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3 弹性力学平面问题有限元法 材料力学主要研究杆、梁、柱 结构力学主要研究杆系（或梁系） 弹性力学主要研究实体和板得受力和变形 弹性力学假设所研究的物体：连续的、完全弹性的 均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的 在这假设基础上研究受力物体一点上的应力、应变 、变形和平衡关系。 线性： （非线性） 结构的应力与应变的关系（本构关系）呈线性变化。 弹性：（塑性） 结构在外力拆除后能够完全恢复原有形状的特性。 静力分析： （动态分析） 结构所受外力是不随时间变化的恒力。 一、弹性力学中的物理量 载荷、应力、应变、位移 1.1.载荷载荷 载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和 集中力三种形式。 体力是分布于整个弹性体体积内的外力，如重力和惯性力。在弹性体 内任一点，单位体积的体力用 表示，它可分解为给定坐标系x、y和z 三个坐标轴上的投影 、 、 ，称为体力分量。 面力是作用于弹性体表面上的外力，如流体压力和接触压力。 如果外力作用面很小，或者说外力作用在某一点上，则这种外力称为集中力。 qq无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正以正 标向为正标向为正，且，且斜面上的面力斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。力数值来表示。 内力内力 求解方法：截面法求解方法：截面法 定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。 o x y z P m n 矢量矢量 方向沿方向沿 的极限方向的极限方向 量纲：量纲： 2. 2. 应力应力: :内力集度。反映内力分布情况（应力场）内力集度。反映内力分布情况（应力场） 沿截面切向和法沿截面切向和法 向分解为向分解为 和和 应力的两种不同分解方法应力的两种不同分解方法 a)a)沿坐标轴分解沿坐标轴分解 b)b)沿截面法向和切向分解沿截面法向和切向分解 除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常 采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正 应力应力 和切应力和切应力 ，因为与物体，因为与物体形变形变和和材料强材料强 度度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和 切线方向的分量。切线方向的分量。 o x y z tyz sy tyx sz tzy tzx txy sx txz P A B C 正六面单元体的取法正六面单元体的取法 vv经过物体内任一点如经过物体内任一点如P P点取出一个微小的正六面点取出一个微小的正六面 体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为：为： 。将每个面上的应力分。将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个切应力。正应力用解为一个正应力和两个切应力。正应力用 表表 示，切应力用示，切应力用 表示。表示。 vv应力下标的含意：应力下标的含意：A.A. 作用面的外法线方向作用面的外法线方向 B.B. 力的指向力的指向 A.A. 作用面的外法线方向作用面的外法线方向 B.B. 力的指向力的指向 在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线， 方向共同指向或背离这一交线。 o x y z tyx txy tzx txz tzy tyz 弹力规定材力规定 切应力互等定理切应力互等定理 3.3.形变形变 定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变）定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变） 线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。 记号：记号： 正负：伸长为正，压缩为负正负：伸长为正，压缩为负 切应变切应变( (剪应变剪应变) )：两方向线段夹角的改变两方向线段夹角的改变 。记号：记号： ( (以弧而非角度表示以弧而非角度表示) ) 正负：直角变小为正，变大为负正负：直角变小为正，变大为负 qq同一点的应力状态情况一样，可证明，在物体内任意一同一点的应力状态情况一样，可证明，在物体内任意一 点，若已知点，若已知 、 、 、 、 、 ，即可求得经过该，即可求得经过该 点的任意截面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故点的任意截面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故 这六个应变分量完全确定了该点的应变状态。这六个应变分量完全确定了该点的应变状态。 vv一点的形变状态的概念一点的形变状态的概念 qq几何规律几何规律：过空间一点有无数根直线。：过空间一点有无数根直线。 qq力学特点力学特点：即使过同一点，不同方向线段的伸长也同；：即使过同一点，不同方向线段的伸长也同； 任两根直线之间夹角的改变也不相同。任两根直线之间夹角的改变也不相同。 4.4.位移位移 定义：位置的改变。定义：位置的改变。 记号：记号： 、 、 正负正负：沿坐标轴正向为正，负向为负。：沿坐标轴正向为正，负向为负。 分类分类: :与形变有关的位移和与形变无关位移（刚体位移）与形变有关的位移和与形变无关位移（刚体位移） 二、弹性力学基本方程 弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力、应变、位移以及外 力之间的关系，它包括平衡方程、几何方程和物理方程三类。 1.平衡方程（应力和体力之间关系） 平衡方程是弹性体内部必须满足的条件，它说明六个应力分量不是独立的， 它们通过三个平衡方程相互联系。 应力和体力在三个坐标方向上 满足一下平衡方程 在X方向有 2. 几何方程（几何量位移和应变） 3. 物理方程（应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关） 从从静力学静力学角度导出了平衡微分方程和静力边界条件；角度导出了平衡微分方程和静力边界条件； 从从几何学几何学角度导出了几何方程和应变协调条件；在推导角度导出了几何方程和应变协调条件；在推导 过程中并没有涉及到弹性体本身材料的固有特性，故这过程中并没有涉及到弹性体本身材料的固有特性，故这 些方程适用于一切连续介质。些方程适用于一切连续介质。 从从物理学物理学的角度分析可知，不同材料的弹性体其应的角度分析可知，不同材料的弹性体其应 力应变关系即本构关系是不同的，对于对于理想弹性体力应变关系即本构关系是不同的，对于对于理想弹性体 ，在小变形情况下，应力应变关系服从，在小变形情况下，应力应变关系服从广义胡克定律广义胡克定律 物理方程的表达形式物理方程的表达形式 以以应力表示应变应力表示应变以应变表示应力以应变表示应力 为材料的弹性模量；为材料的弹性模量； 为材料的切变弹性模量为材料的切变弹性模量 为泊松比为泊松比 由上可见，三类基本方程中包括由上可见，三类基本方程中包括1515个方程，含个方程，含6 6个应力个应力 分量、分量、6 6个应变分量和个应变分量和3 3个位移分量共个位移分量共1515个未知量。个未知量。 实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部 分（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量分（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量 。 位移法位移法、应力法、混合法、应力法、混合法选取基本未知量不同选取基本未知量不同 1.1.平面应力问题平面应力问题 z yy x o 四、平面问题 工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、 内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的 直齿圆柱齿轮等直齿圆柱齿轮等 条件条件 a)a)弹性体是等厚的薄板（沿弹性体是等厚的薄板（沿 向等厚度向等厚度 ） ，厚度尺寸远远小于截面尺寸，厚度尺寸远远小于截面尺寸，t tL/15L/15； b)b)体力、面力和约束都只有体力、面力和约束都只有 平面内的量即平面内的量即 , ,且都不沿且都不沿 向变化；向变化； 应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上 没任何面力和约束的作用。没任何面力和约束的作用。应力边界应力边界为：为： 板很板很薄，外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度薄，外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度 方向连续分布，故可认为所有各点：方向连续分布，故可认为所有各点： 由切由切应力互等定律得：应力互等定律得： 只有平行于只有平行于 面的平面应力分量面的平面应力分量平面应力平面应力 由于物体形状、外力和约束沿由于物体形状、外力和约束沿 向均不变化，应向均不变化，应 力分量和应变分量均只是力分量和应变分量均只是 的函数；从几何的函数；从几何 方程积分求位移可知位移与方程积分求位移可知位移与 有关。有关。 vv平面应力问题平面应力问题只有平面应力分量只有平面应力分量 、 和和 ，且仅为，且仅为 的函数的弹性力学问题的函数的弹性力学问题 物理方程物理方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程 式中式中 称为平面应力问题的弹性矩阵称为平面应力问题的弹性矩阵 2)2)平面应变问题平面应变问题 z o y x x y z 工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、 受内压管道、齿宽较大的直齿轮等受内压管道、齿宽较大的直齿轮等 条件条件 a)a)弹性体为常截面的很长柱体。弹性体为常截面的很长柱体。 b)b)体力、面力和约束都只有体力、面力和约束都只有 平面内的量平面内的量 , ,且都不沿且都不沿 向变化；向变化； 假想柱体无限长，则任一假想柱体无限长，则任一 截面均为对称面，即截面均为对称面，即 ，只有平面位移，只有平面位移 和和 存在，即平面位移。存在，即平面位移。 由于截面形状、外力和约束沿由于截面形状、外力和约束沿 向均不变化，位向均不变化，位 移分量只是移分量只是 的函数的函数. . 假想柱体无限长，则任一假想柱体无限长，则任一 截面均为对称面，即截面均为对称面，即 ，只有平面位移，只有平面位移 和和 存在，即平面位移。存在，即平面位移。 由于截面形状、外力和约束沿由于截面形状、外力和约束沿 向均不变化，位向均不变化，位 移分量只是移分量只是 的函数的函数. . 只有平行于只有平行于 面的平面应变分量面的平面应变分量平面应变平面应变 qq从从数学和几何学角度推导数学和几何学角度推导 由对称性由对称性( (对称结构承受对称荷载，反对称力为对称结构承受对称荷载，反对称力为 零零) )可知：可知： 由胡克定律可知：由胡克定律可知： 由剪切互等定律可知：由剪切互等定律可知： qq从力学角度推导从力学角度推导 vv平面应变问题平面应变问题只有平面应变分量只有平面应变分量 、 和和 ，且仅为，且仅为 的函数的弹性力学问题的函数的弹性力学问题 可直接由可直接由 计算得到，故不作为独立的计算得到，故不作为独立的 未知量。未知量。 的存在说明了沿的存在说明了沿 向无限长的柱体的假设限向无限长的柱体的假设限 制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于 轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压 应力应力 。 物理方程物理方程 物理方程物理方程 物理方程物理方程 式中式中 称为平面应变问题的弹性矩阵称为平面应变问题的弹性矩阵 名名 称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题 未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量 位位 移移 应应 变变 应应 力力 外外 力力 体力、面力的作用面体力、面力的作用面 平行平行 面，沿板厚面，沿板厚 均布且只作用于板边均布且只作用于板边 。 体力、面力的作用面平行体力、面力的作用面平行 于于 面，外力沿面，外力沿 轴轴 无变化。无变化。 形形 状状 向尺寸远小于板面向尺寸远小于板面 尺寸（等厚薄平板）尺寸（等厚薄平板） 向尺寸远大于向尺寸远大于 平面平面 内的尺寸（等截面长柱体内的尺寸（等截面长柱体 ） 3-2 平面问题的有限元模型 连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原 来是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该均匀变 形，这时也可能出现非均匀变形。 选择适当的单元位移插值函数来限制单元的变形，使得 连续体尽管被人为地分割成单元的集合，而且只在有限 个节点处相连，但模型仍然能够部分满足连续性的要求 。 位移插值函数应注意满足以下几个条件 （1）包括常数项（反映单元发生的整体移动） （2）包括一次项（反应发生的常应变） （3）尽量保证位移的连续性 使位移函数满足上述三个条件的目的就是要满足 有限元解的收敛性，即当单元尺寸逐渐缩小时，有限 元解收敛于实际问题的精确解。在单元边界上其值能 由节点函数值唯一确定。 （4）几何各向同性（单元的位移分布不应与人为选取 的坐标方位有关，即位移函数中坐标x,y应该是能够 互换的） 3-3 平面问题的三角形单元求解 第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量 m j Fxi Fyi i u v (x,y) o y x 三角 形三节点单元 u1 v1 第二步：选择适当的位移插值函数 多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。 三节点三角形单元有6个自由度，可以确定6个待定系数。 （49） 这一步的目的是求出待定系数。 第三步： 求单元中任一点位移与节点位移的关系 由于节点i、j、m在单元上，它们的位移自然也就满足 位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入式中，得： 上式共有6个方程，可以求出6个待定系数。根据Gramer法则， 求出各待定系数 其中，节点的坐标值是已知的，令 为三角形单元的面积。 用节点坐标和节点位移表示的位移函数为 形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。 其中， 以矩阵表示为 上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通 过形函数插值求出单元内任意一点的位移。 其中， 称为形函数矩阵； 为单元节点位移列阵。 第四步： 求单元应变单元位移节点位移之间的关系 第五步： 求应力应变节点位移之间的关系 由物理方程， 第六步： 求节点力与节点位移之间的关系 按节点号叠加单元刚度矩阵元素可得到结构总体刚阵，再引入 一定的边界条件和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是 第七步： 单元应力与节点位移的关系 二、约束条件处理 1、置大数法 总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。 施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小。 但