2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题新课标Ⅱ.pdf

绝密启用前解密时间：2018 2018年6 6月7 7日17:0017:00 【考试时间：6 6月7 7日15:00 15:0017:0017:00】 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）（新课标） 本试题卷共23题， 共150分， 共5页， 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前， 考生先将自己的姓名、 准考证号码填写清楚， 将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2选择题必须使用2B铅笔填涂； 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工 2整、 笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出， 确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁， 不要折叠、 不要弄破、 弄皱， 不准使用涂改液、 修正带、 刮纸刀。 一、选择题： 本题共12小题， 每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符 合题目要求的。 1 2i1 2i1 = A i 5 3 5 4 Bi 5 3 5 4 Ci 5 4 5 3 Di 5 4 5 3 2 已知集合A =（x， y）| x 2 + y 23， xZ， yZ ， 则A中元素个数为 A9B8C5D4 3 函数 2 x xf xx ee ）（的图象大致为 数学试题（理工农医类） 第1页（共5页） 1 1 O1 A 1 1 O1 B 1 1 O1 C 1 1 O1 D 4 已知向量 a a， b b 满足 |a a| = 1， a ab b = - 1， 则 a a（2a a - b b）= A4B3C2D0 5 双曲线1 2 2 2 2 b y a x （a0，b0）的离心率为 3， 则其渐近线方程为 Axy2Bxy3Cxy 2 2 Dxy 2 3 6 在ABC中， cos 2 C = 3 5 ， BC = 1， AC = 5， 则AB = A24B30C29D52 7 为计算 100 1 99 1 4 1 3 1 2 1 1S， 设计了右侧的程序 框图， 则在空白框中应填入 A1 ii B2 ii C3 ii D4 ii 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是 “每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”， 如 30 = 7 + 23. 在不超过 30 的素数中， 随机选取两个不同的数， 其和等于 30 的概率是 A 12 1 B 14 1 C 15 1 D 18 1 9 在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB = BC = 1， AA1=3， 则异面直线分AD1与DB1所成角的余弦 值为 A 5 1 B 6 5 C 5 5 D 2 2 10若xxxfsincos ）（在-a， a是减函数， 则a的最大值是 A 4 B 2 C 4 3 D 11已知）（xf是定义域为（-， +）的奇函数， 满足）（）（xfxf11。 若f（1）= - 2， 则 f（1）+ f（2）+ f（3）+ f（50）= A-50B0C2D50 数学试题（理工农医类） 第2页（共5页） 12已知F1 ， F 2是椭圆C： 1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的左、 右焦点， A是C的左顶点， 点P在过点A 且斜率为 6 3 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P = 120 ， 则C的离心率为 A 3 2 B 2 1 C 3 1 D 4 1 二、 填空题： 本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。 13曲线）（12xyln在点（0， 0）处的切线方程为 14 若x， y满足约束条件 05- 2 x yx yx 032 05 ， 则 z = x + y 的最大值为. 15已知sin+cos=1， cos+sin=0， 则sin（+）= 16已知圆锥的顶点为S， 母线SA， SB所成角的余弦值为 8 7 ， SA与圆锥底面所成角为45. 若SAB的面积为155， 则圆锥的侧面积为. 三、 解答题： 共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。第1721题为必做题， 每 个试题考生都必须作答。第22、 23题为选考题， 考生根据要求作答。 （ 一 ） 必考题： 共60分。 17（12分） 设 Sn为等差数列an的前 n 项和， 已知 a 1= - 7， S1= -15 （1）求an的通项公式； （2）求 Sn， 并求 Sn的最小值. 18（12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图. 数学试题（理工农医类） 第3页（共5页） 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额， 建立了y与时间变量t的两个线性回归 模型. 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1， 2， 17）建立模型 ：t y 513430； 根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1， 2， ， 17）建立模 型：t. y 51799. （1） 分别利用这两个模型， 求该地区2018年环境基础设施投资额的预测值； （2） 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 19（12分） 设抛物线C：xy4 2 的焦点为F， 过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A， B两点， AB= 8. （1）求l的方程； （2）求过点A， B且与C的准线相切的圆的方程. 20（12分） 如图， 在三棱锥P-ABC中， AB = BC =22， PA = PB = PC = AC = 4， O 为AC的中点. （1） 证明： 直线PO平面ABC； （2） 若点M在棱BC上， 且二面角M-PA-C为30 ， 求PC与平面PAM 所成角的正弦值. 21（12分） 已知函数 2 axxf x e）（ （1）若a=1， 证明： 当x0时，f（x）1； （2）若f（x）在（0， +）只有一个零点， 求a 数学试题（理工农医类） 第4页（共5页） A P B C M O （ 二 ） 选考题： 共10分。请考生在第22、 23题中任选一题作答。如果多做， 按所做的第一题计分。 22选修4-4： 坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 sin cos 4 2 y x （为参数）， 直线l的参数方 程为 sinty tx 2 1cos （t为参数） （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1， 2），求l的斜率. 23选修4-5： 不等式选讲（10分） 设函数25xaxxf）（. （1）当a = 1时， 求不等式 f（x）0的解集； （2）若 f（x）1， 求a的取值范围. 数学试题（理工农医类） 第5页（共5页） 绝密启用前解密时间：2018 2018年6 6月7 7日17:0017:00 【考试时间：6 6月7 7日15:00 15:0017:0017:00】 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考答案（新课标） 一、选择题 1D2A3B4B5A6A 7B8C9C10 A11C12D 二、填空题 13y = 2x14915- 2 1 16240 三、解答题 17. （12 分） 解：（1）设an的公差为 d，由题意得 1533 1 da. 由 a1= 7 得 d = 2. 所以an的通项公式为 an= 2n - 9. （2）由（1）得1648 22 ）（nnnSn. 所以当 n = 4 时， Sn取得最小值，最小值为- 16. 18（12 分） 解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 226.11913.530.4 y （亿元）. 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 256.5917.599 y （亿元）. （2）利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下： （）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 ty13.530.4 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很 好地描述环境基础设施投资额的变化趋势. 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额 有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势， 利用 2010 年至 2016 年的数据 建立的线性模型t y 17.599 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变 化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠. （）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到 的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低， 而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明 利用模型得到的预测值更可靠. 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 数学试题（理工农医类）参考答案 第1页（共5页） 19.（12 分） 解：（1）由题意得 F（1， 0），l 的方程为）（1xky（k 0）. 设 A（x1， y1），B（x2， y2）， 由 xy xky 4 1 2 ）（ 得042 2222 kxkxk）（. =1616 2 k 0，故 2 2 21 42 k k xx . 所以 2 2 21 44 11 k k xxBFAFAB ）（）（. 由题设知8 44 2 2 = + k k ，解得 k = - 1（舍去），k = 1. 因此 l 的方程为 y = x - 1. （2） 由（1） 得 AB 的中点坐标为 （3， 2） ， 所以 AB 的垂直平分线方程为）（-32xy， 即5xy. 设所求圆的圆心坐标为（x0， y0），则 16 2 1 1 2 002 0 00 ）（ ）（ 5 xy x xy 解得 2 3 0 0 y x 或 6 11 0 0 y x . 因此所求圆的方程为1623 22 ）（）（yx或144611 22 ）（）（yx. 20.（12 分） 解：（1）因为 PA = PC = AC = 4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP =32. 连结 OB.因为 AB = AC = 2 2 AC，所以ABC 为等腰直角三角形， 且 OBAC，OB = 2 1 AC = 2. 由 222 PBOBOP知 OPOB. 由 OPOB，OPAC 知 OP平面 ABC. （2）如图，以 O 为坐标原点， OB的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz. 数学试题（理工农医类）参考答案 第2页（共5页） 由已知得 O（0， 0， 0） ， B（2， 0， 0） ， A（0， - 2， 0） ， C（0， 2， 0） ， P（0， 0，32） ， AP=（0， 2，32） ， 取平面 PAC 的法向量 OB=（2， 0， 0） . 设 M（a， 2-a， 0） （0 0，h（x）没有零点； （ii）当 a 0 时， x xaxxh e）（）（2 当 x（0， 2）时，）（x h 0 所以 h（x）在（0， 2）单调递减，在（2， +）单调递增 故 h（2）= 1- 2 e a4 是 h（x）在0， +）的最小值 若 h（2） 0，即 4 e2 a，h（x）在（0， +）没有零点； 若 h（2）= 0，即 4 e2 a，h（x）在（0， +）只有一个零点； 若 h（2） 0 时， 2 x x e ， 所以0 1 1 2 16 1 16 1 16 14 4 3 22 3 4 3 aa aaa ah aa ）（）（ ）（ ee 故 h（x）在（2， 4a）有一个零点，因此 h（x）在（0， +）有两个零点 综上，f（x）在（0， +）只有一个零点时，a = 4 e2 22选修 4-4： 坐标系与参数方程（10 分） （1）曲线 C 的直角坐标方程为1 164 22 yx 当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 y = tanx + 2 - tan， 当 cos= 0 时，l 的直角坐标方程为 x = 1 （ 2 ）将 l 的 参 数 方 程 代 入 C 的 直 角 坐 标 方 程 ， 整 理 得 关 于 t 的 方 程 082431 22 tt）（）（sincoscos 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点（1， 2）在 C 内，所以有两个解，设为 t1 ，t 2，则 t1 + t 2= 0 又由得 t1 + t 2= 2 cos sincos 31 2