点， 二. 转轴公式 z1 y1 z1 y1 Date20 转轴公式 Date21 4 主轴 形心主轴 主轴过形心，则称为形心主轴 定存在特殊角度的一对轴：图形对该对轴 的惯性积等于零 .主惯性轴（简称主轴） 图形对对主轴的惯性矩主惯性矩（简称主矩） 以任一点为原点，都有一对主轴 随角 变化，是 的连续函数， 据定义可知 可正可负亦可为零 z1 y1 z1 y1 Principal Axis of Inertia Centroid Principle Axis of Inertia Date22 图形另一形心主轴与其垂直且过形心. 图形的对称轴必是形心主轴. （1.对称轴必过形心 ; C (一对称轴)(二对称轴) C C 2.图形关于对称轴的惯性积=0） Date23 Thanks! Date24 以任一点为原点，都有一对主轴。 图形对对主轴的惯性矩主惯性矩（简称主矩） 一. 主轴和主矩 5 主惯性轴和主惯性矩 证明： 由上式可知： 随角 变化，是 的连续函数，又据惯性积定义 可知 可正可负亦可为零， 定存在特殊角度的一对轴：图形对该对轴的惯性积等于零。 这对轴主惯性轴（简称主轴） 可证明：在图形对同一原点（不同角度）所有轴的惯性矩中，主矩 定为极大（极小） Date25 二. 主轴和主矩的确定：图形对该对轴的惯性积等于零, (由于 以 为周期, 公式可得二 , 相差 , 说明二主轴成对出现, 互相 垂直) 再代入转轴公式: Date26 求形心主惯性矩方法 求形心位置，过形心任选坐标系 求出 ， 求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为 形心主惯性矩 三.形心主轴和形心主惯性矩： C 形心 主轴过形心时，称为形心主轴。 Date27 一些特殊情况，图形的主轴和形心主轴，可不计算而直接判断出： (一对称轴) (二对称轴) C C C 图形有一对称轴，该轴必是形心主轴.另一与其垂直且过形心. 图形的对称轴必是形心主轴. （因：1.对称轴必过形心 ; 2.图形关于对称轴的惯性积=0） Date28 例3 矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴(b=1.5d) 解： 建立坐标系如图。 求形心位置。 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy d b 2d x y O xC yC x1 Date29 d b 2d xC yC x1 x y O Date30 y z z y y z 10 120 80 10 40 10 20 20 40 40 Date31 1 试确定下图的形心 解 ： 组合图形，用正负面积法解 1.用