《点的合成运动》PPT课件.pptVIP

普通高等教育规划教材普通高等教育规划教材 编编 著著 肖明葵肖明葵 程光均程光均 张祥东张祥东 吴云芳吴云芳 邹昭文邹昭文 课件制作课件制作 王建宁王建宁 理理 论论 力力 学学 9.1 点的合成运动的基本概念 9.2 点的速度合成定理 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 第9章 点的合成运动 前两章分别研究了点和刚体相对于某一个固定参考 系的运动，本章研究动点相对于不同参考系的运动之间 的关系，即研究点的合成运动。 9.1 点合成运动的基本概念 1.静坐标系和动坐标系 描述任何物体的运动，都是相对于某一参考系而言 的。同一物体相对于不同的参考系所得到的运动描述是 不相同的。 9.1 点合成运动的基本概念 例如平直公路上行驶的汽车，坐 在车上的人看见车轮上的一点M在以 车轮轴为圆心作圆周运动；而对于地 面上的人来说，所看到的M点的运动 轨迹是一条旋轮线，如图9.1所示。 又如液压泵旋转时，液体沿着液压泵 的叶片运动。在瞬时t某液体分子在 液压泵叶片OA的M处，在瞬时t+ t 时刻，叶片转到OA位置，液体分子 由M点运动到了 M 点。 图 9.1 9.1 点合成运动的基本概念 如图9.2所示。在固结于液压 泵固定轴上且随着叶片一起转 动的坐标系0xy上的观察者来 看，液体分子M沿液压泵叶片由 M1点运动到M点，是在沿叶片 表面 作直线运动；而在地 面的观察者来看，该液体分子 是由M点沿曲线 运动到M 点的。 图 9.2 9.1 点合成运动的基本概念 从以上两个例子可以看出，动点相对于不同的参考 坐标系可以表现出完全不同的运动规律。如果选定的 参考系是固结在假定不动的参考物体上，这样的坐标 系称为静(定)参考（坐标）系，一般工程实际中常将固 结在地面的参考系作为静参考系。而将其他固结在相 对于静参考坐标系有运动的参考物体上的坐标系称为 动参考（坐标）系。 9.1 点合成运动的基本概念 如在图9.1所示例子中，固结于地面的坐标系为静坐 标系，而固定于车厢上的坐标系是动参考系；在图9.2 所示例子中，固结于液压泵固定轴上，并且不随液压泵 叶片运动的坐标系0xy为静坐标系，而同样固结于液压 泵固定轴上，但是要随叶片的转动一起转动的坐标系 0xy则为动坐标系。 9.1 点合成运动的基本概念 2.绝对运动、相对运动和牵连运动 动点相对于静参考系的运动称为绝对运动。将动点 在绝对运动中的运动轨迹、运动速度和加速度分别称为 动点的绝对轨迹、绝对速度（以 表示）和绝对加速度 （以 表示）。如在图9.1所示例子中，M点的绝对运 动轨迹是一条旋轮线轨迹；在图9.2所示例子中，液体 分子的绝对运动轨迹是由M点运动到M点所沿的曲线 。 9.1 点合成运动的基本概念 动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。而将动 点在相对运动中的运动轨迹、运动速度和加速度分别称 为动点的相对轨迹、相对速度 和相对加速度 。如在 图9.1所示例子中，M点的相对运动轨迹是以车轮轴为圆 心，M点到车轮轴的距离为半径的一圆周曲线；在图9.2 所示例子中，液体分子的相对运动轨迹是沿叶片表面的 一条直线 。 9.1 点合成运动的基本概念 动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。如 图9.2所示例子中，如果固结在液压泵固定轴上随叶片一 起转动的坐标系0xy不动，则在动坐标系0xy和在静坐 标系0xy下所观察到的液体分子的运动是相同的。但只要 动坐标系0xy 随叶片一起转动，液体分子相对于动坐标 系0xy 和静坐标系0xy的运动便不相同，其原因就在于 动坐标系的运动必然影响液体分子的运动，或者说，动 坐标系的运动使得液体分子的运动受到“牵连”，因此， 固结在液压泵固定轴上的动坐标系0xy随叶片一起绕轴 的转动称为牵连运动。 9.1 点合成运动的基本概念 由于动坐标系一般都是固结在某个运动的参考物体 上的，所以动坐标系的运动就是与之固结的参考物体的 运动，因而牵连运动就可以是平动、定轴转动或者其他 的更为复杂的运动。参考体作定轴转动和其他更复杂的 运动时，其上各个点的运动轨迹各不相同，在某瞬时， 各个点的速度、加速度也是不相同的，因此可定义在某 瞬时，动坐标系上与动点相重合的点(牵连点)相对于静 坐标系运动的轨迹、位移、速度和加速度，分别称为该 瞬时动点的牵连轨迹、牵连位移、牵连速度和牵连加速 度。 9.1 点合成运动的基本概念 3.运动的合成与分解 从以上讨论可知，动点的绝对运动可以看作是由相 对运动和牵连运动复合而成，因此称为合成运动。在图 9.1所示例子中，动点M的绝对运动可以看成是动点相对 于平动车厢的圆周运动，以及车厢的平行直线平动的合 成运动。反之，也可以把一个运动分解为两个分运动， 即相对运动和牵连运动，这又称为运动的分解。 9.1 点合成运动的基本概念 应用合成运动的概念，可以解决两方面的问题。一 方面是在某些实际工程问题中，需要研究点和刚体相对 于不同参考系的运动。另一方面可以将一个复杂的实际 运动，分解为两种简单运动的组合，这种处理运动学问 题的方法，常常可以使一些复杂的问题简化。 在对运动进行分解或合成时，应该明确一个动点 ，两种坐标系和三种运动，即，确定动点之后，分别建 立选好静坐标系和动坐标系，然后分清楚什么是绝对运 动、相对运动和牵连运动。 9.1 点合成运动的基本概念 例如：工厂中用车刀车机器零件 的简化示意图如图9.3所示，当研究 车刀刀尖的运动时，若建立静坐标系 xyz于地面上，并在转动的机器零件 上建立动坐标系xyz，相对于静坐标 系，车刀刀尖沿机器零件的轴线作直 线运动，是绝对运动；动坐标系xyz 随同机器零件作转动，是牵连运动； 车刀的刀尖在机器零件上刻出螺纹的 运动是相对运动。 图 9.3 9.1 点合成运动的基本概念 又如在建筑工地上常见的塔式起重机 的简化示意图如图9.4所示，起重机的 吊臂绕塔身中轴z转动，一小车沿吊臂 运动，当研究小车的运动运动时，若将 静坐标系固结在地面上，动坐标系固结 在塔身上，并随起重机的吊臂一起绕塔 身中轴z转动，小车的相对运动是相对 于吊臂的直线平动，牵连运动是吊臂绕 塔身中轴z的转动，小车的绝对运动可 由这两种运动合成。 图 9.4 9.1 点合成运动的基本概念 本章应用运动合成与分解的方法来研究绝对运动， 相对运动，牵连运动三者之间的关系，特别是三者速度 和加速度之间的关系。 9.1 点合成运动的基本概念 9.2 点的速度合成定理 设有一动点M在某一作任意运动的刚体上沿曲 线AB运动，选取固结在地面的静坐标系Oxyz，并将 动参考系固结在运动刚体上如图9.5所示。 图 9.5 设瞬时t，动点位于M点，且与刚体上的M点相重合。经过 时间间隔后动点运动到M点处，在时间间隔内，曲线AB 运动到AB处，刚体上在瞬时t与动点相重合的M点也被 带到处。在时间内，动点M相对于静坐标系运动的轨迹曲 线是 ，即 是动点的绝对轨迹；而该动点相对于 固结于刚体上的动参考系的运动轨迹为 ，即动点的相 对轨迹；矢量 称为动点的绝对位移，以ra表示； 称为动点的相对位移，以rr表示；而 为t瞬时动坐标 系上与动点相重合点（牵连点）的位移，称为动点的牵 连位移，以r e表示。 9.2 点的速度合成定理 从图9.5中可见动点的绝对位移是牵连位移和相对位 移的矢量和，即 (9.2)式中 (9.1) 将等式两边同时除以时间间隔，并取极限得 (9.2) 称为动点在瞬时t的绝对速度，用 表示，其方向沿动点绝对轨迹曲线 在M点的切线方向。 9.2 点的速度合成定理 是在瞬时t动参考系上和动点相重合的点（牵连 点）的速度，即动点在瞬时t的牵连速度，用 表示， 其方向沿该牵连点运动轨迹曲线 在点M 的切线方 向。 表示，其 在M 点的切线方向。于是式(9.2)可写为 称为动点M在瞬时t的相对速度，用 方向沿曲线 (9.3) 9.2 点的速度合成定理 即在任一瞬时动点的绝对速度等于它的牵连速度和 相对速度的矢量和，这称为速度合成定理。式(9.3)是速 度合成定理的表达式，该式是一个矢量表达式，由矢量 加法可知，并从图9.3中也可看出，如通过M点，画出牵 连速度和相对速度矢量，并以此为邻边构成平行四边形 ，则绝对速度一定是位于以牵连速度和相对速度为邻边 的平行四边形的对角线上，绝对速度的大小等于该平行 四边形的对角线的长度。 9.2 点的速度合成定理 应注意到在推导速度合成定理时，并未限制动参考 系的运动形式，因此速度合成定理适用于牵连运动为任 何形式的运动。 需要指出的是，由于动点相对于动坐标系运动， 所以，在不同的瞬时，动点与动坐标系上的重合点是不 相同的，因此，动点的牵连点具有瞬时性，相应地，动 点的牵连速度和牵连加速度也具有瞬时性。正确理解和 掌握牵连运动的概念是掌握合成运动的关键。 9.2 点的速度合成定理 例9.1 汽车以速度沿直路行驶(图9.6)，雨滴M以速度铅 垂下落。求雨滴相对于汽车的速度。 图 9.6 9.2 点的速度合成定理 解 取雨滴M 为动点，动参考系固结在车厢上，定参考 系固结在地面上。则雨滴相对于地面铅垂下落的运动是 绝对运动，其绝对速度 ；雨滴相对于车厢的运 动为相对运动，其相对速度 的大小与方向均未知；由 于车厢作水平直线平动，故牵连速度 。 和 均为 已知，且两者互相垂直，故可按点的速度合成定理作出 速度平行四边形关系图，如图图9.6所示，求出 。由图 示的几何关系得 (a) 9.2 点的速度合成定理 的方向可由与 铅垂线的夹角决定 (b) 由(b)式可知，雨滴在车厢两侧窗户玻璃上所留痕迹与 铅垂线的夹角为 ，且车速愈大，就愈倾斜，这与实际 经验相符。 9.2 点的速度合成定理 例9.2 半径为R的半圆形凸轮以速度 沿水平支承面运动， 从而顶起可沿铅垂滑槽滑动的直杆AB，如图9.7所示。求 当凸轮外缘上C点与其圆心O之连线的倾角为 时，杆 AB的速度。 图 9.7 9.2 点的速度合成定理 解 分析系统的运动可知，本题是属于机构传动的问题 。由于凸轮的平动，带动顶杆AB上下平动。本题要求杆 AB的速度，杆AB的运动是平动，根据平动刚体的运动特 征，在某一瞬时，AB杆上各点的速度相同，因此，只要 求出AB杆上某一点的速度，即求得了AB杆运动的速度。 由于AB杆上与凸轮相接触之点A在运动过程中始终与凸轮 表面接触，在AB杆上的相对位置是不变的，故取AB杆上 的A点为动点，动坐标系固结在凸轮上，静坐标系固结在 地面上。 9.2 点的速度合成定理 A点的绝对运动为铅垂直线运动，绝对速度 铅垂 向上，大小待求。又A点的相对运动为沿凸轮外缘的圆 周运动，所以相对速度 垂直于半径OC并沿凸轮切线 倾斜向上，其大小未知。牵连运动为凸轮的直线平动， 根据平动刚体的运动特征，在某瞬时，凸轮上各点的速 度相同，可知A点的牵连速度就等于 。 9.2 点的速度合成定理 根据速度合成定理，作出动点A的速度矢量平行四边 形如图9.7(a)所示。由图中几何关系可得 此即为AB杆的速度。 此题若以轮上C点为动点，动系固结于AB杆，则绝对 运动为水平直线运动、牵连运动仍为平动，但相对运动 就很不容易明显地观察到，这样分析起来很麻烦。同时， 如果以轮上在某瞬时与杆上的A点相重合的C点为动点， 那么在下一瞬时，轮上与杆上A点重合的点就不是C点了， 因此，一般不取轮上C点为动点。 9.2 点的速度合成定理 当然，合理选择动点和动坐标系的方案可以从多角 度去考虑。例如本题中，若选择凸轮的圆心点O为动点， 而以AB杆上的A点为坐标原点，把动坐标系固结在AB杆 上。那么，求AB杆的速度实际上就成为求动点O的牵连 速度了。 9.2 点的速度合成定理 运动的分解仍然简单。O点的绝对运动沿水平直线 ，牵连运动为铅直平动，又在运动过程中，圆心O与固 结在AB杆上的动坐标系的坐标原点(杆上A点)的距离始终 不变， ,显然动点O相对于固结在AB杆上的动坐标 系的相对轨迹是一圆周曲线。于是，可作出O点的速度 合成矢量图如图9.7b所示，由速度矢量图可求得 9.2 点的速度合成定理 例9.3 牛头刨床的摇杆机 构如图9.8所示，曲柄OA以 匀角速转动，并通过套筒 A带动摇杆O1D摆动，而摇 杆又通过套筒B使刨枕沿 水平支承面往复运动。已 知。试求当OA水平时摇杆 O1D 的角速度和刨枕BC 的 速度。 图 9.8 9.2 点的速度合成定理 解 先求摇杆O1D的角速度。摇杆O1D绕O1作定轴转动， 若能确定摇杆上任一点的速度，即可由该点的速度除以 该点到转轴O1的距离，从而求得摇杆的角速度。由于曲 柄OA上连接了套筒A，套筒A点的速度可由已知条件得出 ，套筒A相对于摇杆是在摇杆上滑动，即A点的相对运动 是直线运动，故取与曲柄OA固结的套筒A为动点，动坐 标系固结在摇杆O1D上，静坐标系固结在地面。 9.2 点的速度合成定理 由于曲柄OA作匀角速转动，因此A点的绝对运动 是以O为圆心，OA的长度为半径的匀速圆周运动，其绝 对速度 垂直于OA，当OA杆水平时， 应铅直向上( 如图9.8所示)，大小为 9.2 点的速度合成定理 A点的相对运动是沿摇杆O1D的直线运动，故相对速度 沿O1D杆的轴线，其大小未知。摇杆绕O1轴的转动是牵连 运动，故在该瞬时摇杆O1D上与动点A相重合之点的速度 ，即A点的牵连速度 ，其方向垂直于摇杆O1D，大小等 于 ，即 显然 如图9.9所示。由图9.9所示的速度矢量平行四边形可知 。根据速度合成定理作出速度矢量平行四边形 9.2 点的速度合成定理 于是可得摇杆的角度速度为 再求刨枕的速度。因为刨枕BC沿水平直线平动，根据平 动刚体的运动特征，刨枕上任一点的速度都相等，就等于刨 枕的速度。故可取刨枕BC上B点为动点，动坐标系仍固结在 摇杆O1D上。显然，B点的绝对运动为水平直线运动，绝对 速度的方向在图示瞬时应水平向左，其大小待定。B点牵 连速度的方向与相同， 的大小为 9.2 点的速度合成定理 B点的相对速度 沿O1D杆的轴线，其大小未知。 根据速度合成定理作出套筒B的的速度矢量平行四边 形如图9.9所示，可解得 此即所求刨枕的速度(其方向为水平向左)。 9.2 点的速度合成定理 例9.4 图9.9所示传动机构， 已知圆轮半径为R，偏心距 ，当OC与水平面成 角时 ，圆轮绕O轴转动的角速度 为，试求此瞬时平底推杆 AB的速度。 图 9.9 9.2 点的速度合成定理 解 机构在运动过程中，平底推杆上与凸轮上的接触点在各 自构件上的位置都不断地变换，即，在不同的瞬时，平底 推杆上都是不同的点与凸轮上也不相同的点相接触。设某 瞬时，M1是平底推杆AB上与凸轮接触的点，而M2是凸轮圆 轮边缘上与平底推杆AB上接触的点，当机构运动到下一瞬 时，平底推杆AB上与凸轮接触的点和凸轮圆轮边缘上与平 底推杆AB上接触的点都不再是M1和M2了，而分别是其他的 点了。因此，无论选两个构件上在某瞬时的哪个构件上的 接触点为动点，其相对轨迹都难于确定。只能在这两个构 件上另找相对轨迹容易确定之点为动点。 9.2 点的速度合成定理 由于在整个运动过程中，AB杆的平底始终与圆轮相 切，所以圆轮中心C点至平底的距离R始终保持不变，因 此，C点相对于AB推杆的运动是平行于平底推杆的直线 运动，即C点相对AB推杆的轨迹是一条与平底平行的直 线。故可选圆轮上的C点为动点，动坐标系固结在推杆 AB上，静坐标系固结在地面上。C点的绝对运动为绕O点 的圆周运动。 9.2 点的速度合成定理 在图示位置C点的绝对速度 垂直于OC连线，倾 斜向上，其大小为 。又C点的相对运动为沿平 行于平底的水平直线运动。其相对速度水平向左，大小 未知。牵连运动是AB推杆的铅垂直线平动，故C点的牵 连速度 铅垂向上，大小待求。画出C点速度矢量平行 四边形如图9.9所示，由图中几何关系可得 此即平底推杆AB 的速度。 9.2 点的速度合成定理 通过上面各例的分析，可将应用点的速度合成定理解 题方法和步骤归纳如下： (1) 分析物体的运动情况，根据题意恰当地选取动点 ，动参考系和静参考系。 动点是运动过程中的研究对象，它必须是一个确定 的点，即在运动过程中，研究对象不变。同时应使所选 动点相对于动参考系有运动且相对轨迹要求明确、简单 ，这样才能使点的运动得到有效的分解。 在一般机构传动的问题中，通常选取主动件与从动件 的连接点或接触点为动点。如果主动件上的连接点被选 为动点，并且动点相对于从动件的运动轨迹较容易观察 和分析时，宜将动参考系固结在从动件上，反之亦然。 9.2 点的速度合成定理 另一种情况是若某动点 P 相对于另一个运动着的物 体 E 运动，且动点 P 的相对运动（或绝对运动）轨迹 已知，物体 E 的运动已知，但 P 点与 E 物体无直接接 触，如果选择 P 点为动点，动系固结在 E 物体上，讨 论动点的绝对运动（或相对运动），这种情况下动坐标 系上与动点相重合的点应是在 E 物体（动坐标系）的 扩展部分上。 9.2 点的速度合成定理 (2) 分析三种运动和三种速度。动点的绝对运动和相对 运动都是指点的运动，它们的轨迹可能是直线或曲线。 若知道轨迹，则动点的绝对速度和相对速度方位就可以 确定。而牵连运动则是指动参考系的运动，即刚体的运 动。牵连速度是动参考系上与动点相重合之点（牵连点 ）的速度，具有瞬时性。因此必须弄清动参考系的运动 形式(是平动、定轴转动或其它形式的运动)，才便于确 定牵连速度。 9.2 点的速度合成定理 (3) 应用点的速度合成定理求解未知量。因速度合成定理 的表达式 (9.3)是一矢量式，含有 、 和 的大小和方 向这六个量。必须分析在 、 和 的大小和方向这六 个量中，哪些是已知的，那些是未知的。若已知其中任 意四个量时，便可据以求出其余两个未知量来。具体计 算可采用几何法或解析法。用几何法作速度平行四边形 时，必须注意 一定位于以相对速度和牵连速度为邻边 所构成的平行四边形的对角线上；若三种速度的方位都 已确定，则用解析法较为方便。 9.2 点的速度合成定理 解算时选择适当的投影轴，根据合矢量投影定理， 将式(9.3)等式两端分别向所选投影轴投影，即可求得所 需求解得未知量。或者也可以直接利用三种速度矢量所 构成的平行四边形的几何关系求解。 9.2 点的速度合成定理 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 本节研究牵连运动是平动时，动点的加速度的合 成规律。 与分析动点的速度相同，设有 一动点M在某一作任意运动的刚体上 沿曲线AB运动，选取固结在地面的 静坐标系Oxyz，并将动参考系固结 在运动刚体上如图9.10所示。设动 点M相对于动坐标系沿曲 运动时 ，曲线 又随着动坐标系在空间 相对于静系Oxyz平动， 则 为 动点的相对轨迹， 为动点的绝 对轨迹，如图9.10所示。 图 9.10 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 在瞬时t动点位于M，其绝对速度为 ，相对速为 ， 牵连速度为 。由速度合成定理可知： ， 而在瞬时 瞬时，动点位于 ，其绝对为 ， 相对速度为 ，牵连速度为 ，同样由速度合成定 理可知： 根据加速度的定义，可知有： 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 将 和 代入上式可得： （9.4） 式（9.4）的等式右端第一项中是平动刚体 在不同瞬时的速度的差值，没有任何上不同的两个点M和 物理意义。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 但是由于牵连运动是平动，由平动刚体的运动特征可知， 在某瞬时，平动刚体上各点的速度相等，那么，在 瞬时， ，即可以用 替代上式中的 ，即 ，而 则是平动刚体（动坐标系）上在瞬时t与 动点相重合点（牵连点）的速度增量。因此式（9.4）等 式右端的第一项可定义为 称为动点在瞬时t的牵连加速度 （9.5） 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 式（9.4）的等式右端第二项 中 是动点 分别沿着曲线 AB和曲线 AB在不同瞬时的速度差值，其 本身也没有任何物理意义。但是由于在动坐标系上的观 察者随动坐标系运动，不能观察到 AB曲线和 AB曲线的 不同，因此，动坐标系上的观察者认为，在瞬时t，动点 相对于动坐标系沿 AB曲线运动的速度 与动点相对于 动坐标系沿 AB曲线运动的速度 是相等的。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 同样，由于牵连运动是平动，在运动中AB曲线和 AB曲线始终保持平行， 与 也相互平行， 因此，可以在式（9.4）等式右端的第二项中用 去 替代 ，即可定义 将式（9.5）和式（9.6）代入（9.4）即得： 称为动点的相对加速度。 （9.6） (9.7) 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 式(9.7) 是牵连运动为平动时的加速度合成定理的表达 式，该式表明当牵连运动为平动时,某一瞬时，动点的 绝对加速度等于牵连加速度和相对加速度的矢量和，这 就是牵连运动为平动时的加速度合成定理。 还可以采用解析法推导牵连运动为平动时的加速度 合成定理，具体分析如下。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 设有一动点M在某一作 任意运动的刚体上沿曲线 AB运动，选取固结在地面 的静坐标系Oxyz，i、j、k 分别为沿静坐标系三个轴正 向的单位矢量，可并将动参 考系Oxyz固结在运动刚 体上, i、j、k分别为沿动 坐标系三个轴正向的单位矢 量，如图9.11所示。 图 9.11 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 设动点M相对于动坐标系沿曲AB运动的同时，曲线 AB又随着动坐标系在空间相对于静坐标系Oxyz平动，由 速度合成定理 等式两端同时对时间t求一阶导数，得 (9.8) 式(9.9) 左端项为动点相对于静坐标系运动的加速度， 称为绝对加速度，即 (9.9) 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 由于牵连运动为平动，在某瞬时，动坐标系上各个 点的速度相同，因此，式(9.8) 右端第一项中的 就 等于动坐标系的坐标原点的速度 ，得 (9.10) 称为牵连加速度。从上式可知动点的牵连加速度就 等于动坐标系坐标原点的加速度。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 将式(9.11) 等式两端同时对时间求一阶导数，并考虑到 由于牵连运动是平动，有 式(9.8) 右端第二项中的可表示为 (9.11) (9.12) 得 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 将式(9.10) 和式(9.12) 代入式(9.9) 中，即可得到与式 (9.7) 相同的牵连运动为平动时的加速度合成定理的表 达式。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 例9.5 一斜边与水平线成角 的光滑斜面沿水平方向运动 ，如图9.12所示。杆AB的A端 与一小轮相铰接，小轮沿斜 面滚动时，可带动AB杆沿导 轨在铅垂方向上下滑动，如 斜面以匀加速度a0向右运动 ，求AB杆的加速度。 图 9.12 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 解：采用合成运动的方法求解，首先选择动点。由于需 求 AB 杆的加速度，AB 杆作平动，根据平动刚体的运 动特征，即在某瞬时，平动刚体上各点的加速度相等， 因此如果求得 AB 杆上A点的加速度，即求得了AB杆的 加速度，可以考虑以 AB 上 A 点为动点。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 另一方面，如果选择将动参考系固结在斜面上，地 面为静参考系，圆轮相对于斜面滚动，如果选择圆轮上 与斜面接触的点作为动点，则在运动的过程中，这一个 点是变化的，而且相对运动不易描述。而圆轮的圆心 A 与杆AB 的 A 端点通过铰链连接，在整个运动的过程中 ，A点相对于斜面的相对运动始终是保持与斜面的斜边 平行的直线运动，相对运动容易求得。考虑到这两方面 的因素，本题选择 AB 杆上的 A 点作为动点，动坐标系 固结在运动的斜面上。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 斜面沿水平方向的运动为牵连运动，牵连运动为 平动，即有牵连加速度 。杆上 A 点沿斜面的运 动为相对运动，因而 的方向已知，A点的铅直运动为 绝对运动， 的方向在铅垂方向。A点加速度关系如图 9.12所示，由图9.12的几何关系可知： 即求得了杆AB的加速度 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 例9.6 如图9.13 a所示，小车沿水平方向向右作加速运动 ，其加速度为1m/s2，小车上有一直径为0.4m的轮绕O轴 转动，转动规律为 ，当t=1s时，轮缘上A 点位于图示位置，求此时A点的绝对加速度。 图 9.13 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 解：以轮缘上A点为动点，将动参考系选在小车上，静 参考系固结于地面，则牵连运动为平动，相对运动为以 O为圆心的圆周运动。根据题意有轮的半径 其中 当t=1s时,有,各加速度方向如图9.13b所示。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 根据牵连运动为平动的加速度合成定理的表达式 式（9.7）， A 点的加速度 由于绝对加速度的方向未知，将上式分别向x、y坐标投影， 可得绝对加速度在x、y坐标的投影，所以有： 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 A点在该时刻的绝对加速度的大小为 方向与x轴夹角为： 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 例9.7图9.14a所示曲柄滑杆机构中，曲柄OA以匀角速度 绕O转动，带动滑块A在滑杆BC 所带的半径为R的圆弧形 滑槽中滑动，从而带动滑杆 BC 沿水平方向平动。已知： ，求 当时，滑杆BC的速度 和加速度 。 图 9.14 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 解 : 这是一个机构传动问题。曲柄是主动件，滑杆是从 动件。滑杆作平动，根据平动刚体的运动特征可知，在 某瞬时，平动刚体上各点的速度相等，各点的加速度也 相等。只要求得BC杆上某一点的速度和加速度，即可求 得滑杆BC的速度和加速度。一般对于机构传动问题，动 点应选在运动的传递点上。为便于描述动点的相对运动 ，选固结在曲柄上的滑块A为动点，动坐标系建在滑槽 BC上。求得BC杆的速度和加速度的问题就成为求BC杆上 与动点A相重合点的速度和加速度，即求动点A的牵连速 度和牵连加速度的问题了。 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 动点的牵连速度是滑杆BC上与滑块A重合点的速度， 滑杆BC在水平方向作平动，牵连速度沿水平方向，曲柄 OA定轴转动，动点A的绝对速度垂直于OA，动点的相对 运动是沿滑槽的滑动，相对速度沿滑槽在A点的切线方向 。速度分析如图9.14a所示。 由图9.14a所示速度图的几何关系可知 动点的绝对速度 根据速度合成定理式（9.3） 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 因此滑杆BC的速度 同样分析动点的加速度。由于曲柄以匀角速度转动， 动点A的绝对加速度就只有法向加速度； 动点的相对运动是沿滑槽内的圆周运动，有切向相 对加速度和法向相对加速度两项；相对切向加速度未知， 而相对法向加速度可求得为 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 动点的牵连加速度沿水平方向，加速度分析图如图 9.14a所示。 根据牵连运动为平动的加速度合成定理式(9.7) 有 将上式等式两端向OA方向投影，得 因此 滑杆BC的加速度 9.3 牵连运动是平动时的加速度合成定理 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 由于牵连运动和相对运动的相互影响，并且当牵 连运动为定轴转动时，某瞬时定轴转动刚体上各个 点的速度不同，加速度也不相同，因此固结在定轴 转动刚体上的动坐标系上的各个点的速度不同，加 速度也不相同，在式（9.5）中，就不能够直接用 替代 。 又当牵连运动为定轴转动时，动点相对运动的AB 曲线与AB曲线不平行， 与 也不平行，同样也不 可以用 去替代 。如图9.15所示。 图 9.15 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 又从图9.15中可以看出，采用解析法分析时，也 可以看出，当牵连运动为定轴转动时，动坐标系的方向 要发生改变，即式（9.11）中的 方向要改变, 所以 就不再成立。因此，当牵连运 动为定轴转动时，点的加速度合成定理与牵连运动为平 动时的加速度合成定理不同。下面推导牵连运动为定轴 转动时的加速度合成定理。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 设动点M相对于动坐标Oxyz沿相对运动轨迹曲线 AB运动， 如图9.15所示。而动坐标系Oxyz绕固定坐标 系的Oz轴转动，其角速度矢量为，角加速度矢量为。 设动点M对于静坐标系原点O的矢径为r，已知动点M的牵 连速度与牵连加速度 分别是t瞬时动坐标系上与动点M 相重合点的速度和加速度，根据定轴转动刚体上点的速 度和加速度的矢量表达式，可得 (9.13) (9.14) 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 动点M的相对速度和相对加速度分别为： 因为动点在某瞬时的绝对加速度等于它的绝对速度对时间 的导数， 但要注意，当动坐标系作定轴转动时，单位矢量 (9.15) (9.16) ， ， 的方向是随时间而变化的，不再是常矢量。 而 故 (a) 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 现在，先研究(a)式右边的第一项，将式(9.13)代入得 (b) 将式(9.14)代入上式得 (9.17) 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 可见，当牵连运动为定轴转动时， 并不等于 ，而 多出了 这一项，该项是由于相对运动引起牵连速 度发生变化所产生的附加加速度。 再研究式(a) 右边的第二项，将式(9.15)代入式(a) 右边 的第二项得： (c) 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 式(c) 右端的第一个括号内所包含的三项之和，由式 (9.16)可知，就是相对加速度 ，于是式(c)为 轴转动引起相对速度变化而产生的附加加速度。 (9.19) 由此可见也不等于 ，式(c)右边第二项是由于 牵连运动为定 将式(9.17)和式(9.19)代入式(a)得： (9.19) 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 式(9.19) 等式右端中的第三项 是由式(b) 和式 (c) 中的两个 合并而成的，它是由于牵连运动与相对 运动相互影响而产生的一个附加加速度，称为科氏加速 度。记作 ，则 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 式(9.20) 表明：科氏加速度等于动点的牵连运动的角 速度矢量与相对速度矢量的矢积的两倍。于是式(9.19)可 写为 (9.21) 这就是牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理。定理 表明：当牵连运动为定轴转动时，同一瞬时动点的绝对加 速度等于牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 科氏加速度由式(9.20) 定义 ，其大小为 ，其 中是动坐标系定轴转动的角速度 矢量与动点相对于动坐标系的相 对运动速度矢量 之间的夹角， 其方向按右手螺旋法则确定。如 图9.16所示。 图 9.16 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 利用科氏加速度可以解释自然界的一些现象。例如 ，如果取地心为坐标原点，以指向恒星的坐标系为静坐 标系，将动坐标系固结在绕地轴自转的地球上，分析地 球上南北方向行驶的列车对于铁轨的偏向磨损问题。地 球的自转为牵连运动，列车的运动可以看成是随地球绕 地轴以匀角速度转动和相对于地球的运动的合成。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 如果列车以匀速 沿经线自 南向北行驶，将列车近似 看成是一质点M，其科氏加 速度为 ，方向如 图9.17所示指向左侧。 图 9.17 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 由牛顿第二定律可知，由于科氏加速度的存在，铁 轨给了列车车轮向左的侧向推力，再由作用与反作用定 律可知，铁轨必受到列车车轮向右的侧压力，长期侧压 力的作用，使得铁轨右侧磨损就比较厉害。同样，在北 半球， 沿经线向北流动的河流右岸容易被冲刷，而在 南半球则相反，这种现象也可以用科氏加速度加以解释 。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 例9.8 求例9.2中摇杆O1D的角 加速度和杆BC的加速度。 解 本例可按照与例9.2中相同的 分析方法和解题步骤：由已知 的A点的运动推算出摇杆O1D 的角加速度 ，再根据O1D的 运动推求出杆BC的加度 。 图 9.18 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 ，设O1D杆的角加速度为 ，逆时针转向，如图9.19所示。为此第一步分析取OA 上A点为动点，动系固结在O1D杆上，因牵连运动为定轴 转动，故应用公式(9.21) 在例9.2中已求出O1D的角速度 (a) 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 式中 ， ， ， 分别 为A点的绝对加速度、牵连加 速度、相对加速度和科氏加速度。因为A点的绝对运动 是匀速圆周运动,故 的大小为 的方位垂直于 其方向由A指向O。 可分解为和 。 杆， 顺着的转向指向左上方，其大小为 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 的方向由A指向O1。其大小为 的作用线沿O1D 杆，但其指向和大小待定，可假 设其方向由A指向D，如图9.18所示。 垂直于O1A杆，指向左上方(与同向)。其大小为 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 为了求得 ，将式(a) 等式两端同时投影到图中 轴上 ，得 故 则O1D杆的角加速度为 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 再进行第二步分析。又因为BC杆作平动，求出其上 任一点的加速度即为BC杆的加速度，因此取BC上B点 为动点，动系仍固结在O1D上，因牵连运动为定轴转动 ，仍应用公式(9.21)： 的方位水平， 牵连加速度、 假设其指向向左。 (b) 在这里， ， 和 分别是B点的绝对加速度、 相对加速度和科氏加速度。已知 的大小是所要求的。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 牵连加速度 的切向分量 的大小应为 的两倍， 即 的方向垂直于O1D杆，指向右下方。其大小为 其方向垂直于O1D杆，指向左上方。 科氏加速度 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 最后将式(b) 等式两端向 轴投影即可求得BC杆的绝对 加速度 故 求得为正，说明所假设的方向是正确的。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 例9.9 半径R=10cm的圆环在铅直平面内绕固定水平轴O按 规律 (t以秒(s)计，以弧度(rad)计)逆时针方向转 动，其中为圆环的直径OA与水平直线的夹角(如图 9.19(a)。点M沿圆环从点O点出发按规律 (t以秒 计，S以厘米计)顺时针方向运动。试求点M在t1=0.5s和 t2=1s时的绝对加速度。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 图 9.19 解 以M点为动点，把动坐标系固结在圆环上，静坐标系固 结于地面。M点沿圆环的运动为相对运动，牵连运动是圆 环的定轴转动，M点的绝对运动为平面曲线运动。 先确定点M及圆环在所求瞬时的位置： 当t1=0.5s时， ；圆环转角 。 当t2=1s时， ；圆环转角 。 由式(9.21)，M点的绝对加速度为 (a) 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 因为牵连运动是定轴转动，故 ，其中： 当t1=0.5s时， 当t2=1s时， 和均指向轴O。 因相对运动为圆周运动，故： 其中， 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 可见，在任一瞬时相对加速度均指向圆心且其大小为： 最后按式(9.20)求科氏加速度。角速度矢量垂直于图面 向外，相对速度 沿圆周切线指向前进一方，因而点M 运动的任何瞬时，矢量与 之间的夹角均等于 。 故在所研究的两个瞬时t1和t2，科氏加速度ac的大小均 为 ac1和ac2的方向分别如图9.19中的(b)和(c)所示。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 将矢量式(a)投影到x,y轴上，得t=t1时： 由此可知 方向铅直向下。 当t=t2时，所有的加速度矢量沿同一直线，故 方向水平向右。 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 例9.10 半径为r的圆轮以等角速度绕O轴转动，从而带 动靠在轮上的杆 绕轴摆动，已知 =3r，试求图9.20 所示位置杆的角速度和角加速度。 图 9.20 9.4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成 定理 科氏加速度 解 本题也是机构传动的问题，圆轮和摆杆