“斐波那契数列”通项公式的探求.docVIP

“斐波那契数列”通项公式的探求 -新理念下“问题解决教学”策略探析刘华（苏州市吴县中学 215151）数学课程标准的基本理念是以学生发展为本，强调积极主动、勇于探索的学习方式， 倡导“问题情境建立模型解释应用拓展延伸”的教学模式，注重发展学生的数学应用意识。为此，有必要实施“问题解决教学”的方法，使教学自然而然地走进新课标，以响应当今世界范围内倍受关注的“问题解决是数学教育的核心”这一教学观。那么，什么是“问题解决教学”呢？ “问题解决教学”是以数学问题为中心，在教师的引导下，通过学生独立思考和交流讨论等形式，对数学问题进行求解、发展与延伸、迁移等环节，培养学生处理信息、获取新知、应用新知的能力，以及团结协作、积极探索的科学精神。 在“问题解决教学”中，教师的地位、作用、学生的学习方式等与传统的教学模式有很大的区别，它体现在教师教学方式的启发性、指导性及学生学习方式的独立性、创造性。教师要构建问题解决的合作关系，启发学生的思维，引导问题的发展和迁移，通常可采用以下一些策略： 一、剖析错解 反思探究在问题解决教学中，对问题的解决，既可以指肯定性的获得，指运用概念、定理解决了数学问题；也可以指否定性的判断，即证明了原来的问题是不可能得到解决的或是某些方法是不可能对这一问题进行解决的；还可以指对学生具有反面意义的典型的错误思维方式与思维过程进行剖析。下面是笔者的一次教学经历。在求数列通项的专题教学中，我选讲了一道2006年全国高考题的第一问：例1设数列的前项和为，且，求首项与通项.对于此题，学生易于找到解题切入口，利用，将所给的关系式转化为数列的递推关系式。（学生自主探索，独立求解）两式相减得：整理得：（接着一个学生给出了这样的解答），所以数列是首项为，公比为4的等比数列.此时，让学生验证，发现不成立了，说明这位学生的解答是有问题的，接着再让学生分组讨论归结问题的成因。该生套用了之前学过的形如一类数列通项的求法-待定系数法（设求得），将刚学过的知识生搬硬套了。（引导学生反思探究）探究1 正确“复制”新数列中相邻的两项这里所说的“复制”并不是简单意义上的重复，它不等同于计算机中的复制功能，指的是“重新制作”，体现一个再加工、再创造的过程。在数列中，、是相邻的两项，但在数列中，也将随着的变化而变化，所以并不是数列中相邻的项，相邻的项应是、和。类比形如递推关系式的通项的求法，引导学生对例1的解答用待定系数法作如下尝试：不妨设 ，则 所以，故有，因而数列是首项为 ，公比为4的等比数列，即从而探究2 两边同除以，转化为形式考虑到会随着的变化而变化，将的两边同除以得，令，即，用待定系数法易得注 也可以在递推式的两边同除以求解。“错误是正确的先导”，对于学生在问题解决中出现的一些似是而非的“解法”进行必要的反思，既是培养和提高学生认知能力的有效方法，也是培养学生严谨的逻辑推理能力，优化学生思维品质的有效途径。二、变更问题 引申迁移问题解决是创新的土壤，数学的精髓就在于探索和创新。一方面，在课堂创设的问题情境中的问题已经获解的情况下，教师并没有停留在问题表面，而是在新问题、新知识的生长点上，对问题进一步探究而提出新的问题并形成新的问题情境而作为问题解决教学的进一步延伸或升华；另一方面，对课本例题进行变式思考，或者换位思考。问题的变式或换位思考，是数学思想的根本，有利于教学内容的深化和引申，是培养学生创新意识和能力的有效途径。受例1学生错解的启发，我布置学生下一节课的任务：先阅读苏教版高中数学必修五第5658页的内容，然后试着探求斐波那契数列的通项公式。由一对兔子繁殖问题而衍生出来的“斐波那契数列”（1，1，2，3，5，8，13，21，）是一个很有趣的数学问题，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，递推关系式为，它的通项公式能否求出呢？探究3 如何将相邻三项间的关系式转化为相邻两项间的关系式为此我设计了引例：例2数列中，若对于，总有，（1）设，求证是等差数列；（2）求数列的通项公式.例3 数列中，若对于，总有，求数列的通项公式.分析思路： 例2即寻求之间的关系；例3则要由递推式想法构造出等比（等差）数列，易得，所以数列是等比数列。即对于递推关系式较简单的可用观察配凑法，较复杂的用待定系数法构造等差（等比）数列，以将相邻三项间的关系式转化为相邻两项间的关系式。对斐波那契数列，引导学生分组探究将转化为相邻两项间的递推关系式。解 因为 探究4 形如的递推关系式，如何恰当地构造等比数列 当时考虑利用待定系数法构造等比数列，要注意正确写出新数列中相邻的两项；或者两边同除以得，当时化为等差数列，当时化归为形式.（进一步探索）. 所以，让学生感到有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。本节课通过对斐波那契数列通项公式的探求，使学生对待定系数法求数列的通项公式形成深刻的、结构化的理解，并形成自己的、可以迁移的问题解决策略，深刻体会数学方法应用的时机，体会问题解决的思维契机，使学生对数学产生浓厚的学习兴趣，形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念，促进分析问题、解决问题能力的提高。三、教学内容问题化 具体问题数学化数学教学是思维活动的教学，重视教给学生思考的方法。而问题是诱发思维的直接动因，问题是数学的心脏(当代著名数学家P.R.Halmos)。所以在课堂教学中设计“好”的问题是极其重要的。具体的问题可以是与学生已有的生活经验密切相关的问题，也可以是从学生已有的数学知识提炼出的新问题。诸如用平面直角坐标系给班级学生定位、编号；计算球面距离确定旅游的最佳线路；编排学校运动会比赛的场次等。学习的目的在于应用，作为教学内容的各种知识技能都源于生活和经验，是从具体的应用情境中抽象化、概括融会贯通而来，通过对业已形成的数学知识进行加工、改造，向更高层次推进，并反作用于更为广泛的现实，充分体现数学的创造性、应用性。英国学校数学教育调查委员会报告数学算数中指出：把数学应用于各种情形的能力就是“问题解决”。问题解决应首先使具体事物能够转化成数学问题，然后再运用相关数学知识解决具体问题，实现数学化，并在问题解决过程中引出数学知识的框架结构，使学生理解所学知识在问题解决中的地位作用和相互间的联系，明确学习目标，产生迫切学习的心理倾向。建构主义学习理论认为，学习过程不是学习者被动地接受知识，而是积极主动地建构知识的过程。由于“问题解决教学”强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识。注重把基础知识基本技能的掌握与能力培养结合起来，把书本知识与经验的改造或生长结合起来，把一般能力与创造能力结合