离散数学课件-第4章-7.ppt

1 离散数学 Discrete Mathematics 汪荣贵贵 教授 合肥工业业大学软软件学院专专用课课件 2010.03 类似地，因为b是最小元素，aB，根据最小元素定义，有 ba。因为有反对称性，所以有a=b。 同理可证最大元素的唯一性。 小结： 是偏序集，B是A的非空子集，则 B的极小(大)元素总是存在的，就是子集中处在最下(上)层 的元素是极小(大)元素。 B的最小元(最大元)素有时可能不存在，只要有唯一的极小 (大)元素，则这个极小(大)元素就是最小(大)元素。否则就没有 最小(大)元素。 【example 14】确定下图的每个哈塞图表示的偏序集是否有最 大元素和最小元素。 Solution： 哈塞图(a)的偏序集的最小元素时a。这个偏序集没有最大元 素。 哈塞图(b)的偏序集既没有最大元素也没有最小元素。 哈塞图(c)的偏序集没有最小元素，它的最大元素时d。 哈塞图(d)的偏序集有最小元素a和最大元素d。 【example15】设S是集合。确定偏序集（P(S), ）中是否存 在最大元素与最小元素。 Solution： 最小元素时空集。因为对于S的任何子集T,有 T，集合S 是 这个偏序集的最大元素，因为只要T是S的子集，就有T S。 46* 【example 16】在偏序集（Z+, | ）中是否存在最大元素和 最小元素？ Solution： 1是最小元素，因为只要n是正整数，就有1|n。因为没 有被所有正整数整除的整数，所以不存在最大元素。 47* 有时可以找到一个元素大于偏序集（S， ）的子集A中所有的 元素。如果u是S的元素使得对所有的元素a A,有a u，那么u 叫做A的一个上界。 也可能存在一个元素小于A中的所有的其他元素。如果l是S的 一个元素使得对所有的元素a A,有l a，那么l叫做A的一个下 界。 定义上界与下界： 设（P, ）是半序集，AP，若aP，对 bA, b a （a b）称a为A的上界（下界）。 【example】：B=a,b,c,R3= (s1,s2) | s1 s2， s1P(B) , (P(B), )是偏序集。 设，a,b,c,a,c,a,b,a,c 其Hasse图如右图所示: a b c a,b a,c b,c 注： （1）上例中，无最大元素，但存在的上界 ，。 （2）为的最小元，也是的下界。 （3）最大（小）元素是的一个上（下）界。 （4）上（下）界可以不唯一，也可以不存在。 【example 17】找出下图所示哈塞图的偏序集的子集a, b, c, j, h和a，c，d，f的下界和上界。 Solution： a，b，c的上界是e, f, j 和h，它的唯一的下界是a。 j，h没有上界，它的下界是a，b，c，d，e和f. a, c, d ,f 的上界是f，h和j，它的下界是a。 元素x叫做子集A的最小上界（上确界），如果x是一个上界并 且它小于A的其他上界。因为如果这样的元素存在，只存在一个 ，称这个元素为最小上界（上确界）是有意义的。即如果只要 aA就有a x，并且只要z是A的上界，就有x z, x就是A的最 小上界（上确界）。 类似地，如果y是A的下界，并且只要z是A的下界，就有z y ，y就是A的最大下界（下确界）。A的最大下界（下确界）如果 存在也是唯一的。 一个子集A的最大下界（下确界），和最小上界（上确界）， 分别记作 glb ( A )和 lub ( A ). 定义上确界与下确界： 设（S，）是偏序集，AS，若a是A的一个上界 （下界），而A的上界（下界）z，都有a b（b a） ，则称a是A的上确界（下确界）。 【example】给定（A,）的哈塞图如图所示： 12 36 24 子集B 上界下界 2,3 1,2,3 6,12,24 C 1 6,12,24,36 1 241,2,3,6 1 无 6,12,24,36 上确界下确界 6 6 24 无 1 1 6 1 【example 18】在下图所示偏序集中如果b，d，g的最大下 界和最小上界存在，求出这个最大下界和最大上界。 Solution： b，d，g的上界是g和h。因为为 g h, g是最小上界。 b，d，g 的下界是a和b，因为为有a b, b 是 最大下界。 【example 19】在偏序集（Z+, | ）中，如果集合3，9，12 和 1，2，4，5，10的最大下界和最小上界存在，求出这些最大 下界和最小上界。 Solution： 求最大下界： 如果3，9，12被一个整数整除，那么这个整数就是 3，9，12的下界。这样的整数只有1和3.因为1|3，3是 3，9，12的最大下界。 集合1，2，4，5，10关系到 | 的下界只有1，因此1是 1，2，4，5，10的最大下界。 求最小上界： 一个整数是 3，9，12的上界，当且仅当它被3，9和12整 除 。具有这种性质的整数就是那些被3，9和12的最小公倍数36整 除的整数。因此，36是3，9，12的最小上界。 一个正整数是集合1，2，4，5，10的上界，当且仅当它被 1 ，2，4，5，10整除，具有这种性质的整数就是被这些整数的 最 小公倍数20整除的整数。因此，20是集合1，2，4，5，10的 最小上界。 五、格 在这里我们引入格的概念。 定义：设X,是偏序集，如果x, y X，集合 x, y 都有 最小上界和最大下界，则称X,是格。 【example 20】确定如下图所示的每个哈塞图表示的偏序集是 否是格 Solution： 图a和c中的哈塞图表示的偏序集是格。因为在每个偏序集 中 每对元素都有最小上界和最大下界。 另一方面，图b所示的哈塞图的偏序集不是格，因为元素b 和 c没有最小上界。为此只要注意到d，e和f中每一个都是上界， 但 这3个元素的任何一个关于这个偏序集中的序都不大于其他2个. 【example】下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些 偏序集是格? L=1,2,3,4,5； L=1,2,3,4,6,9,12,18,36； L=1,2,22,2n； L=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Solution： 不是，因为L中的元素对2,3没有最小上界； 是，因为L=1,2,3,4,6,9,12,18,36任何一对元素a,b，都 有最小上界和最大下界； 是，与同理； 不是，因为L中的元素对6,7没有最小上界不存在最小上界. 【example】下图中给出了一些偏序集的哈斯图，判断它们是 否 构成格。 Solution： 它们都不是格。 在(a)中，1,2没有下界，因而没有最大下界。 在(b)中，2,4虽有两个上界，但没有最小上界。 在(c)中，1,3没有下界，因而没有最大下界。 在(d)中，2,3虽有三个上界，但没有最小上界。 【example 21】偏序集（Z+, | ）是格吗？ Solution： 设a和b是两个正整数，这两个整数的最小上界和最大下界 分 别是它们的最小公倍数和最大公约数，因此这个偏序集是格。 【example 22】确定偏序集（1，2，3，4，5， | ）和 （1，2，4，8，16，| ）是否为格？ Solution： 因为2和3在（1，2，3，4，5， | ）中没有上界，它 们 当然没有最小上界。因此第一个偏序集不是格。 第二个偏序集的每两个元素都有最小上界和最大下界。 在 这个偏序集中两个元素的最小上界是他们中间较大的元素 ， 而两个元素的最大下界是它们中间较小的元素。因此第二 个 偏序集是格。 【example 23】确定（P(S), ）是否为格，其中S是集合。 Solution： 设A和B是S的两个子集，A和B的最小上界和最大下界分别 是 AB和A B，因此（P(S), ）是格。 【example 24】信息流的格模式 在许多设置中，从一个人 或 计算机程序到另一个人或计算机程序的信息流要受到限制，这 可 以通过安全权限来实现。我们可以使用格的模型来表示不同的 信 息流策略。 例如，一个通用的信息流策略适用于政府或军事系统中的多 级安全策略。为，诶组信息分配一个安全级别，并且每个安全 级 别用一个对（A, C）表示，其中A是权限级别，C是种类。然后 允许人和计算机程序从一个被特别限制的安全类的集合中访问 信 息。 在美国政府中，使用的典型的权限级别是不保密（0）、秘 密 （1）、机密（2）和绝密（3）。在安全级别中使用的种类是 一 个集合的子集，这个集合含有与一个特定行业领域相关的所有 的 分部，每个分部表示一个指定的对象域。 例如，如果分部的集合是间谍，鼹鼠。双重间谍，那么存 在8个不同的种类，分部集合有8个子集，对于每个子集有一类 ，例如间谍，鼹鼠。 我们可以对安全类排序，规定（A1,C1） （A2,C2）当且仅 当 A1 A2和C1 C2.信息允许从安全类（A1,C1）流向安全类 （A2,C2）当且仅当（A1,C1） （A2,C2） 。 例如，信息允许从安全类（机密，间谍，鼹鼠）流向安全 类（绝密，间谍，鼹鼠，双重间谍），反之，信息不允许从 安 全类（绝密，间谍，鼹鼠）流向安全类（机密，间谍，鼹鼠 ，双重间谍）或（绝密，间谍）。 六、拓扑排序 假设一个项目由20个任务构成。某些任务只能在其他任务结 束之后完成，如何找到关于这些任务的顺序？ 为了对这个问题构造模型，我们建立一个任务集合上的偏序 ， 使得ab,当且仅当a和b是任务且直到a结束后b才能开始。为安 排好这个项目，需要得出与这个偏序相容的所有20个任务的顺 序。我们将说明怎样做到这一点。 从定义开始，如果只要aRb就有a b,则称一个全序与偏序R 是相容的。从一个偏序构造一个相容的全序叫做拓扑排序。 需要使用引理1. 引理1：每个有穷非空偏序集（S, ）都有极小元素。 Proof： 选择S的一个元素a0. 如果a0不是绩效元素，那么存在元素 a1, 满足a1 a0.如果a1不是极小元素，那么存在元素a2,满足a2 a1. 继续这一过程，使得如果an不是极小元素，那么存在元素an+1 满 足an+1an.因为在这个偏序集只有有穷个元素，这个过程一定 结 束并且具有极小元素an. 我们将要描述的拓扑排序算法对任何有穷非空偏序集都有效 为在偏序集（A, ）上定义一个全序，首先选择一个极小元 素a1；由引理1这样的元素存在。接着，A-a1， 也是一个 偏序集。如果它是非空的，选择这个偏序集的一个极小元素a2. 然后再取走a2，如果还有其他的元素留下来，在 A - a1, a2 中 选择一个极小元素a3。继续这个过程，只要还有元素留下来， 就 在 A - a1, a2, , ak 中选择一个极小元素ak+1. 因为A是有穷集，这个过程一定终止。最终产生一个元素序 列a1,a2, an.所需要的全序定义为 a1 a2 an 这个全序是与初始的偏序相容的。为看出这一点，注意如果在 初始的偏序中bc, c在算法的某个阶段被选择为极小元素，则 这 时b已经被移出，否则c就不会是极小元素。 关于这个拓扑排序算法的伪代码在算法1中给出。 【example 25】找出对于偏序集(1，2，4，5，12，20，| ) 的 一个相容的全序。 Solution： 第一步是选择一个极小元素。这个元素一定是1，因为他是 唯 一的极小元素。 下一步选择（ 2，4，5，12，20，| ）的一个极小元素。 在 这个偏序集中有两个极小元素，即2和5.我们选择5. 剩下的元素是2，4，12，20。在这一步，唯一的极小元素 是2. 下一步选择4，因为它是（ 4，12，20，| ）的唯一极小 元 素。因为12和20都是（12，20，| ）的极小元素，下一步选 哪 一个都可以，我们选20，只剩下12作为最后的元素。 产生的全序是 15242012 这个排序算法所使用的步骤在下图中给出。 在项目的安排中常会用到拓扑排序。 【example 26】一个计算机公司的来发项目需要完成7个任务 。 其中某些任务只能在其他任务结束后才能开始。考虑如下建立 任 务上的偏序，如果任务Y在X结束后才能开始，则任务X任务Y 。这7个任务关于这个偏序的哈塞图如下示。求一个全序，使 得 可以按照这个全序执行这些任务以完成这个项目。 Solution： 可以通过执行一个拓扑排序得到7个任务的排序。排序的步 骤 显示在下图中。 这个排序的结果，ACBEFDG 下面那