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第 7 章数理统计基础习题解答 第 7 章数理统计基础习题解答 一选择题 一选择题 1. 设(, 12, ,) n XXXL为总体X的样本，则不成立的是( B ). A. 每个), 2 , 1(niXiL=与X有相同的分布 B. 每个), 2 , 1(niXiL=是确定的数 C. 12 (,) n XXXL是维随机变量 n D. 12 (,) n XXXL各分量相互独立且同分布 2. 设 12 ( ,) n x xxL是来自总体X的一个样本观测值，则( A ). A. ,1,2, i x in=L为X的个取值 n B. ,1,2, i x i =L n的取值是不确定的 C. ,1,2, i x in=L与X有相同的分布 D. ,1,2, i x in=L与X有相同的数学特征 3. 已知总体 X 服从0, 上的均匀分布(未知) 12 , n XXXL为X的样本， 则( C ) . A. 1 1 2 n i i X n = 是一个统计量 B. = n i i XEX n 1 )( 1 是一个统计量 C. 12 XX+是一个统计量 D. = n i i XDX n 1 )( 1 是一个统计量 1 4. 设(, 12, ,) n XXXL是来自总体X的样本，X为样本平均值，则下述结论不成立的 是( C ). A. X与 2 1 ( n i i )XX = 独立 B. 当ij时， i X与 j X独立 C. 1 n i i X = 与 2 1 n i i X = 独立 D. 当ij时， i X与独立 2 j X 5. 样本 12 (,) n XXXL取自概率密度为( )p x的总体,则有( A ). A. ( ),1,2, i Xp x in=L B. 1 min,( ) n XXp xL C. ( )Xp x D. 1 n i i X = 与 2 1 n i i X = 独立 6. 设 12 (,) n XXXL是来自随机变量X的样本, X为样本均值，则以下结论错误的 是( C ). A. ()()E XE X= B. ()()/D XD Xn= C. ()()D XD X= D.X 是随机变量，是常数 )(XE 7. 设，则( D ) ( )Tt n 2 T A B C D (2 )tn 2( ) n( ,1)F n(1, )Fn 8设总体 12 (0,1), , , , n XNXXL X为样本，则下列结论中错误的是( D ) A 1 2 12 22 34 (2) () XX t XX + B 1 2 2 1 (1) n i i nX t n X = 2 C 3 2 1 2 4 (1) 3 (3, 3) i i n i i n X Fn X = = D 12 22 12 (2) XX t XX + + 9. 设 12 (,) n XXXL是来自正态总体 2 ( ,)XN ?的样本，样本均值和样本方差分 别为：X= = n i i X n 1 1 ， 2 1 1 ( 1 n i i SX n = = 2 )X，则以下结论中错误的是( B ). A. X与独立 B. 2 S ()/(0,1)XN ) C. D. 222 (1)/(1nSn()/ (n XSt n1) 10. 设 12 (,) n XXXL是来自正态总体 2 ( ,)XN 的简单随机样本，X为样本均 值，记 22 1 1 1 () 1 n i i SXX n = = ， 22 2 1 1 () n i i SX n = = X， 22 3 1 1 () 1 n i i SX n = = ， 2 4 1 1 ( n i i SX n 2 ) = = ，则服从自由度为1n的t分布的随机变量是( A ). A. 1 Sn X B. nS / 2 X C. 3 1Sn X D. 4 Sn X 11. 设 12 (,) n XXXL是来自正态总体 2 ( ,)XN ?的样本, 2 S为样本方差，则 2 (1)/nS 2 服从( C ). A. 正态分布 B. t分布 C. 2 分布 D. F分布 12. 样本 12 (,) n XXXL取自标准正态分布，(0,1)NX为样本均值，及为样本方 差,则以下结果不成立的是( B ). 2 S A. (0,1),1,2, i XNi =L n B. (0,1)XN 3 C. / (1)nX St n D. 22 1 ( n i i )Xn = 13. 设随机变量与相互独立，则) 1 , 0( NX)( 2 nYnYXT/=服从( B ) . A. 正态分布 B. 自由度为的 分布 C. nt 2 分布 D. 分布 F 14. 设 1 (,) n XXL及分别取自两个相互独立的正态总体 1 ( ,) m YYL 2 1 (, )N及 2 2 (, )N的两个样本，其样本方差分别为及，则统计量 2 1 S 2 2 S 2 1 2 2 S F S =服从 F 分布的自 由度为( A ) . A. B. C. (1, 1nm )( , )nm(1, 1nm+ D. ( 1, 1)mn 二填空题二填空题 15 . 设总体(1, )XBp分布，其中为未知参数(p01p), 1,2 XX是从中抽取的样 本，则样本空间为(0,0), (0,1), (1,0), (1,1) .如果( 12 ,XX)的一个观察值是 (0,)，则样本均值的观测值1x= 1 2 ；样本方差的观测值 2 s= 1 2 . 16. 从一批加工的零件中随机取8件,测得其与标准件误差(单位)为： 3.1, 2.6, 2.8, 3.3, 2.9, 3.2, 2.4, 2.5, 则总体Z为_ mm _该批零件的大小与标准件的误差_；样本为 128 (, )XXX；样本观测值为_(3.1, 2.6, 2.8, 3.3, 2.9, 3.2, 2.4, 2.5)_；样本容量n =_8_；样本均值的观测值 x=() 8 1 11 3.12.62.52.8500 88 i i x = =+= L； 样 本 方 差 的 观 测 值 2 s=() 8 2 1 1 0.1114 7 i i xx = = ； 样 本 二 阶 原 点 矩 的 观 测 值 为 8 2 2 1 1 65.7600 88.2200 8 i i bx = = . 4 17. 设总体(1,)XBp，其中未知参数01p, 12 (,) n XXXL是X的样本，则 1122 (,) =() 1 11 n n i i i i x nx pp = = nn P Xx XxXx=L. 18 设 12 (,) n XXXL为 总 体X的 一 个 样 本 ， 则 样 本 的r阶 原 点 矩 为 1 1 n r i i X n = ；样本的r阶中心矩为 1 1 () n r i i XX n = . 19设 12 (,) n XXXL为总体 2 ( ,)XN 的一个样本，则() i E X=； () i D X= 2 ； 2 () i E X= 22 +. 20. 设总体服从参数为的泊松分布)(PX，求样本 12 (, n) XXXL均值的期望 ()E X =()E X=和方差()D X =()/D Xnn=. 21设总体，(1,4)XN? 123 (,)XXX是来自X的样本，其中 为样本方差，则 2 S 222 123 ()E X X X= 222 123 () () ()125E XE XE X=； 123 ()D X X X= 22 123123 ()()124E X X XEX X X=； 2 ()E S=()4D X =； 2 ()D S= 16 22. 设 12 (,) n XXXL是来自正态总体 2 ( ,)XN ?的样本， 则 1 1 () n XX n +L服 从 2 ,N n 分布. 23. 设 12 (,) n XXXL是来自正态总体 2 ( ,)XN ?的样本，则 ()n X Z =服 从(0,1)N分布. 24 设总体， 2 (2,3 )XN 12 , n XXX为X的一个简单样本， 则() 2 2 1 23 n i i X = 服 从的分布是 2( ) n. 5 25. 设样本来自总体 1 , 21n XXXK 2 11 (,)XN ?，样本均值和样本方差分别为： 1 1 1 1 n i i XX n = = ， 1 1 22 1 1 1 1 ( 1 n i i SX n = = )X， 又设样本来自总体 2 , 21n YYYL 2 22 (,)YN ?， 样本均值和样本方差分别为： = = 2 1 2 1 n i i Y n Y， 2 2 2 1 2 1 ( 1 n i i SY n = = 2 )Y，且两个样本相互独 立，则 22 12 22 21 S S 服从 12 (1,1)F nn分布. 26. 设z为标准正态分布的上侧分位数， 查表得 0.0495 z=1.65； 若， 查表得 2.31z= =0.0104. 27. 设为分布的上侧分位数，则查表得( )tn t 0.025(5) t=2.5706；若 ，查表得(6)3.7074t=0.005. 28. 设为分布的上侧分位数，则查表得( , )F m n F 0.05(5,4) F=6.26；查表 得 0.95(5,4) F= 0.05 11 0.193 (4,5)5.19F =； 若(6,3)14.73F=， 查 表 得 =0.025. 三应用计算题 三应用计算题 29. 设总体 , XU a b，求样本均值的期望和方差. 解：解：设 12 (,) n XXXL是来自总体的样本，则 ,baUX 由知，2/ )()(baXE+=2/ )()()(baXEXE+= 由知，12/)()( 2 abXD=nabnXDXD12/)(/ )()( 2 = 30. 设 1, , n XX为总体(1,)XBp的一个样本，求 () E X和()D X，并求样本方差 22 1 1 ( 1 n i i SX n = = )X的数学期望. 解：解：由性质可知， () ()E XE Xp= () ()/(1)/D XD Xnppn= 6 2 ()()(1)E SD Xpp=. 31在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量结果相互独立且都服从正态分布 若以)2 . 0 ,( 2 aN n X表示次称量结果的算术平均值，要使n95. 01 . 0| aXP n ，求 的最小值 n 解 ：解 ： 由 () 0.1 | 0.12120.510.95 0.2/ n PXan n = = 可 得 ， () 0.50.975n，0.51.96n ，所以n的最小值为 16 15.3664n 32. 从总体 2 (50,)N中随机抽取一容量为 16 的样本，在下列两种情况下分别求概率 47.9952.01PX （1）已知； 22 5 . 5= （2）未知，而样本方差 2 36 2 =s 解：解：（1）由 2 ( ,/ )XNn 得 52.01 5047.9950 47.9952.01 5.5/45.5/4 PX = ()()()1.461.4621.4612 0.9279 10.8558 = = （2）由 (1) / X t n Sn ， 0.10(15) 1.3406t=得 47.99505052.01 50 47.9952.01 6/46/46/4 X PXP = 50 1.341.3412 0.100.80 6/4 X P = = 33从总体X?),( 2 N中抽取12, 9 21 =nn的两个独立样本，试求两个样本均 值X与Y之差的绝对值小于1.5的概率，若 （1）已知=； 2 4 （2）未知，但两个样本方差分别为,. 2 2 1 4.1S = 2 2 3.7S = 7 解：解：（1）由 12 22 1122 ()() (0,1) / XY N nn + ?得 |1.5| | 1.51.70 4/94/124/94/124/94/12 XYXY PXYPP = + ()21.7012 0.9554 10.9108 = （2）由 12 12 12 ()() (2 11 W XY t nn S nn )+ + ?， 0.05(19) 1.7291t= 22 2 1122 12 (1)(1)8 4.1 11 3.7 3.8684 219 W nSnS S nn + = + =得 |1.5 | 1.5 3.8684 1/9 1/123.8684 1/9 1/12 XY PXYP = + | 1.7295 3.8684 1/9 1/12 XY P = + 1 2 0.050.90 = *34. 随机地抽取某校 100 个初一学生，测得他们的身高（单位：厘米）数据如下： 身高 160 162 163 165 166 168 169 171 172 174 频数 7 16 38 31 8 试做出频率直方图 解：解： 身高频率表 身高 频数 频率 160162 7 0.07 163165 16 0.16 166168 38 0.38 169171 31 0.31 172174 8