南通市高三第二次调研测试答案及评分建议.pdf

数学学科参考答案及评分建议 第 1 页（共 13 页） k0 k9 输出 k Y 结束 开始 （第 3 题） N k2k+k2 南通市 2016 届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 设复数 z 满足( 12i )3z+=（i 为虚数单位） ，则复数 z 的实部为 【答案】 3 5 2 设集合 101A= ， ，B = 1 1aa a +，0AB =， 则实数a的值为 【答案】1 3 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 【答案】17 4 为了解一批灯泡（共 5 000 只）的使用寿命，从中随机抽取 了 100 只进行测试，其使用寿命（单位：h）如下表： 根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于 1 100 h 的灯泡是 【答案】1 400 5 电视台组织中学生知识竞赛，共设有 5 个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核 心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力某参赛队从中任选 2 个主题作答， 则“立德树人”主题被该队选中的概率是 【答案】 2 5 6 已知函数( )log () a f xxb=+（0a 且1a ，bR） 的图象如图所示，则ab+的值是 【答案】 9 2 7 设函数 () sin(0) 3 yxx=+） ，如图2所示，其中AE=EF=BF=10 m 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案 解：设方案，中多边形苗圃的面积分别为 1 S， 2 S 方案 设AEx=，则 1 1 (30) 2 Sxx= 3分 2 (30) 1 22 xx+ 225 2 =（当且仅当15x=时， “=”成立） 5分 方案 设BAE=，则 2 S =()100sin1cos+， () 0 2 ， 8分 由 2 S() 2 100 2coscos10=+=得， 1 cos 2 =（cos1= 舍去） 10分 因为 () 0 2 ，所以 3 =，列表： () 0 3 ， 3 () 32 ， 2 S + 0 2 S 极大值 A 图 2 图 1 B A B E E F （第 17 题） 数学学科参考答案及评分建议 第 5 页（共 13 页） 所以当 3 =时， () 2 max 75 3S= 12分 因为 225 75 3 2 的离心率为 2 2 A为椭 圆上异于顶点的一点，点P满足2OPAO= ? ? （1）若点P的坐标为( ) 22，求椭圆的方程； （2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且 BPm BC= ? ? ? ， 直线OA，OB的斜率之积为 1 2 ， 求实数m的值 解： （1）因为2OPAO= ? ? ，而 () 22P， 所以 () 2 1 2 A ， 代入椭圆方程，得 22 11 1 2ab +=， 2 分 又椭圆的离心率为 2 2 ，所以 2 2 2 1 2 b a = 4 分 由，得 2 2a =， 2 1b = ， 故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y+= 6 分 （2）设 11 ()A xy， 22 ()B xy， 33 ()C xy， 因为2OPAO= ? ? ，所以 11 ( 22)Pxy， 因为BPm BC= ? ? ? ，所以 12123232 ( 22)()xxyym xxyy=， 即 1232 1232 2() 2() xxm xx yym yy = = ， ， 于是 321 321 12 12 m xxx mm m yyy mm = = ， 9分 x y O B A C （第 18 题） O P 数学学科参考答案及评分建议 第 6 页（共 13 页） 代入椭圆方程，得 ()() 22 2121 22 1212 1 mm xxyy mmmm ab +=， 即 ()()() 22222 11221212 222222222 (1)4(1) 4 1 xyxyx xy ymm mabmabmab += 12分 因为A，B在椭圆上，所以 22 11 22 1 xy ab +=， 22 22 22 1 xy ab += 因为直线OA，OB的斜率之积为 1 2 ，即 12 12 1 2 yy xx = ，结合知 1212 22 0 x xy y ab += 14分 将代入，得 2 22 (1) 4 1 m mm +=， 解得 5 2 m = 16分 19 （本小题满分16分） 设函数( )(1)f xxkxk=+，( )3g xxk=+，其中k是实数 （1）若0k =，解不等式 1 ( )3( ) 2 xf xxg x+； （2）若0k，求关于x的方程( )( )f xx g x=实根的个数 解： （1）0k =时，( )(1)f xxx=+，( )3g xx=+ 由 0 3 0 x x + ， 得0x 2分 此时，原不等式为 1 (1)(3) 2 xxx+，即 2 23 0xx+ ， 解得 3 2 x或1x 所以原不等式的解集为)1+， 5分 （2）由方程( )( )f xx g x=得， ()13xkxkx xk+=+ 由 0 30 xk xk + ， 得xk，所以010xxk+ ， 方程两边平方，整理得() ()() 2 22 21110kxkxk k+=()xk 7分 当 1 2 k =时，由得 3 2 x =，所以原方程有唯一解 数学学科参考答案及评分建议 第 7 页（共 13 页） 当 1 2 k 时，由得判别式() () 22 131kk =+， ） 1 3 k =时，0 =，方程有两个相等的根 41 33 x =， 所以原方程有唯一的解 10分 ） 1 0 2 k ，所以 12 xx，其中 2 1xkk=+ ， 2 1 3 0 12 k xk k = ，即 1 xk 故原方程有两解 14分 ） 1 2 k 时，由）知 2 1 3 0 12 k xk k =，故原方程有唯一解 综上所述：当 1 2 k或 1 3 k =时，原方程有唯一解； 当 1 0 2 k = ，2n 从而 1 2 nn aa =，2n， 所以数列 n a为等差数列 4分 （2） （）中，令1n =，得 1 1a =，所以21 n an=， 2 n Sn= 由 2 1kkk bbS + =()2k得， 2 11 2 k k b q =， 所以 1 12 2 1 n k n n bbqk q =， 由 2 1nnn bbS + 得， 4224nk k qn ，即 ( ) 2 n kn q k ， 6分 当nk=时，恒成立 当1nk +时，两边取自然对数，整理得， () ln ln 1 1 2 1 n kq nk nkk k + 记 ln ( )(1) 1 x f xx x = ，则 () 2 11 1ln ( ) 1 xx fx x + = ， 记( )1lng ttt= +，01t， 故( )g t为(0 1)， 上增函数，所以( )(1)0g tg， () 2 4 1 1 1 q k + ， 数学学科参考答案及评分建议 第 9 页（共 13 页） 从而234q， ， 当2q =时，( )() 22 11 121 1kk + ，只能3k=，此时 7 2 9 2 n n b =，不符； 当3q =时，( )() 22 11 131 1kk + ，只能2k =，此时 5 2 4 3 n n b =，不符； 当4q =时，( )() 22 11 141 1kk + ，只能2k =，此时 23 2 n n b =，符合 综上， 23 2 n n b = 16 分 数学学科参考答案及评分建议 第 10 页（共 13 页） 21 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，AB是圆O的直径，C为圆O外一点，且ABAC=，BC交圆O于点D，过D作圆O的 切线交AC于点E 求证：DEAC 证明：连结OD， 因为ABAC=，所以BC= 由圆O知OBOD，=所以BBDO = 从而BDOC=，所以ODAC 6 分 又因为DE为圆O的切线，所以DEOD， 又因为ODAC，所以DEAC 10 分 B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，设点A( 12)，在矩阵 10 01 = M对应的变换作用下得到点 A ， 将点B(34)， 绕点 A 逆时针旋转 90得到点 B ，求点 B 的坐标 解：设()B xy， 依题意，由 1011 0122 = ，得(12) A ， 4 分 则(22)A B= ? ，(12)A Bxy = ? ? ， 记旋转矩阵 01 10 N = ， 6 分 则 0121 1022 x y = ，即 21 22 x y = ，解得 1 4 x y = = ， ， 所以点 B 的坐标为()14 ， 10 分 O A B C D E （第 21A 题） 数学学科参考答案及评分建议 第 11 页（共 13 页） C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 5 1 5 2 5 1 5 xt yt = + = + ， （t 为参数）与曲线 sin cos2 x y = = ，（ 为 参数）相交于 A ，B两点，求线段 AB的长 解：将直线的参数方程化为普通方程，得21yx=+ 3 分 将曲线的参数方程化为普通方程，得 2 12yx= （ 11x ） 6 分 由，得 1 1 x y = = ，或0 1 x y = = ， ， 8 分 所以( 11)A ，(0 1)B， ， 从而 22 ( 1 0)( 1 1)5AB = + = 10 分 D选修4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知abcR， ， 222 424abc，+=求2abc+的最大值. 解：由柯西不等式，得() ()() () 2 22 2 22 21 11 2 222abcabc+ + + 6 分 因为 222 424abc，+= 所以()2210abc+ + 所以10210abc+ + 所以2abc+的最大值为10， 当且仅当 102 1010 555 abc，=等号成立. 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分10分） 一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球参 加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次参加者预先指定盒中的某一种颜色的 数学学科参考答案及评分建议 第 12 页（共 13 页） 玻璃球，然后摸球当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1 次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（ * kN ） ，且游戏费 仍退还给参加者记参加者玩1次游戏的收益为X元 （1）求概率(0)P X =的值； （2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值 （注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！ ） 解： （1）事件“0X =”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次” ， 则 ( ) 2 1525 (0)3 6672 P X = = 3分 （2）依题意，X的可能值为k，1，1，0， 且 ( ) 3 11 () 6216 P Xk=， ( ) 3 5125 (1) 6216 P X= =， ( ) 2 155 (1)3 6672 P X= =， 6分 结合（1）知，参加游戏者的收益X的数学期望为 () 11255110 ()11 21621672216 k E Xk =+ + =（元） ， 8分 为使收益X的数学期望不小于0元，所以110k，即 min 110k= 答：k的最小值为110 10分 23（本小题满分10分） 设 4k S= 12 aa+ 4k a+() * kN，其中0 1 i a ，（i=1，2，4k） 当 4k S除以4的 余数是b（b=0，1，2，3）时，数列 1 a， 2 a， 4k a的个数记为( )m b （1）当2k=时，求m(1)的值； （2）求m(3)关于k的表达式，并化简 解： （1）当2k =时，数列 1 a， 2 a， 3 a， 8 a中有1个1或5个1，其余为0， 所以 15 88 CC64m =+= 3分 （2）依题意，数列 1 a，