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文档简介

一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 四、小结 思考题 第七节 函数的连续性 三、初等函数的连续性 一、函数的连续性(continuity) 1.函数的增量(increment) 注意： 2.连续的定义 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极 限存在且等于该点的函数值. 例1 证 由定义2知 例2 证 3.单侧连续 定理 例3 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 5.基本初等函数的连续性 二、函数的间断点(points of discontinuity) 1.可去间断点(a removable discontinuity) 例4 解 注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断 处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例4中, 例5 解 2.跳跃间断点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 左右极限相等，则为可去间断点； 左右极限不相等，则为跳跃间断点 例5中的间断点为跳跃间断点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 注意 函数的间断点可能不只是个别的几个点. 这时也称其为振荡间断点 狄利克雷函数(Dirichlets function) 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续. 判断下列间断点类型: 例8 解 定理1 例如, 三、初等函数的连续性 1. 连续函数的和、差、积、商的连续性 定理2 严格单调递增（递减）的连续函数必有 严格单调递增（递减）的连续反函数 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 2. 反函数与复合函数的连续性 定理 例9 定理 一切初等函数在其定义区间内都是 连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. . 初等函数的连续性 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的去心邻域内没有定义. 注意 例10 例11 解 解 注意 2. 初等函数在连续点求极限可用代入法. 四、小结 思考题 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 4. 初等函数的连续性 （1）初等函数在其定义区间上连续； （2）初等函数的连续性在求极限时的应用： 代
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