理论力学哈密顿理论在物理学中的应用.ppt

第八章 哈密顿理论在物理学中的应用 8.1 8.1 连续体系的拉格朗日方程连续体系的拉格朗日方程 kkk mm k mmm un+1unun -1un -2 a 8.2 电磁场的拉格朗日方程 8.3 薛定谔波动力学方程的建立 采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒 二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方 程。氢原子哈密顿函数为 8.4 刘维尔定理 相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变 。 证明证明：统计系综的一个“样本”：力学体系有N个 相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为q、p 。 统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同， 但初始条件不同的许多个“样本”组成。 单个粒子相空间单个粒子相空间( 6 ( 6 维空间维空间) )： 3个坐标分量q， 3个动量分量p。 N N个个粒子构成粒子构成 空间空间( 6 ( 6 维空间维空间). ). t 时刻，每个“样本”的q、p 确定，因此 空 间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻的状 态，这样的点称为“代表点”。因此统计系综就是 空间中的一群代表点。 这群代表点在 空间中的分布一般是不均匀 的，因此可引入代表点密度的概念。 这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交 ，则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同 的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。 设在d 1 内，代表点 的数目为dN1，则 = dN1 /d1 就代表点在d1 区域 中的密度。经过时间 t 后 ，原来在d 1中的代表点 运动到 空间的d 2的位 置，如图所示，这两个体 积元代表点的数目是相同 的，即dN1 = dN2 。 p q d1 d2 刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运 动过程中不变，即 =dN1/d1=dN2/d2=常数。 因为dN1=dN2 ，所以要证明上式，只要证明d1 = d2。分两步证明： 1 1、证明一个粒子的一对正则变量、证明一个粒子的一对正则变量q q、p p 从从t t 到到 t+t+dt dt 的变化可看成是一种正则变换。的变化可看成是一种正则变换。 证：只要找到一个适当的母函数，使变换后的新 正则变量Q、P 为 Q= q+ dq ， P= p+ dp ， =1,2, ,N (1) 若取第二类正则变换母函数 F2 (q, P) = qP (2) 则: 这是全同这是全同正则变换。正则变换。 Q= q+ dq ， P= p+ dp ， =1,2, ,N (1) F2 (q, P) = qP (2) 比较(1)和(2)式,两者只相差无穷小量dq和dp, 因此认为要得(1)式，可在(2)式的母函数中再加上 一个无穷小量，即可取 F2 (q, P) = qP + G(q, P, t) (4) 为无穷小量， G 为任意函数。忽略二阶小量， (4)式近似为：F2 (q, P) qP + G(q, p, t) (5) (5)式正则变换称为无穷小正则变换无穷小正则变换。 F2 (q, P) qP + G(q, p, t) (5) 令 = dt， G(q, p, t) = H(q, p, t) ，代入(5)式，得 F2 (q, P) qP + H(q, p, t)dt (6) 利用此母函数即得： 上式即为(1)式，即证明了相空间体积从d1变换 为d2是一种正则变换. 2、证明相空间体积在正则变换下保持不变，即 P =dq1dq3N dp1dp3N = dQ1dQ3N dP1 dP3N 当积分自变量从q、p 变到 Q、P 时，体积元的变换为 ： dQ1 dQs dP1 dPs = Ddq1 dqs dp1 dps (7) 式中D为雅可比行列式：只要证明只要证明: : D = 1D = 1 在证得了s = 1 时，D = 1，再利用雅可比行列式的 一些性质，就可证明当 s = 3N 时也成立。由于运算比 较繁琐，这里从略。 综合以上所得，刘维定理成立。 代表点密度为 = (q、p、t)，其运动方程为