空间向量解决立体几何的向量方法(五)在立体几何中综合应用.pptVIP

空间向量 在立体几何中的应用 前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来 解决立体几何中的有关证明及计算问 题。 一、 用空间向量处理“平行”问题 R D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 例1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P、 Q分别是A1B1和BC 上的动点，且 A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的 中点. 求证： MN平面AC. （）M是中点，N是中点 MNRQ MN平面AC D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 法（） 作PP1AB于P1， 作MM1 AB于M1 ，连结QP1， 作NN1 QP1于N1 ，连结M1N1 N1 M1P1 NN1PP1 MM1AA1 又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形，故MNM1N1 MN平面AC D B C A A1 Q P N M D1 C1 B1 z y x o 证明：建立如图 所示的空间直角 坐标系o-xyz 设正方形边长为2， 又A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、 Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而 M(2, 1, 1) 所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法 向量为 (0, 0, 1)， 又M不在平面AC 内，所以MN平面AC D C B A D1 C1 B1 A1 例2.在正方体ABCD- A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD平面CB1D1 (1)平行四边形A1BCD1 A1BD1C 平行四边形DBB1D1 B1D1BD 于是平面A1BD平面CB1D1 D C B A D1 C1 B1 A1 o z y x (2)证明：建立如图所示 的空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， 则向量 设平面BDA1的法向量 为 则有 x+z=0 x+y=0 令x=1,则得方程组的解为 x=1 y=-1 z=-1 故平面BDA1的法向量为 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1CB1D1 D C B A D1 C1 B1 A1 o z y x D C B A D1 C1 B1 A1 F G H E 例3.在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH平面BDGF ADGF，AD=GF 又EHB1D1，GFB1D1 EHGF 平行四边形ADGE AEDG 故得平面AEH平面BDGF D C B A D1 C1 B1 A1 H G F E o z y x 略证：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 则求得平面AEF的法向 量为 求得平面BDGH的法向 量为 显然有 故 平面AEH平面BDGF 二、 用空间向量处理“垂直”问题 二、 用空间向量处理“垂直”问题 F E X Y Z 例4 练习1 证明: 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中 ，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1 上的点，且BE=a，CF=2a 。 求证: 面AEF面ACF。 A F E C1 B1 A1 C B x z y 不防设 a =2，则A（0，0，0）， B（3 ，1，0）C（0，2，0），E （ 3，1，2） F（0，2，4）， AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4 ），因为，x轴面ACF 所以 可取 面ACF的法向量为m=（1，0，0 ），设n=（x,y,z)是面AEF的法向 量，则 A F E C1 B1 A1 C B z y x nAE=3x+y+2z=0 nAF=2y+4z=0 x=0 y= -2z 令z=1得, n=（0，-2，1） 显然有m n=0，即，mn面AEF面ACF 证明：如图，建立空间直角 坐标系A-xyz ， A DC B 求证：平面MNC平面PBC； 已知ABCD是矩形，PD平面 ABCD，PDDCa，AD ， M、N分别是AD、PB的中点。 P M N 练习2 小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是 近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化 为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的 证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述 立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中 可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建